高中數(shù)學(xué)培優(yōu)——解三角形

支點(diǎn)教育 解三角形 常州二中 徐金雅課 題：正弦定理（兩課時(shí)）教學(xué)目的：使學(xué)生掌握正弦定理能應(yīng)用解斜三角形，解決實(shí)際問題。教學(xué)過程：一、 引言：在直角三角形中，由三角形內(nèi)角和定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)，可以由已知的邊和角求出未知的邊和角。那么斜三角形怎么辦？（創(chuàng)設(shè)情景）早在1671年，兩個(gè)法國(guó)天文學(xué)家就測(cè)出了地球與月亮之間的距離大約是公里，你能設(shè)計(jì)一種近似的測(cè)量方法嗎？提出課題：正弦定理二、講解新課：正弦定理：在任一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦比相等，即= =2R（R為ABC外接圓半徑） 1直角三角形中：sinA= ，sinB=， sinC=1 即c=， c= ， c= =2斜三角形中 證明一：（等積法）在任意斜ABC當(dāng)中SABC= 兩邊同除以即得：=證明二：（外接圓法）如圖所示，同理 =2R，2R證明三：（向量法）過A作單位向量垂直于由+= 兩邊同乘以單位向量 得 (+)=則+=|cos90+|cos(90-C)=|cos(90-A) =同理，若過C作垂直于得： = =正弦定理的應(yīng)用 從理論上正弦定理可解決兩類問題： 1兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；2兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其它的邊和角。（見圖示）已知a, b和A, 用正弦定理求B時(shí)的各種情況:若A為銳角時(shí):若A為直角或鈍角時(shí):三、講解范例：例1 已知在解：由得 由得例2 在解：例3 解：，例4 已知ABC，B為B的平分線，求證：ABBCAC分析：前面大家所接觸的解三角形問題是在一個(gè)三角形內(nèi)研究問題，而B的平分線BD將ABC分成了兩個(gè)三角形：ABD與CBD，故要證結(jié)論成立，可證明它的等價(jià)形式：ABADBCDC，從而把問題轉(zhuǎn)化到兩個(gè)三角形內(nèi)，而在三角形內(nèi)邊的比等于所對(duì)角的正弦值的比，故可利用正弦定理將所證繼續(xù)轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)相等角正弦值相等，互補(bǔ)角正弦值也相等即可證明結(jié)論.證明：在ABD內(nèi)，利用正弦定理得：在BCD內(nèi)，利用正弦定理得：BD是B的平分線.ABDDBC sinABDsinDBC.ADBBDC180sinADBsin（180BDC）sinBDC評(píng)述：此題可以啟發(fā)學(xué)生利用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，并且注意互補(bǔ)角的正弦值相等這一特殊關(guān)系式的應(yīng)用.四、課堂練習(xí)：1.在ABC中，,則k為( )A.2R B.R C.4R D.(R為ABC外接圓半徑)2.ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，則ABC為( )A.直角三角形 B.等腰直角三角形C.等邊三角形 D.等腰三角形3在ABC中，求證：參考答案：1.A，2.A3.五、小結(jié) 正弦定理，兩種應(yīng)用（重點(diǎn)：判斷解的情況，利用三角形的邊與角的關(guān)系，判斷三角形形狀）幾何畫板：驗(yàn)證正弦定理第1步，啟動(dòng)幾何畫板，單擊工具箱上的“直尺”工具，在操作區(qū)作出任意三角形ABC。單擊工具箱上的“選擇箭頭”工具，選中三角形的三條邊，依次單擊“度量”“長(zhǎng)度”菜單命令，度量3條邊的長(zhǎng)度值，度量值顯示在操作區(qū)里，第2步，單擊操作區(qū)空白處，釋放所選對(duì)象，然后依次選中點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C，依次單擊“度量”“角度”菜單命令，角ABC的度量值出現(xiàn)在操作區(qū)。同樣方法，度量角BCA和角CAB的角度。然后同時(shí)選中3組角度度量值，按住鼠標(biāo)左鍵不放，當(dāng)光標(biāo)變成一個(gè)黑色箭頭時(shí)，拖動(dòng)光標(biāo)，使3組數(shù)據(jù)移動(dòng)到合適位置。第3步，單擊操作區(qū)空白處，釋放所選對(duì)象，然后選中操作區(qū)中線段AB的度量值和角BCA的度量值，依次選擇“度量”“計(jì)算”菜單命令，彈出對(duì)話框，單擊“數(shù)值”列表下的“mAB”、計(jì)算器上的“”，然后單擊“函數(shù)”下拉列表，選擇“sin”，再單擊“數(shù)值”下拉列表下的“mBCA”，單擊“確定”按鈕，操作區(qū)中出現(xiàn)正弦定理的一個(gè)比值。同樣方法，計(jì)算出另外兩條邊和所對(duì)角的正弦比值。然后選中3個(gè)比值，拖動(dòng)到適當(dāng)位置，第4步，同時(shí)選中3個(gè)比值，依次單擊“圖表”“制表”菜單命令，在操作區(qū)制作出一個(gè)表格，如圖93所示。拖動(dòng)三角形的任意一個(gè)頂點(diǎn)，可看到操作區(qū)的數(shù)值變化，但表格中的比值始終相等第5步，單擊工具箱上“選擇箭頭”工具，選中表格，然后雙擊表格，可在表格中添加一行紀(jì)錄。依次單擊“文件”“保存”菜單命令，保存文件。余弦定理（兩課時(shí)）教學(xué)目的（1） 使學(xué)生掌握余弦定理及其證明方法（2） 使學(xué)生初步掌握余弦定理的應(yīng)用教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)是余弦定理及其應(yīng)用；教學(xué)難點(diǎn)是用解析法證明余弦定理教學(xué)過程設(shè)計(jì)一、復(fù)習(xí)師：直角ABC中有如下的邊角關(guān)系（設(shè)C=90）：（1）角的關(guān)系A(chǔ)+B+C=180A+B=90（2）邊的關(guān)系c2=a2+b2二、 創(chuàng)設(shè)情境為了測(cè)定河的寬度，在一岸邊選定兩點(diǎn)A、B，望對(duì)岸標(biāo)記物C，測(cè)得CAB=30,CBA=75,AB=120m，則河的寬度為-引入：在ABC中，當(dāng)C=90時(shí)，有c2=a2+b2若a，b邊的長(zhǎng)短不變，變換C的大小時(shí)，c2與a2+b2有什么關(guān)系呢？請(qǐng)同學(xué)們思考如圖1，若C90時(shí)，由于AC與BC的長(zhǎng)度不變，所以AB的長(zhǎng)度變短，即c2a2+b2如圖2，若C90時(shí)，由于AC與BC的長(zhǎng)度不變，所以AB長(zhǎng)度變長(zhǎng)，即c2a2+b2經(jīng)過議論學(xué)生已得到當(dāng)C90時(shí)，c2a2+b2，那么c2與a2+b2到底相差多少呢？請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)思考如圖3，當(dāng)C為銳角時(shí)，作BDAC于D，BD把ABC分成兩個(gè)直角三角形：在RtABD中，AB2=AD2+BD2；在RtBDC中，BD=BCsinC=asinC，DC=BCcosC=acosC所以，AB2=AD2+BD2化為c2=（b-acosC）2+（asinC）2，c2=b2-2abcosC+a2cos2C+a2sin2C，c2=a2+b2-2abcosC我們可以看出C為銳角時(shí)，ABC的三邊a，b，c具有c2=a2+b2-2abcosC的關(guān)系從以上分析過程，我們對(duì)C是銳角的情況有了清楚認(rèn)識(shí)我們不僅要認(rèn)識(shí)到，C為銳角時(shí)有c2=a2+b2-2abcosC，還要體會(huì)出怎樣把一個(gè)斜三角形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)直角三角形的這種未知向已知的轉(zhuǎn)化在數(shù)學(xué)中經(jīng)常碰到下面請(qǐng)同學(xué)們自己動(dòng)手推導(dǎo)結(jié)論如圖4，當(dāng)C為鈍角時(shí)，作BDAC，交AC的延長(zhǎng)線于DACB是兩個(gè)直角三角形之差在RtABD中，AB2=AD2+BD2在RtBCD中，BCD=-CBD=BCsin（-C），CD=BCcos（-C）所以AB2=AD2+BD2化為c2=（AC+CD）2+BD2=b+acos（-C）2+asin（-C）2=b2+2abcos（-C）+a2cos2（-C）+a2sin2（-C）=b2+2abcos（-C）+a2因?yàn)閏os（-C）=-cosC，所以c2=b2+a2-2abcosC這里C為鈍角，cosC為負(fù)值，-2abcosC為正值，所以b2+a2-2abcosCa2+b2，即c2a2+b2從以上我們可以看出，無(wú)論C是銳角還是鈍角，ABC的三邊都滿足c2=a2+b2-2abcosC這就是余弦定理我們輪換A，B，C的位置可以得到a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2accosB三、證明余弦定理在引入過程中，我們不僅找到了斜三角形的邊角關(guān)系，而且還給出了證明，這個(gè)證明是依據(jù)分類討論的方法，把斜三角形化歸為兩個(gè)直角三角形的和或差，再利用勾股定理和銳角三角函數(shù)證明的這是證明余弦定理的一個(gè)好方法，但比較麻煩現(xiàn)在我們已學(xué)完了三角函數(shù)，無(wú)論是銳角、直角或鈍角，我們都有統(tǒng)一的定義，借用三角函數(shù)和兩定點(diǎn)間的距離來(lái)證明余弦定理，我們就可避開分類討論我們?nèi)跃鸵訡為主進(jìn)行證明如圖5，我們把頂點(diǎn)C置于原點(diǎn)，CA落在x軸的正半軸上，由于ABC的AC=b，CB=a，AB=c，則A，B，C點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（b，0），B（acosC，asinC），C（0，0）請(qǐng)同學(xué)們分析B點(diǎn)坐標(biāo)是怎樣得來(lái)的生：ACB=C，CB為ACB的終邊，B為CB上一點(diǎn)，設(shè)Bx=acosC，y=asinC師：回答很準(zhǔn)確，A，B兩點(diǎn)間的距離如何求？生：|AB|2=（acosC-b）2+（asinC-0）2=a2cos2C-2abcosC+b2+a2sin2C=a2+b2-2abcosC，即c2=a2+b2-2abcosC大家請(qǐng)看，我們這里也導(dǎo)出了余弦定理，這個(gè)證明方法是解析法這種方法以后還要詳細(xì)學(xué)習(xí)余弦定理用語(yǔ)言可以這樣敘述，三角形一邊的平方等于另兩邊的平方和再減去這兩邊與夾角余弦的乘積的2倍即：a2=b2+c2-2bccosAc2=a2+b2-2abcosCb2=a2+c2-2accosB若用三邊表示角，余弦定理可以寫為四、余弦定理的作用（1）已知三角形的三條邊長(zhǎng)，可求出三個(gè)內(nèi)角；（2）已知三角形的兩邊及夾角，可求出第三邊由三角形中大邊對(duì)大角可知：A為最大的角由余弦定理所以A=120解 由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2ABACcosA所以BC=7以上兩個(gè)小例子簡(jiǎn)單說明了余弦定理的作用五、余弦定理與勾股定理的關(guān)系、余弦定理與銳角三角函數(shù)的關(guān)系在ABC中，c2=a2+b2-2abcosC若C=90，則cosC=0，于是c2=a2+b2-2ab0=a2+b2說明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣這與RtABC中，C=90的銳角三角函數(shù)一致，即直角三角形中的銳角三角函數(shù)是余弦定理的特例六、應(yīng)用舉例例1 在ABC中，求證c=bcosA+acosB師：請(qǐng)同學(xué)們先做幾分鐘生甲：如圖6，作CDAB于D在RtACD中，AD=bcosA；在RtCBD中，DB=acosB而c=AD+DB，所以c=bcosA+acosB師：這位學(xué)生的證法是否完備，請(qǐng)大家討論生乙：他的證法有問題，因?yàn)樽鰿DAB時(shí)垂足D不一定落在AB上若落在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，cAD+DB，而c=AD-DB師：學(xué)生乙的問題提得好，我們?nèi)绻褜W(xué)生乙所說的情況補(bǔ)充上是否就完備了呢？生丙：還不夠因?yàn)樽鰿DAB時(shí)，垂足D還可以落在B處師：其實(shí)垂足D有五種落法，如落在AB上；AB的延長(zhǎng)線上；BA的延長(zhǎng)線上；A點(diǎn)或B點(diǎn)處我們要分這么多種情況證明未免有些太麻煩了請(qǐng)大家借用余弦定理證明所以c=acosB+bcosA師：這種證法顯然簡(jiǎn)單，它避開了分類討論你們知道為什么這種證法不用分類討論嗎？生：因?yàn)橛嘞叶ɡ肀旧磉m用于各種三角形例2 三角形ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，求ABC的面積師：我們通常求三角形的面積要用公式這個(gè)題目，我們應(yīng)該如何下手呢？生：可以用余弦定理由三邊求出一個(gè)內(nèi)角的余弦值，再用同角公式導(dǎo)出這個(gè)角的正弦后，最后代入三角形面積公式解 因?yàn)閍=4，b=3，c=2，所以由sin2A+cos2A=1，且A為ABC內(nèi)角，得例3 在三角形ABC中，若CB=7，AC=8，AB=9，求AB邊的中線長(zhǎng)請(qǐng)同學(xué)們先設(shè)計(jì)解題方案生甲：我想在ABC中，已知三邊的長(zhǎng)可求出cosB在BCD中，由BC=7，BD=4.5及cosB的值，再用一次余弦定理便可求出CD師：這個(gè)方案很好請(qǐng)同學(xué)很快計(jì)算出結(jié)果解 設(shè)D為AB中點(diǎn)，連CD在ACB中，由AC=8，BC=7，AB=9，得生乙：我們?cè)诔踔信龅街芯€時(shí)，經(jīng)常延長(zhǎng)中線，所以我想延長(zhǎng)中線CD到E，使DE=CD，想在BCE中解決已知BC=7，BE=AC=8，若再知道cosCBE，便可解決，但我不知怎樣求cosCBE師：這個(gè)問題提得很有價(jià)值，請(qǐng)大家一起幫助學(xué)生乙解決這個(gè)難點(diǎn)（學(xué)生開始議論）生丙：連接AE，由于AD=DB，CD=DE，所以四邊形ACBE為平行四邊形，可得ACBE，CBE與ACB互補(bǔ)我能利用余弦定理求出cosBCA，再利用互補(bǔ)關(guān)系解出cosCBE師：大家看看他講得好不好請(qǐng)大家用第二套方案解題解 延長(zhǎng)CD至E，使DE=CD因?yàn)镃D=DE，AD=DB，所以四邊形ACBE是平行四邊形所以BE=AC=8，ACB+CBE=180在ACB中，CB=7，AC=8，AB=9，由余弦定理可得在CBE中，這兩種解法都是兩次用到余弦定理，可見掌握余弦定理是十分必要的七、總結(jié)本節(jié)課我們研究了三角形的一種邊角關(guān)系，即余弦定理，它的證明我們可以用解析法它的形式有兩種，一種是用兩邊及夾角的余弦表示第三邊，另一種是三邊表示角余弦定理適用于各種三角形，當(dāng)一個(gè)三角形的一個(gè)內(nèi)角為90時(shí)，余弦定理就自然化為勾股定理或銳角三角函數(shù)余弦定理的作用如同它的兩種形式，一是已知兩邊及夾角解決第三邊問題；另一個(gè)是已知三邊解決三內(nèi)角問題注意在（0，）范圍內(nèi)余弦值和角的一一對(duì)應(yīng)性若cosA0則A為銳角；若cosA=0，則A為直角；若cosA0，則A為鈍角另外本節(jié)課我們所涉及的內(nèi)容有兩處用到分類討論的思想方法請(qǐng)大家解決問題時(shí)要考慮全面如果能回避分類討論的，應(yīng)盡可能回避，如用解析法證明余弦定理、用余弦定理證明例1等等八、作業(yè)5已知ABC中，acosB=bcosA，請(qǐng)判斷三角形的形狀課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明1余弦定理是解三角形的重要依據(jù)，要給予足夠重視本內(nèi)容安排兩節(jié)課適宜第一節(jié)，余弦定理的引出、證明和簡(jiǎn)單應(yīng)用；第二節(jié)復(fù)習(xí)定理內(nèi)容，加強(qiáng)定理的應(yīng)用2當(dāng)已知兩邊及一邊對(duì)角需要求第三邊時(shí)，可利用方程的思想，引出含第三邊為未知量的方程，間接利用余弦定理解決問題，此時(shí)應(yīng)注意解的不唯一性幾何畫板：驗(yàn)證余弦定理第1步，啟動(dòng)幾何畫板，單擊工具箱上的“直尺”工具，在操作區(qū)作出任意三角形ABC。單擊工具箱上的“選擇箭頭”工具，選中三角形的三條邊，依次單擊“度量”“長(zhǎng)度”菜單命令，度量3條邊的長(zhǎng)度值，度量值顯示在操作區(qū)里 第2步，單擊操作區(qū)空白處，釋放所選對(duì)象，然后依次選中點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C，依次單擊“度量”“角度”菜單命令，角ABC的度量值出現(xiàn)在操作區(qū)。同樣方法，度量角BCA和角CAB的角度。然后同時(shí)選中3組角度度量值，按住鼠標(biāo)左鍵不放，當(dāng)光標(biāo)變成一個(gè)黑色箭頭時(shí)，拖動(dòng)光標(biāo)，使3組數(shù)據(jù)移動(dòng)到合適位置，第3步，單擊操作區(qū)空白處，釋放所選對(duì)象，然后依次選中線段AB的度量值，依次單擊“度量”“計(jì)算”菜單命令，彈出對(duì)話框，單擊“數(shù)值”列表中的mAB、計(jì)算器上的平方號(hào)“”，然后選擇數(shù)字“2”，單擊“確定”按鈕，在操作區(qū)得到線段AB的平方值，拖動(dòng)到適當(dāng)位置。第4步，選中操作區(qū)中顯示的線段AC的度量值、線段BC的度量值和角BCA的度量值，依次單擊“度量”“計(jì)算”菜單命令，彈出對(duì)話框，按照上述方法照?qǐng)D95所示的式子計(jì)算，然后單擊“確定”按鈕，在操作區(qū)中出現(xiàn)計(jì)算值，如圖97所示。第5步，單擊工具箱上的“選擇箭頭”工具，同時(shí)選中兩個(gè)度量值，然后單擊“圖表”“制表”菜單命令，在操作區(qū)繪制出表格。第6步，拖動(dòng)三角形的任意一個(gè)頂點(diǎn)，可看到操作區(qū)中的數(shù)值變化，可是表格中的數(shù)值始終相等。選中表格，雙擊表格，在表格中添加一行紀(jì)錄，如圖98所示。依次單擊“文件”“保存”菜單命令，保存文件。正、余弦定理的應(yīng)用一、解三角形例1 ABC中，a=2,b=2,C=15o ,解此三角形.解（分別從正弦、余弦定理 出發(fā)）例2 ABC中，=c2 ,a cosB=b cosA, 判斷三角形的形狀。解（如何選正弦、余弦定理解題）例3 ABC中，sinA=2sinB cosC , = 判斷三角形的形狀。解（根據(jù)條件運(yùn)用正弦、余弦定理解題）二、距離與高度的測(cè)量例1 在離海岸不遠(yuǎn)處的海面上有兩個(gè)航標(biāo)P, Q ，現(xiàn)要測(cè)量他們之間的距離，在岸邊取兩點(diǎn) A, B 測(cè)得：AB=50m, PAB=105o , QAB=30o , PBA=45o QBA=135o 例2 海中有島A，已知A島四周8海里內(nèi)有暗礁，今有一貨輪由西向東航行，望見島在北偏東750，行20海里后見此島在北偏東300 ，如貨輪不改變航行方向繼續(xù)前進(jìn)，有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？例3 在200米高的山頂上，測(cè)得山下一塔頂與塔底的俯角分別為300和600，求塔高。例4 甲、乙兩樓相距20米 ，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?00 ，從甲樓頂望乙樓年頂?shù)母┙菫?00 ，求甲、乙兩樓的高分別是多少？例5 貨輪在海上以40km/h，的速度沿方位角為1400 ，的方向航行，為了確定船位，