高中數(shù)學培優(yōu)——解三角形

支點教育 解三角形 常州二中 徐金雅課 題：正弦定理（兩課時）教學目的：使學生掌握正弦定理能應用解斜三角形，解決實際問題。教學過程：一、 引言：在直角三角形中，由三角形內(nèi)角和定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)，可以由已知的邊和角求出未知的邊和角。那么斜三角形怎么辦？（創(chuàng)設情景）早在1671年，兩個法國天文學家就測出了地球與月亮之間的距離大約是公里，你能設計一種近似的測量方法嗎？提出課題：正弦定理二、講解新課：正弦定理：在任一個三角形中，各邊和它所對角的正弦比相等，即= =2R（R為ABC外接圓半徑） 1直角三角形中：sinA= ，sinB=， sinC=1 即c=， c= ， c= =2斜三角形中 證明一：（等積法）在任意斜ABC當中SABC= 兩邊同除以即得：=證明二：（外接圓法）如圖所示，同理 =2R，2R證明三：（向量法）過A作單位向量垂直于由+= 兩邊同乘以單位向量 得 (+)=則+=|cos90+|cos(90-C)=|cos(90-A) =同理，若過C作垂直于得： = =正弦定理的應用 從理論上正弦定理可解決兩類問題： 1兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；2兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進而可求其它的邊和角。（見圖示）已知a, b和A, 用正弦定理求B時的各種情況:若A為銳角時:若A為直角或鈍角時:三、講解范例：例1 已知在解：由得 由得例2 在解：例3 解：，例4 已知ABC，B為B的平分線，求證：ABBCAC分析：前面大家所接觸的解三角形問題是在一個三角形內(nèi)研究問題，而B的平分線BD將ABC分成了兩個三角形：ABD與CBD，故要證結論成立，可證明它的等價形式：ABADBCDC，從而把問題轉(zhuǎn)化到兩個三角形內(nèi)，而在三角形內(nèi)邊的比等于所對角的正弦值的比，故可利用正弦定理將所證繼續(xù)轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)相等角正弦值相等，互補角正弦值也相等即可證明結論.證明：在ABD內(nèi)，利用正弦定理得：在BCD內(nèi)，利用正弦定理得：BD是B的平分線.ABDDBC sinABDsinDBC.ADBBDC180sinADBsin（180BDC）sinBDC評述：此題可以啟發(fā)學生利用正弦定理將邊的關系轉(zhuǎn)化為角的關系，并且注意互補角的正弦值相等這一特殊關系式的應用.四、課堂練習：1.在ABC中，,則k為( )A.2R B.R C.4R D.(R為ABC外接圓半徑)2.ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，則ABC為( )A.直角三角形 B.等腰直角三角形C.等邊三角形 D.等腰三角形3在ABC中，求證：參考答案：1.A，2.A3.五、小結 正弦定理，兩種應用（重點：判斷解的情況，利用三角形的邊與角的關系，判斷三角形形狀）幾何畫板：驗證正弦定理第1步，啟動幾何畫板，單擊工具箱上的“直尺”工具，在操作區(qū)作出任意三角形ABC。單擊工具箱上的“選擇箭頭”工具，選中三角形的三條邊，依次單擊“度量”“長度”菜單命令，度量3條邊的長度值，度量值顯示在操作區(qū)里，第2步，單擊操作區(qū)空白處，釋放所選對象，然后依次選中點A、點B和點C，依次單擊“度量”“角度”菜單命令，角ABC的度量值出現(xiàn)在操作區(qū)。同樣方法，度量角BCA和角CAB的角度。然后同時選中3組角度度量值，按住鼠標左鍵不放，當光標變成一個黑色箭頭時，拖動光標，使3組數(shù)據(jù)移動到合適位置。第3步，單擊操作區(qū)空白處，釋放所選對象，然后選中操作區(qū)中線段AB的度量值和角BCA的度量值，依次選擇“度量”“計算”菜單命令，彈出對話框，單擊“數(shù)值”列表下的“mAB”、計算器上的“”，然后單擊“函數(shù)”下拉列表，選擇“sin”，再單擊“數(shù)值”下拉列表下的“mBCA”，單擊“確定”按鈕，操作區(qū)中出現(xiàn)正弦定理的一個比值。同樣方法，計算出另外兩條邊和所對角的正弦比值。然后選中3個比值，拖動到適當位置，第4步，同時選中3個比值，依次單擊“圖表”“制表”菜單命令，在操作區(qū)制作出一個表格，如圖93所示。拖動三角形的任意一個頂點，可看到操作區(qū)的數(shù)值變化，但表格中的比值始終相等第5步，單擊工具箱上“選擇箭頭”工具，選中表格，然后雙擊表格，可在表格中添加一行紀錄。依次單擊“文件”“保存”菜單命令，保存文件。余弦定理（兩課時）教學目的（1） 使學生掌握余弦定理及其證明方法（2） 使學生初步掌握余弦定理的應用教學重點與難點教學重點是余弦定理及其應用；教學難點是用解析法證明余弦定理教學過程設計一、復習師：直角ABC中有如下的邊角關系（設C=90）：（1）角的關系A+B+C=180A+B=90（2）邊的關系c2=a2+b2二、 創(chuàng)設情境為了測定河的寬度，在一岸邊選定兩點A、B，望對岸標記物C，測得CAB=30,CBA=75,AB=120m，則河的寬度為-引入：在ABC中，當C=90時，有c2=a2+b2若a，b邊的長短不變，變換C的大小時，c2與a2+b2有什么關系呢？請同學們思考如圖1，若C90時，由于AC與BC的長度不變，所以AB的長度變短，即c2a2+b2如圖2，若C90時，由于AC與BC的長度不變，所以AB長度變長，即c2a2+b2經(jīng)過議論學生已得到當C90時，c2a2+b2，那么c2與a2+b2到底相差多少呢？請同學們繼續(xù)思考如圖3，當C為銳角時，作BDAC于D，BD把ABC分成兩個直角三角形：在RtABD中，AB2=AD2+BD2；在RtBDC中，BD=BCsinC=asinC，DC=BCcosC=acosC所以，AB2=AD2+BD2化為c2=（b-acosC）2+（asinC）2，c2=b2-2abcosC+a2cos2C+a2sin2C，c2=a2+b2-2abcosC我們可以看出C為銳角時，ABC的三邊a，b，c具有c2=a2+b2-2abcosC的關系從以上分析過程，我們對C是銳角的情況有了清楚認識我們不僅要認識到，C為銳角時有c2=a2+b2-2abcosC，還要體會出怎樣把一個斜三角形轉(zhuǎn)化成兩個直角三角形的這種未知向已知的轉(zhuǎn)化在數(shù)學中經(jīng)常碰到下面請同學們自己動手推導結論如圖4，當C為鈍角時，作BDAC，交AC的延長線于DACB是兩個直角三角形之差在RtABD中，AB2=AD2+BD2在RtBCD中，BCD=-CBD=BCsin（-C），CD=BCcos（-C）所以AB2=AD2+BD2化為c2=（AC+CD）2+BD2=b+acos（-C）2+asin（-C）2=b2+2abcos（-C）+a2cos2（-C）+a2sin2（-C）=b2+2abcos（-C）+a2因為cos（-C）=-cosC，所以c2=b2+a2-2abcosC這里C為鈍角，cosC為負值，-2abcosC為正值，所以b2+a2-2abcosCa2+b2，即c2a2+b2從以上我們可以看出，無論C是銳角還是鈍角，ABC的三邊都滿足c2=a2+b2-2abcosC這就是余弦定理我們輪換A，B，C的位置可以得到a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2accosB三、證明余弦定理在引入過程中，我們不僅找到了斜三角形的邊角關系，而且還給出了證明，這個證明是依據(jù)分類討論的方法，把斜三角形化歸為兩個直角三角形的和或差，再利用勾股定理和銳角三角函數(shù)證明的這是證明余弦定理的一個好方法，但比較麻煩現(xiàn)在我們已學完了三角函數(shù)，無論是銳角、直角或鈍角，我們都有統(tǒng)一的定義，借用三角函數(shù)和兩定點間的距離來證明余弦定理，我們就可避開分類討論我們?nèi)跃鸵訡為主進行證明如圖5，我們把頂點C置于原點，CA落在x軸的正半軸上，由于ABC的AC=b，CB=a，AB=c，則A，B，C點的坐標分別為A（b，0），B（acosC，asinC），C（0，0）請同學們分析B點坐標是怎樣得來的生：ACB=C，CB為ACB的終邊，B為CB上一點，設Bx=acosC，y=asinC師：回答很準確，A，B兩點間的距離如何求？生：|AB|2=（acosC-b）2+（asinC-0）2=a2cos2C-2abcosC+b2+a2sin2C=a2+b2-2abcosC，即c2=a2+b2-2abcosC大家請看，我們這里也導出了余弦定理，這個證明方法是解析法這種方法以后還要詳細學習余弦定理用語言可以這樣敘述，三角形一邊的平方等于另兩邊的平方和再減去這兩邊與夾角余弦的乘積的2倍即：a2=b2+c2-2bccosAc2=a2+b2-2abcosCb2=a2+c2-2accosB若用三邊表示角，余弦定理可以寫為四、余弦定理的作用（1）已知三角形的三條邊長，可求出三個內(nèi)角；（2）已知三角形的兩邊及夾角，可求出第三邊由三角形中大邊對大角可知：A為最大的角由余弦定理所以A=120解 由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2ABACcosA所以BC=7以上兩個小例子簡單說明了余弦定理的作用五、余弦定理與勾股定理的關系、余弦定理與銳角三角函數(shù)的關系在ABC中，c2=a2+b2-2abcosC若C=90，則cosC=0，于是c2=a2+b2-2ab0=a2+b2說明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣這與RtABC中，C=90的銳角三角函數(shù)一致，即直角三角形中的銳角三角函數(shù)是余弦定理的特例六、應用舉例例1 在ABC中，求證c=bcosA+acosB師：請同學們先做幾分鐘生甲：如圖6，作CDAB于D在RtACD中，AD=bcosA；在RtCBD中，DB=acosB而c=AD+DB，所以c=bcosA+acosB師：這位學生的證法是否完備，請大家討論生乙：他的證法有問題，因為作CDAB時垂足D不一定落在AB上若落在AB的延長線上時，cAD+DB，而c=AD-DB師：學生乙的問題提得好，我們?nèi)绻褜W生乙所說的情況補充上是否就完備了呢？生丙：還不夠因為作CDAB時，垂足D還可以落在B處師：其實垂足D有五種落法，如落在AB上；AB的延長線上；BA的延長線上；A點或B點處我們要分這么多種情況證明未免有些太麻煩了請大家借用余弦定理證明所以c=acosB+bcosA師：這種證法顯然簡單，它避開了分類討論你們知道為什么這種證法不用分類討論嗎？生：因為余弦定理本身適用于各種三角形例2 三角形ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，求ABC的面積師：我們通常求三角形的面積要用公式這個題目，我們應該如何下手呢？生：可以用余弦定理由三邊求出一個內(nèi)角的余弦值，再用同角公式導出這個角的正弦后，最后代入三角形面積公式解 因為a=4，b=3，c=2，所以由sin2A+cos2A=1，且A為ABC內(nèi)角，得例3 在三角形ABC中，若CB=7，AC=8，AB=9，求AB邊的中線長請同學們先設計解題方案生甲：我想在ABC中，已知三邊的長可求出cosB在BCD中，由BC=7，BD=4.5及cosB的值，再用一次余弦定理便可求出CD師：這個方案很好請同學很快計算出結果解 設D為AB中點，連CD在ACB中，由AC=8，BC=7，AB=9，得生乙：我們在初中碰到中線時，經(jīng)常延長中線，所以我想延長中線CD到E，使DE=CD，想在BCE中解決已知BC=7，BE=AC=8，若再知道cosCBE，便可解決，但我不知怎樣求cosCBE師：這個問題提得很有價值，請大家一起幫助學生乙解決這個難點（學生開始議論）生丙：連接AE，由于AD=DB，CD=DE，所以四邊形ACBE為平行四邊形，可得ACBE，CBE與ACB互補我能利用余弦定理求出cosBCA，再利用互補關系解出cosCBE師：大家看看他講得好不好請大家用第二套方案解題解 延長CD至E，使DE=CD因為CD=DE，AD=DB，所以四邊形ACBE是平行四邊形所以BE=AC=8，ACB+CBE=180在ACB中，CB=7，AC=8，AB=9，由余弦定理可得在CBE中，這兩種解法都是兩次用到余弦定理，可見掌握余弦定理是十分必要的七、總結本節(jié)課我們研究了三角形的一種邊角關系，即余弦定理，它的證明我們可以用解析法它的形式有兩種，一種是用兩邊及夾角的余弦表示第三邊，另一種是三邊表示角余弦定理適用于各種三角形，當一個三角形的一個內(nèi)角為90時，余弦定理就自然化為勾股定理或銳角三角函數(shù)余弦定理的作用如同它的兩種形式，一是已知兩邊及夾角解決第三邊問題；另一個是已知三邊解決三內(nèi)角問題注意在（0，）范圍內(nèi)余弦值和角的一一對應性若cosA0則A為銳角；若cosA=0，則A為直角；若cosA0，則A為鈍角另外本節(jié)課我們所涉及的內(nèi)容有兩處用到分類討論的思想方法請大家解決問題時要考慮全面如果能回避分類討論的，應盡可能回避，如用解析法證明余弦定理、用余弦定理證明例1等等八、作業(yè)5已知ABC中，acosB=bcosA，請判斷三角形的形狀課堂教學設計說明1余弦定理是解三角形的重要依據(jù)，要給予足夠重視本內(nèi)容安排兩節(jié)課適宜第一節(jié)，余弦定理的引出、證明和簡單應用；第二節(jié)復習定理內(nèi)容，加強定理的應用2當已知兩邊及一邊對角需要求第三邊時，可利用方程的思想，引出含第三邊為未知量的方程，間接利用余弦定理解決問題，此時應注意解的不唯一性幾何畫板：驗證余弦定理第1步，啟動幾何畫板，單擊工具箱上的“直尺”工具，在操作區(qū)作出任意三角形ABC。單擊工具箱上的“選擇箭頭”工具，選中三角形的三條邊，依次單擊“度量”“長度”菜單命令，度量3條邊的長度值，度量值顯示在操作區(qū)里 第2步，單擊操作區(qū)空白處，釋放所選對象，然后依次選中點A、點B和點C，依次單擊“度量”“角度”菜單命令，角ABC的度量值出現(xiàn)在操作區(qū)。同樣方法，度量角BCA和角CAB的角度。然后同時選中3組角度度量值，按住鼠標左鍵不放，當光標變成一個黑色箭頭時，拖動光標，使3組數(shù)據(jù)移動到合適位置，第3步，單擊操作區(qū)空白處，釋放所選對象，然后依次選中線段AB的度量值，依次單擊“度量”“計算”菜單命令，彈出對話框，單擊“數(shù)值”列表中的mAB、計算器上的平方號“”，然后選擇數(shù)字“2”，單擊“確定”按鈕，在操作區(qū)得到線段AB的平方值，拖動到適當位置。第4步，選中操作區(qū)中顯示的線段AC的度量值、線段BC的度量值和角BCA的度量值，依次單擊“度量”“計算”菜單命令，彈出對話框，按照上述方法照圖95所示的式子計算，然后單擊“確定”按鈕，在操作區(qū)中出現(xiàn)計算值，如圖97所示。第5步，單擊工具箱上的“選擇箭頭”工具，同時選中兩個度量值，然后單擊“圖表”“制表”菜單命令，在操作區(qū)繪制出表格。第6步，拖動三角形的任意一個頂點，可看到操作區(qū)中的數(shù)值變化，可是表格中的數(shù)值始終相等。選中表格，雙擊表格，在表格中添加一行紀錄，如圖98所示。依次單擊“文件”“保存”菜單命令，保存文件。正、余弦定理的應用一、解三角形例1 ABC中，a=2,b=2,C=15o ,解此三角形.解（分別從正弦、余弦定理 出發(fā)）例2 ABC中，=c2 ,a cosB=b cosA, 判斷三角形的形狀。解（如何選正弦、余弦定理解題）例3 ABC中，sinA=2sinB cosC , = 判斷三角形的形狀。解（根據(jù)條件運用正弦、余弦定理解題）二、距離與高度的測量例1 在離海岸不遠處的海面上有兩個航標P, Q ，現(xiàn)要測量他們之間的距離，在岸邊取兩點 A, B 測得：AB=50m, PAB=105o , QAB=30o , PBA=45o QBA=135o 例2 海中有島A，已知A島四周8海里內(nèi)有暗礁，今有一貨輪由西向東航行，望見島在北偏東750，行20海里后見此島在北偏東300 ，如貨輪不改變航行方向繼續(xù)前進，有無觸礁的危險？例3 在200米高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別為300和600，求塔高。例4 甲、乙兩樓相距20米 ，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?00 ，從甲樓頂望乙樓年頂?shù)母┙菫?00 ，求甲、乙兩樓的高分別是多少？例5 貨輪在海上以40km/h，的速度沿方位角為1400 ，的方向航行，為了確定船位，