高中數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)的幾何意義

1.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解曲線的切線的含義.2.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.3.會求曲線在某點(diǎn)處的切線方程.4.理解導(dǎo)函數(shù)的定義，會用定義法求簡單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).知識點(diǎn)一曲線的切線如圖所示，當(dāng)點(diǎn)Pn沿著曲線yf(x)無限趨近于點(diǎn)P時，割線PPn趨近于確定的位置，這個確定位置的直線PT稱為點(diǎn)P處的切線.(1)曲線yf(x)在某點(diǎn)處的切線與該點(diǎn)的位置有關(guān)；(2)曲線的切線，并不一定與曲線只有一個交點(diǎn)，可以有多個，甚至可以有無窮多個.思考有同學(xué)認(rèn)為曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線l與曲線yf(x)只有一個交點(diǎn)，你認(rèn)為正確嗎？答案不正確.曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線l與曲線yf(x)的交點(diǎn)個數(shù)不一定只有一個，如圖所示.知識點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xx0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)就是曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處切線的斜率.思考(1)曲線的割線與切線有什么關(guān)系？(2)曲線在某點(diǎn)處的切線與在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)有何關(guān)系？答案(1)曲線的切線是由割線繞一點(diǎn)轉(zhuǎn)動，當(dāng)割線與曲線的另一交點(diǎn)無限接近這一點(diǎn)時趨于的直線.曲線的切線并不一定與曲線有一個交點(diǎn).(2)函數(shù)f(x)在x0處有導(dǎo)數(shù)，則在該點(diǎn)處函數(shù)f(x)表示的曲線必有切線，且在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是該切線的斜率.函數(shù)f(x)表示的曲線在點(diǎn)(x0，f(x0)處有切線，但函數(shù)f(x)在該點(diǎn)處不一定可導(dǎo)，如f(x)在x0處有切線，但不可導(dǎo).知識點(diǎn)三導(dǎo)函數(shù)的概念對于函數(shù)yf(x)，當(dāng)xx0時，f(x0)是一個確定的數(shù)，這樣，當(dāng)x變化時，f(x)便是關(guān)于x的一個函數(shù)，稱它為函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)，也可記作y，即f(x)y .函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)y|就是函數(shù)yf(x)在開區(qū)間(a，b)(x(a，b)上的導(dǎo)數(shù)f(x)在xx0處的函數(shù)值，即y|f(x0)，所以函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)也記作f(x0).思考如何正確理解“函數(shù)f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)”“導(dǎo)函數(shù)”“導(dǎo)數(shù)”三者之間的區(qū)別與聯(lián)系？答案“函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)”是一個數(shù)值，是針對x0而言的，與給定的函數(shù)及x0的位置有關(guān)，而與x無關(guān)；“導(dǎo)函數(shù)”簡稱為“導(dǎo)數(shù)”，是一個函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)是對一個區(qū)間而言的，它是一個確定的函數(shù)，依賴于函數(shù)本身，而與x，x無關(guān).題型一求曲線的切線方程1.求曲線在某點(diǎn)處的切線方程例1求曲線yf(x)x3x3在點(diǎn)(1,3)處的切線方程.解因?yàn)辄c(diǎn)(1,3)在曲線上，過點(diǎn)(1,3)的切線的斜率為f(1) (x)23x22，故所求切線方程為y32(x1)，即2xy10.反思與感悟若求曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程，其切線只有一條，點(diǎn)P(x0，y0)在曲線yf(x)上，且是切點(diǎn)，其切線方程為yy0f(x0)(xx0).跟蹤訓(xùn)練1(1)曲線f(x)x3x25在x1處切線的傾斜角為 .(2)曲線yf(x)x3在點(diǎn)P處切線斜率為3，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 .答案(1)(2)(1，1)或(1,1)解析(1)設(shè)切線的傾斜角為，則tan (x)211.0，)，.切線的傾斜角為.(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，x)，則有 3x3x0x(x)23x.3x3，解得x01.點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1,1)或(1，1).2.求曲線過某點(diǎn)的切線方程例2求過點(diǎn)(1，2)且與曲線y2xx3相切的直線方程.解y 23x23xx(x)223x2.設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0,2x0x)，切線方程為y2x0x(23x)(xx0).又切線過點(diǎn)(1，2)，22x0x(23x)(1x0)，即2x3x0，x00或x0.切點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0)或(，).當(dāng)切點(diǎn)為(0,0)時，切線斜率為2，切線方程為y2x；當(dāng)切點(diǎn)為(，)時，切線斜率為，切線方程為y2(x1)，即19x4y270.綜上可知，過點(diǎn)(1，2)且與曲線相切的直線方程為y2x或19x4y270.反思與感悟若題中所給點(diǎn)(x0，y0)不在曲線上，首先應(yīng)設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出等式，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出切線方程.跟蹤訓(xùn)練2求過點(diǎn)P(3,5)且與曲線yx2相切的直線方程.解由題意知y 2x.設(shè)所求切線的切點(diǎn)為A(x0，y0).點(diǎn)A在曲線yx2上，y0x.又A是切點(diǎn)，過點(diǎn)A的切線的斜率y|2x0.所求切線過P(3,5)和A(x0，y0)兩點(diǎn)，其斜率為.2x0，解得x01或x05.從而切點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,1)或(5,25).當(dāng)切點(diǎn)為(1,1)時，切線的斜率為k12x02；當(dāng)切點(diǎn)為(5,25)時，切線的斜率為k22x010.所求的切線有兩條，方程分別為y12(x1)和y2510(x5)，即2xy10和10xy250.題型二求導(dǎo)函數(shù)例3求函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù).解 yf(xx)f(x)，f(x) .反思與感悟求解f(x)時，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義，首先計(jì)算yf(xx)f(x).然后，再求解，最后得到f(x) .跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)x21，求f(x)及f(1).解 因yf(xx)f(x)(xx)21(x21)2xx(x)2，故 2x，得f(x)2x，f(1)2.題型三導(dǎo)數(shù)幾何意義的綜合應(yīng)用例4設(shè)函數(shù)f(x)x3ax29x1(a0)，若曲線yf(x)的斜率最小的切線與直線12xy6平行，求a的值.解yf(xx)f(x)(xx)3a(xx)29(xx)1(x3ax29x1)(3x22ax9)x(3xa)(x)2(x)3，3x22ax9(3xa)x(x)2，f(x) 3x22ax93(x)299.由題意知f(x)最小值是12，912，a29，a0，a3.反思與感悟與導(dǎo)數(shù)的幾何意義相關(guān)的題目往往涉及解析幾何的相關(guān)知識，如直線的方程、直線間的位置關(guān)系等，因此要綜合應(yīng)用所學(xué)知識解題.跟蹤訓(xùn)練4(1)已知函數(shù)f(x)在區(qū)間0,3上的圖象如圖所示，記k1f(1)，k2f(2)，k3f(2)f(1)，則k1，k2，k3之間的大小關(guān)系為 .(請用“”連接) (2)曲線y和yx2在它們交點(diǎn)處的兩條切線與x軸所圍成的三角形的面積是 .答案(1)k1k3k2(2)解析(1)結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，k1就是曲線在點(diǎn)A處切線的斜率，k2則為在點(diǎn)B處切線的斜率，而k3則為割線AB的斜率，由圖易知它們的大小關(guān)系.(2)聯(lián)立解得故交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1).曲線y在點(diǎn)(1,1)處切線方程為l1：xy20，曲線yx2在點(diǎn)(1,1)處切線方程為l2：2xy10.從而得S1.因?qū)Α霸谀滁c(diǎn)處”“過某點(diǎn)”分不清致誤例5已知曲線yf(x)x3上一點(diǎn)Q(1,1)，求過點(diǎn)Q的切線方程.錯解因y3x2，f(1)3.故切線方程為3xy20.錯因分析上述求解過程中，忽略了當(dāng)點(diǎn)Q不是切點(diǎn)這一情形，導(dǎo)致漏解.正解當(dāng)Q(1,1)為切點(diǎn)時，可求得切線方程為y3x2.當(dāng)Q(1,1)不是切點(diǎn)時，設(shè)切點(diǎn)為P(x0，x)，則由導(dǎo)數(shù)的定義，在xx0處，y3x，所以切線方程為yx3x(xx0)，將點(diǎn)(1,1)代入，得1x3x(1x0)，即2x3x10，所以(x01)2(2x01)0，所以x0，或x01(舍)，故切點(diǎn)為，故切線方程為yx.綜上，所求切線的方程為3xy20或3x4y10.防范措施解題前，養(yǎng)成認(rèn)真審題的習(xí)慣，其次，弄清“在某點(diǎn)處的切線”與“過某點(diǎn)的切線”，點(diǎn)Q(1,1)盡管在所給曲線上，但它可能是切點(diǎn)，也可能不是切點(diǎn).1.下列說法中正確的是()A.和曲線只有一個公共點(diǎn)的直線是曲線的切線B.和曲線有兩個公共點(diǎn)的直線一定不是曲線的切線C.曲線的切線與曲線不可能有無數(shù)個公共點(diǎn)D.曲線的切線與曲線有可能有無數(shù)個公共點(diǎn)答案D解析ysin x，xR在點(diǎn)(，1)處的切線與ysin x有無數(shù)個公共點(diǎn).2.已知曲線yf(x)2x2上一點(diǎn)A(2,8)，則點(diǎn)A處的切線斜率為()A.4 B.16 C.8 D.2答案C解析f(2) (82x)8，即k8.3.若曲線yx2axb在點(diǎn)(0，b)處的切線方程是xy10，則()A.a1，b1 B.a1，b1C.a1，b1 D.a1，b1答案A解析由題意，知ky|x0 1，a1.又(0，b)在切線上，b1，故選A.4.已知曲線yx22上一點(diǎn)P，則過點(diǎn)P的切線的傾斜角為()A.30 B.45C.135 D.165答案B解析yx22，y x.y|x11.點(diǎn)P處切線的斜率為1，則切線的傾斜角為45.5.已知曲線yf(x)2x24x在點(diǎn)P處的切線斜率為16，則P點(diǎn)坐標(biāo)為 .答案(3,30)解析設(shè)點(diǎn)P(x0,2x4x0)，則f(x0) 4x04，令4x0416得x03，P(3,30).1.導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義是曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線的斜率，即k f(x0)，物理意義是運(yùn)動物體在某一時刻的瞬時速度.2.“函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)”是一個數(shù)值，不是變數(shù)，“導(dǎo)函數(shù)”是一個函數(shù)，二者有本質(zhì)的區(qū)別，但又有密切關(guān)系，f(x0)是其導(dǎo)函數(shù)yf(x)在xx0處的一個函數(shù)值.3.利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，要注意已知點(diǎn)是否在曲線上.如果已知點(diǎn)在曲線上，則以該點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知點(diǎn)不在切線上，則設(shè)出切點(diǎn)(x0，f(x0)，表示出切線方程，然后求出切點(diǎn).一、選擇題1.下列說法正確的是()A.若f(x0)不存在，則曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處就沒有切線B.若曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處有切線，則f(x0)必存在C.若f(x0)不存在，則曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線斜率不存在D.若曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處沒有切線，則f(x0)有可能存在答案C解析kf(x0)，所以f(x0)不存在只說明曲線在該點(diǎn)的切線斜率不存在，而當(dāng)斜率不存在時，切線方程也可能存在，其切線方程為xx0.2.已知yf(x)的圖象如圖所示，則f(xA)與f(xB)的大小關(guān)系是() A.f(xA)f(xB)B.f(xA)f(xB)C.f(xA)f(xB)D.不能確定答案B解析由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，f(xA)，f(xB)分別是切線在點(diǎn)A、B處切線的斜率，由圖象可知f(xA)f(xB).3.在曲線yx2上切線傾斜角為的點(diǎn)是()A.(0,0) B.(2,4)C.(，) D.(，)答案D解析y (2xx)2x，令2xtan 1，得x.y2，所求點(diǎn)的坐標(biāo)為.4.已知曲線yx3上一點(diǎn)P(2，)，則該曲線在P點(diǎn)處切線的斜率為()A.4 B.2 C.4 D.8 答案A解析因yx3，得y 3x23xx(x)2x2，故yx2，y|x2224，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，曲線在P點(diǎn)處切線的斜率為4.5.設(shè)曲線yax2在點(diǎn)(1，a)處的切線與直線2xy60平行，則a等于()A.1 B.C. D.1答案A解析y|x1 (2aax)2a.可令2a2，a1.6.如圖，函數(shù)yf(x)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是yx8，則f(5)f(5)等于() A.2 B.3C.4 D.5答案A解析易得切點(diǎn)P(5,3)，f(5)3，k1，即f(5)1.f(5)f(5)312.二、填空題7.已知函數(shù)yf(x)的圖象在點(diǎn)M(1，f(1)處的切線方程是yx2，則f(1)f(1) .答案3解析由在點(diǎn)M處的切線方程是yx2，得f(1)12，f(1).f(1)f(1)3.8.過點(diǎn)P(1,2)且與曲線y3x24x2在點(diǎn)M(1,1)處的切線平行的直線方程是 .答案2xy40解析曲線y3x24x2在點(diǎn)M(1,1)處的切線斜率ky|x1 (3x2)2.過點(diǎn)P(1,2)的直線的斜率為2，由點(diǎn)斜式得y22(x1)，即2xy40.所求直線方程為2xy40.9.若曲線y2x24xP與直線y1相切，則P .答案3解析設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,1)，則f(x0)4x040，x01，即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1).24P1，即P3.10.設(shè)P為曲線C：yx22x3上的點(diǎn)，且曲線C在點(diǎn)P處的切線傾斜角的范圍為，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為 .答案解析f(x) (x2x2)2x2.可設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為x0，則曲線C在P點(diǎn)處的切線斜率為2x02.由已知得02x021，1x0，點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為.三、解答題11.求曲線yx2在點(diǎn)(1,1)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積.解由導(dǎo)數(shù)定義可得y|x12，曲線yx2在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y12(x1)，即y2x1，設(shè)它與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為A(0，1)，B(，0)，SAOB|OA|OB|.12.已知拋物線yx2和直線xy20，求拋物線上一點(diǎn)到該直線的最短距離.解方法一設(shè)P(x，x2)為拋物線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線xy20的距離為d2，所以當(dāng)x時，d最小，最小值為.方法二由題意設(shè)直線xyb0與拋物線yx2相切，則x2xb0，由0得b，所以直線xy0與xy20的距離為d，所以拋物線yx2上的點(diǎn)到直線xy20的最短距離為.方法三根據(jù)題意可知，與直線xy20平行的拋物線yx2的切線對應(yīng)的切點(diǎn)到直線xy20的距離最短，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，x)，則y|xx0 2x01，所以x0，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，切點(diǎn)到直線xy20的距離d，所以拋物線上的