數(shù)學(xué)專業(yè)英語-翻譯-2.7.序列及其極限

序列及其極限7-A 序列定義日常英語中，詞“sequence”和“series”是同義詞，它們用來表示按某種順序排列的一連串東西或事件。在數(shù)學(xué)上，這兩個詞有特殊專業(yè)含義，如通常用法一樣，術(shù)語“sequence”表示按順序排列的一串東西，而詞“series”用于某種不同的意思。在這節(jié)討論序列概念，而級數(shù)將在第十一節(jié)定義。如果對于每個正整數(shù)n都存在一個實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)an與之對應(yīng)，則有序集a1,a2,an,稱為無窮序列。這里重要的是，集合中的每一個元素都用正整數(shù)來標(biāo)記，因此我們可以說，第一項(xiàng)a1，第二項(xiàng)a2，一般地，第n項(xiàng)an。每一項(xiàng)an都有下一項(xiàng)an+1，因此沒有“最后”一項(xiàng)。序列最常用的例子是，給定某種規(guī)則或公式來描述第n項(xiàng)。因此，例如，公式an=1/n定義了一個序列，它的前五項(xiàng)是：1，1/2，1/3，1/4,1/5.有時可以使用兩個或更多的公式，例如，a2n-1=1，a2n=2n2，在這種情況下，前幾項(xiàng)是：1,2,1,8,1,18,1,32,1.另一種通常定義序列的方法是：通過一串指令說明在給定初始項(xiàng)后如何得到后面的項(xiàng)。因此我們有，對n2，a1=a2=1，an+1=an+an-1。這個特殊規(guī)則就是常見的遞推公式，它定義了一個著名的稱為Fibonacci數(shù)的序列，前幾項(xiàng)是1，1，2，3，5，8，13，21，34.對任一序列，本質(zhì)的問題是存在某個定義在正整數(shù)上的函數(shù)f使得對每一個n=1,2,3,f(n)是序列的第n項(xiàng)。事實(shí)上，這可能是陳述序列專業(yè)定義最方便的方法。定義：定義域是所有正整數(shù)1,2,3，的函數(shù)稱為無窮序列。函數(shù)值f(n)稱為序列的第n項(xiàng)。函數(shù)的值域（即函數(shù)值集合）通常是按順序書寫各項(xiàng)來表示，因此：f(1)， f(2)， f(3)，f(n)，.為簡略起見，記號f(n)通常用于表示第n項(xiàng)是f(n)的序列，序列各項(xiàng)對n的相關(guān)性常常通過利用下標(biāo)來表示，我們可以寫為an, sn, xn, un,或者類似的東西來替代f(n)。除非特別聲明，本章所有序列都假設(shè)具有實(shí)的或復(fù)的項(xiàng)。7B 序列極限這里，我們最關(guān)心的問題是決定當(dāng)n無限增加時，項(xiàng)f(n)是否會趨于一個有限的極限。要處理這個問題，我們必須將極限概念推廣到序列。做法如下：定義：說序列f(n)有極限L，如果對每一的正數(shù)都存在另一個正數(shù)N（可能依賴于）使得對所有的nN有| f(n)-L|.在這種情況下，我們說序列f(n)收斂到L，記為不收斂的序列稱為發(fā)散。在這個定義中，函數(shù)值f(n)和極限L可以是實(shí)數(shù)或者復(fù)數(shù)。如果f(n)和L是復(fù)數(shù)，我們可將它們分解成實(shí)部和虛部，記為f=u+iv, L=a+ib, 則有f(n)-L= u(n)- a+iv(n)-b. 不等式表明當(dāng) 反過來，不等式表明當(dāng) 換句話說，復(fù)值序列f收斂當(dāng)且僅當(dāng)實(shí)部u和虛部v分別收斂，這是有顯然，對所有正實(shí)數(shù)x有定義的函數(shù)都可以通過限制x僅取正整數(shù)來構(gòu)造序列，這表明，剛剛給出的定義與6.4節(jié)中作為更一般函數(shù)的定義之間十分類似。這種類似也可以推廣到無窮極限，我們把定義記號留給讀者，就像在6.5節(jié)當(dāng)f是實(shí)值時那樣做，如果f是復(fù)的，就記術(shù)語“收斂序列”通常僅指極限為有限的序列，具有無限極限的序列稱為發(fā)散。當(dāng)然存在沒有無限極限的發(fā)散序列，有下列公式定義的序列，就是例子，作為討