2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試高考數(shù)學(xué)信息卷（二）理VIP

2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試最新高考信息卷理 科 數(shù) 學(xué)（二） 注意事項(xiàng)：1、本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分。答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在答題卡上。2、回答第卷時(shí)，選出每小題的答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在試卷上無(wú)效。3、回答第卷時(shí)，將答案填寫在答題卡上，寫在試卷上無(wú)效。4、考試結(jié)束，將本試卷和答題卡一并交回。第卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1設(shè)集合，則=（ ）AB或CD【答案】A【解析】由得，解得，或，故故選A2設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（ ）A3BC9D10【答案】A【解析】，故選A3已知實(shí)數(shù)，滿足：，則（ ）ABCD【答案】B【解析】函數(shù)為增函數(shù)，故而對(duì)數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，所以，故選B4已知命題對(duì)任意，總有；命題直線，若，則或；則下列命題中是真命題的是（ ）ABCD【答案】D【解析】構(gòu)造函數(shù)，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，也即，故為真命題由于兩直線平行，故，解得或，當(dāng)時(shí)，與重合，故為假命題故為真命題所以選D5在區(qū)域內(nèi)任意取一點(diǎn)，則的概率是（ ）ABCD【答案】B【解析】畫出圖象如圖陰影部分所示，故概率為，所以選B6將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，則所得圖象的解析式為（ ）ABCD【答案】C【解析】向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得帶，再把圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)得到，故選C7宋元時(shí)期數(shù)學(xué)名著算學(xué)啟蒙中有關(guān)于“松竹并生”的問題：松長(zhǎng)五尺，竹長(zhǎng)兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長(zhǎng)等下圖是源于其思想的一個(gè)程序框圖，若輸入的，分別為5，2，則輸出的（ ）A5B4C3D2【答案】B【解析】模擬程序運(yùn)行，可得：，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體；，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體；，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體；，滿足條件，退出循環(huán)，輸出的值為故選B8已知在銳角中，角，的對(duì)邊分別為，且則的值為（ ）ABCD【答案】A【解析】由正弦定理和余弦定理得，化簡(jiǎn)得9如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長(zhǎng)為1，圖中粗線畫的是某幾何體的三視圖，則該幾何體最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為（ ）A4BCD【答案】D【解析】如圖所示，由三視圖可知該幾何體為：四棱錐其中，平面，則該幾何體最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度故選D10已知點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線上的點(diǎn)，且，若雙曲線中心在原點(diǎn)，是它的一個(gè)焦點(diǎn)，且過點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，雙曲線的離心率為（ ）ABCD【答案】C【解析】由于在拋物線準(zhǔn)線上，故，故拋物線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)直線和拋物線相切時(shí)，取得最小值，設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程得，判別式，解得，不妨設(shè)，由，解得，即設(shè)雙曲線方程為，將點(diǎn)坐標(biāo)代入得，即，而雙曲線，故，所以，解得，故離心率為，故選C11如圖：在正方體中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在其表面上運(yùn)動(dòng)，且與平面的距離保持不變，運(yùn)行軌跡為，當(dāng)從點(diǎn)出發(fā)，繞其軌跡運(yùn)行一周的過程中，運(yùn)動(dòng)的路程與之間滿足函數(shù)關(guān)系，則此函數(shù)圖象大致是（ ）ABCD【答案】D【解析】畫出圖象如圖所示，由于平面平面，故三角形即點(diǎn)的運(yùn)行軌跡以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，故，當(dāng)在時(shí)，當(dāng)在時(shí)，由此排除A，C兩個(gè)選項(xiàng)根據(jù)圖象的對(duì)稱性可知，當(dāng)在和上運(yùn)動(dòng)時(shí)，圖象應(yīng)該對(duì)稱，故排除B選項(xiàng)所以選D12已知偶函數(shù)滿足，且，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式在上有且只有個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【解析】由可知函數(shù)的對(duì)稱軸為，由于函數(shù)是偶函數(shù)，也是它的對(duì)稱軸，故函數(shù)是周期為的周期函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞增，在上遞增，最大值，且由選項(xiàng)可知，所以，解得或根據(jù)單調(diào)性和周期性畫出圖象如圖所示，由圖可知沒有整數(shù)解根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，所以在上有個(gè)周期，且有個(gè)整數(shù)解，也即每個(gè)周期內(nèi)有個(gè)解，故，解得第卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第(13)(21)題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第(22)(23)題為選考題，考生根據(jù)要求作答。二、填空題：本大題共4小題，每小題5分。13已知平面向量，的夾角為，且，則_【答案】2【解析】14已知，則的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為_【答案】【解析】函數(shù)是奇函數(shù)，則，則，據(jù)此可得：，其展開式的通項(xiàng)公式為：，展開式中的常數(shù)項(xiàng)滿足，即：15如圖所示，正四面體中，是棱的中點(diǎn)，是棱上一動(dòng)點(diǎn)，的最小值為，則該正四面體的外接球面積是_【答案】【解析】把正四面體展開成如圖所示的菱形，在菱形中，連結(jié)，交于，則的長(zhǎng)即為的最小值，即如圖，設(shè)，則，則，即正四面體的棱長(zhǎng)為該正四面體的外接球的半徑為，該正四面體的外接球的面積為，故答案為16對(duì)于任一實(shí)數(shù)序列，定義為序列，它的第項(xiàng)是，假定序列的所有項(xiàng)都是，且，則_【答案】1000【解析】依題意知是公差為的等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，通項(xiàng)為，則，于是由于，即，解得，故三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，且對(duì)，都有；（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：【答案】（1）；（2）見解析【解析】（1），數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，（2），18年微信用戶數(shù)量統(tǒng)計(jì)顯示，微信注冊(cè)用戶數(shù)量已經(jīng)突破億微信用戶平均年齡只有歲，的用戶在歲以下，的用戶在歲之間，為調(diào)查大學(xué)生這個(gè)微信用戶群體中每人擁有微信的數(shù)量，現(xiàn)在從北京大學(xué)生中隨機(jī)抽取位同學(xué)進(jìn)行了抽樣調(diào)查，結(jié)果如下：微信群數(shù)量頻數(shù)頻率至個(gè)至個(gè)至個(gè)至個(gè)個(gè)以上合計(jì)（1）求，的值；（2）若從位同學(xué)中隨機(jī)抽取人，求這人中恰有人微信群個(gè)數(shù)超過個(gè)的概率；（3）以這個(gè)人的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)北京市的總體數(shù)據(jù)且以頻率估計(jì)概率，若從全市大學(xué)生中隨機(jī)抽取人，記表示抽到的是微信群個(gè)數(shù)超過個(gè)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望【答案】（1），；（2）；（3）見解析【解析】（）由已知得，解得，（）記“人中恰有人微信群個(gè)數(shù)超過個(gè)”為事件，則所以，人中恰有人微信群個(gè)數(shù)超過個(gè)的概率為（）依題意可知，微信群個(gè)數(shù)超過個(gè)的概率為的所有可能取值，則，所以的分布列為：數(shù)學(xué)期望19如圖，在四棱錐中，四邊形為梯形，且，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，頂點(diǎn)在上的射影為點(diǎn)，且，（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）證明：由頂點(diǎn)在上投影為點(diǎn)，可知，取的中點(diǎn)為，連結(jié)，在中，所以在中，所以所以，即，面又面，所以面面（2）由（1）知，且，所以面，且面以所在直線為軸，所在直線為軸，過點(diǎn)作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：，設(shè)平面，的法向量分別為，則，則，則，所以二面角的余弦值為20已知曲線，曲線，且與的焦點(diǎn)之間的距離為，且與在第一象限的交點(diǎn)為（1）求曲線的方程和點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若過點(diǎn)且斜率為的直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，過點(diǎn)與垂直的直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為設(shè)，試求取值范圍【答案】（1），；（2）【解析】（1）曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由與的焦點(diǎn)之間的距離為2，得，解得，的方程為由，解得（2）設(shè)直線的方程為，即，由，得則，又直線的方程為，即，由，得，則，同理，即綜上所述：21已知（1）求函數(shù)的極值；（2）設(shè)，對(duì)于任意，總有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】（1）的極小值為，極大值為；（2）【解析】（1），所以的極小值為，極大值為（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，對(duì)于任意，總有成立，等價(jià)于恒成立，時(shí)，因?yàn)?，所以，即在上單調(diào)遞增，恒成立，符合題意當(dāng)時(shí)，設(shè)，所以在上單調(diào)遞增，且，則存在，使得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以不恒成立，不合題意綜合可知，所求實(shí)數(shù)的取值范圍是請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計(jì)分。22已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；直線（，）與曲線相交于，兩點(diǎn)，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸的負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）記線段的中點(diǎn)為，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】（1）；（2）【解析】（1）曲線的參數(shù)方程