高二數(shù)學(xué)選修21知識(shí)復(fù)習(xí)一人教實(shí)驗(yàn)B

高二數(shù)學(xué)選修2-1知識(shí)復(fù)習(xí)一一. 本周教學(xué)內(nèi)容： 選修21知識(shí)復(fù)習(xí)（一）二. 教學(xué)目的：通過(guò)對(duì)選修21各章節(jié)重點(diǎn)知識(shí)分析及例題講解，加強(qiáng)對(duì)本冊(cè)知識(shí)的掌握。三. 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)問(wèn)題專(zhuān)題講解四. 知識(shí)分析（一）充分條件與必要條件充分條件與必要條件是對(duì)命題進(jìn)行研究的重要途徑，因而這部分知識(shí)是高考的必考內(nèi)容。高考一般以選擇題形式出現(xiàn)，考查同學(xué)們的邏輯推理能力，往往與其他知識(shí)結(jié)合起來(lái)考查。一、應(yīng)用充分條件、必要條件、充要條件時(shí)需注意的問(wèn)題1. 充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件反映了條件p和結(jié)論q之間的因果關(guān)系，在結(jié)合具體問(wèn)題進(jìn)行判斷時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：（1）確定條件是什么，結(jié)論是什么；（2）嘗試從條件推結(jié)論，結(jié)論推條件；（3）確定條件是結(jié)論的什么條件；（4）要證明命題的條件是充要的，就既要證明原命題成立，又要證明它的逆命題成立。證明原命題即證明條件的充分性，證明逆命題即證明條件的必要性。2. 對(duì)于充要條件，要熟悉它的同義詞語(yǔ)。在解題時(shí)常常遇到與充要條件同義的詞語(yǔ)，如“當(dāng)且僅當(dāng)”，“必須且只需”，“等價(jià)于”，“反過(guò)來(lái)也成立”，準(zhǔn)確地理解和使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，對(duì)理解和把握數(shù)學(xué)知識(shí)是十分重要的。二、典型例題 例1. 是否存在實(shí)數(shù)p，使“”是“”的充分條件？如果存在，求出p的取值范圍。分析：“”是條件，“”是結(jié)論，先解出這兩個(gè)不等式，再探究符合條件的p的范圍。解：的解是或由得要使時(shí)，或成立，必須有，即。當(dāng)時(shí)，有所以當(dāng)時(shí)，“”是“”的充分條件。點(diǎn)評(píng)：本題用集合的包含關(guān)系去理解要容易解答，注意結(jié)合數(shù)軸來(lái)確定p的范圍。 例2. 求證：直線(xiàn)與圓相切的充要條件是：。分析：本題的條件是“”，結(jié)論是“直線(xiàn)與圓相切”。證明過(guò)程主要運(yùn)用方程（組）思想。證明：必要性：由方程組得：因?yàn)橹本€(xiàn)與圓相切，所以方程必有兩相等實(shí)根。故即充分性：若，由得：判別式所以直線(xiàn)與圓相切。點(diǎn)評(píng)：證明充要條件首先要識(shí)別什么是條件，什么是結(jié)論，然后再證明條件的充分性（即條件結(jié)論）和條件的必要性（即結(jié)論條件）。（二）命題及其關(guān)系一、基礎(chǔ)知識(shí)梳理 1. 命題：可以判斷真假的語(yǔ)句叫做命題。 2. 四種命題。原命題：如果p，那么q（或若p，則q）；逆命題：如果q，則p；否命題：如果，則；逆否命題：如果q，則p。注：原命題與它的逆否命題同為真假，原命題的逆命題與它的否命題同為真假，所以對(duì)一些命題的真假判斷（或推證），我們可通過(guò)與它同真假的（具有逆否關(guān)系的）命題來(lái)判斷（或推證）。二、典例剖析 例1. 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，有下列三個(gè)命題：如果存在常數(shù)M，使得對(duì)任意，有，則M是函數(shù)的最大值；如果存在，使得對(duì)任意，且，有，則是函數(shù)的最大值；如果存在，使得對(duì)任意，有，則是函數(shù)的最大值。這些命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3解析：錯(cuò)。原因：“=”可能取不到。，都正確。故選C。 例2. 如果a、b、cR，寫(xiě)出命題“如果ac2由q知，解得因?yàn)椤皃或q”為真，“p且q”為假，所以p為真，q為假；若p為假，q為真。即；或解得或即為所求。評(píng)注：該例涉及一元二次方程、一元二次不等式（組）、補(bǔ)集以及“p或q”，“p且q”兩類(lèi)命題的判斷等知識(shí)。解答時(shí)，應(yīng)注意層層推進(jìn)，先將p，q化簡(jiǎn)，然后依題設(shè)條件“p或q”為真，“p且q”為假，推導(dǎo)出所有可能情況。（四）全稱(chēng)量詞與存在量詞全稱(chēng)量詞與存在量詞是新課標(biāo)中的新增內(nèi)容，在以往的高考中沒(méi)有出現(xiàn)，為了體現(xiàn)新課標(biāo)的精神，在今后的高考中一定會(huì)有體現(xiàn)，預(yù)計(jì)主要以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，并且是和其他知識(shí)結(jié)合起來(lái)進(jìn)行考查。一、全稱(chēng)量詞概念：短語(yǔ)“對(duì)所有的”、“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱(chēng)量詞，并用符號(hào)“”表示。注意：（1）將含有變量x的語(yǔ)句用，表示，變量x的取值范圍用M表示，那么，全稱(chēng)命題“對(duì)M中任意一個(gè)x，有成立”，可簡(jiǎn)記為“，”。（2）全稱(chēng)命題就是陳述某集合中所有元素都具有某種性質(zhì)的命題。（3）要判斷全稱(chēng)命題是真命題，需對(duì)集合M中每個(gè)元素x，證明成立；如果在集合M中找到一個(gè)元素，使得不成立，那么這個(gè)全稱(chēng)命題就是假命題。二、存在量詞概念：短語(yǔ)“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，用符號(hào)“”表示。注意：（1）存在性命題“存在M中的一個(gè)x，使成立”，可用符號(hào)簡(jiǎn)記為“，”。（2）存在性命題就是陳述在某集合中（存在）一些元素具有某性質(zhì)的命題。（3）要判斷一個(gè)存在性命題是真命題，只要在限定的集合M中，能找到一個(gè)，使成立即可；否則，這一存在性命題就是假命題。三、含有一個(gè)量詞的命題的否定全稱(chēng)命題p：，它的否定是：，全稱(chēng)命題的否定是存在性命題。存在性命題，它的否定是，存在性命題的否定是全稱(chēng)命題。四、范例點(diǎn)評(píng) 例1. 下列語(yǔ)句是不是全稱(chēng)命題或者存在性命題：（1）有一個(gè)實(shí)數(shù)m，m不能取對(duì)數(shù)；（2）三角函數(shù)都是周期函數(shù)嗎？（3）所有不等式的解集A，都有。分析：利用全稱(chēng)命題與存在性命題的概念來(lái)判定。解：（1）存在性命題（2）不是命題。（3）全稱(chēng)命題。評(píng)注：（2）由于不是命題，當(dāng)然就不是全稱(chēng)命題或者存在性命題了。 例2. 寫(xiě)出下列命題的否定并判斷其真假。（1）p：所有末位數(shù)字是0或5的整數(shù)都能被5整除；（2）p：存在一個(gè)三角形，它的內(nèi)角和大于180；（3）p：某些梯形的對(duì)角線(xiàn)互相平分。分析：首先要弄清楚命題是全稱(chēng)命題還是存在性命題，再針對(duì)不同形式加以否定。解：（1）：存在末位數(shù)字是0或5的整數(shù)不能被5整除，假命題。（2）：任何一個(gè)三角形，它的內(nèi)角和不大于180，真命題。（3）：任一梯形的對(duì)角線(xiàn)都不互相平分，真命題。（五）曲線(xiàn)與方程在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線(xiàn)C（看作適合某條件的點(diǎn)的集合或軌跡）上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程F（x，y）=0的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系：曲線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線(xiàn)上的點(diǎn)，那么這個(gè)方程叫做曲線(xiàn)的方程，這條曲線(xiàn)叫做方程的曲線(xiàn)。曲線(xiàn)與方程部分重點(diǎn)是曲線(xiàn)的方程與方程的曲線(xiàn)的概念以及理解和掌握求曲線(xiàn)方程的步驟。難點(diǎn)是曲線(xiàn)和方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解和求曲線(xiàn)方程方法的掌握。下面通過(guò)幾例來(lái)體驗(yàn)一下如何突破曲線(xiàn)與方程的重難點(diǎn)。 例1. 如果曲線(xiàn)l上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足F（x，y）=0，則以下說(shuō)法正確的是（ ）A. 曲線(xiàn)l的方程是F（x，y）=0B. 方程F（x，y）=0的曲線(xiàn)為lC. 坐標(biāo)不滿(mǎn)足方程F（x，y）=0的點(diǎn)不在曲線(xiàn)l上D. 坐標(biāo)滿(mǎn)足方程F（x，y）=0的點(diǎn)在曲線(xiàn)l上分析：從“曲線(xiàn)的方程”和“方程的曲線(xiàn)”兩方面判斷。解法一：原說(shuō)法寫(xiě)成命題形式即“若點(diǎn)M（x，y）是曲線(xiàn)l上的點(diǎn)，則M點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程F（x，y）=0”。其逆否命題為“若M點(diǎn)的坐標(biāo)不適合方程F（x，y）=0，則M點(diǎn)不在曲線(xiàn)l上”，此即說(shuō)法C。解法二：作如圖所示的曲線(xiàn)l，考查l與方程F（x，y）=的關(guān)系，顯然A、B、D的說(shuō)法全不正確。故選C。點(diǎn)評(píng)：本例給出了判定方程和曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)關(guān)系的兩種方法等價(jià)轉(zhuǎn)換法（解法一）和特值法（解法二），其中特值法應(yīng)引起同學(xué)們的重視。 例2. 如圖所示，線(xiàn)段AB與CD互相垂直平分于點(diǎn)O，（b0），動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。分析：本題需要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，然后將已知條件用坐標(biāo)表示。解：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)AB，CD分別為x軸、y軸建立坐標(biāo)系，設(shè)P（x，y）是曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn)。則A（a，0），B（a，0），C（0，b），D（0，b）由題意知：所以化簡(jiǎn)得：即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為。點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，本題的建系方法，運(yùn)算量較小。若建系不恰當(dāng)，計(jì)算量會(huì)大大增加，有時(shí)很可能得不出正確的結(jié)果。 例3. 過(guò)定點(diǎn)A（a，b）任作互相垂直的兩直線(xiàn)l1與l2，且l1與x軸交于M點(diǎn)，l2與y軸交于N點(diǎn)，求線(xiàn)段MN中點(diǎn)P的軌跡方程。分析：題目給出了3個(gè)條件：A（a，b），l1l2，點(diǎn)M，N?？蓮牟煌慕嵌热シ治?個(gè)條件之間的聯(lián)系。解法一：當(dāng)直線(xiàn)AM斜率存在時(shí)，設(shè)P（x，y），則M（2x，0），N（0，2y）。于是因?yàn)閘1l2，所以化簡(jiǎn)得：。當(dāng)直線(xiàn)AMx軸時(shí)，MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）也滿(mǎn)足上述方程。故所求點(diǎn)P的軌跡方程為。解法二：設(shè)P（x，y），M（，0），N（0，）則因?yàn)閘1l2，所以?；?jiǎn)得故所求點(diǎn)P的軌跡方程為解法三：（1）當(dāng)l1不平行于y軸時(shí)，設(shè)l1的斜率為，依題意。因?yàn)閘1l2，所以l2的斜率為。l1的方程為l2的方程為在中令y=0，得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)。在中令x=0，得N點(diǎn)的縱坐標(biāo)。設(shè)MN中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），即消去k1得：（2）當(dāng)l1平行于y軸時(shí)，MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（），其坐標(biāo)也滿(mǎn)足上述方程。故所求點(diǎn)P的軌跡方程為。（六）橢圓平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。橢圓部分的重點(diǎn)是橢圓的定義及相關(guān)概念、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)。難點(diǎn)是利用橢圓的定義解題，求橢圓的方程，橢圓的幾何性質(zhì)及應(yīng)用。下面通過(guò)幾例來(lái)體驗(yàn)一下如何突破橢圓的重難點(diǎn)。 例1. 在ABC中，BC=24，AC，AB邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)之和等于39，求ABC的重心的軌跡方程。分析：有一定長(zhǎng)線(xiàn)段BC，兩邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)也均與定點(diǎn)B，C以及ABC的重心有關(guān)系，因此考慮以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系。解：如圖所示，以線(xiàn)段BC所在直線(xiàn)為x軸、線(xiàn)段BC的中垂線(xiàn)為y軸建立直角坐標(biāo)系。設(shè)M是ABC的重心，BD是AC邊上的中線(xiàn)，CE是AB邊上的中線(xiàn)，由重心的性質(zhì)知。于是根據(jù)橢圓的定義知，點(diǎn)M的軌跡是以B，C為焦點(diǎn)的橢圓。因?yàn)?，所以a=13。又，所以。于是故ABC重心的軌跡方程為。評(píng)注：解本題的關(guān)鍵是由三角形中線(xiàn)的性質(zhì)推導(dǎo)出動(dòng)點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和為定值。 例2. 橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)A（，0）和B（0，b）是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，如果到直線(xiàn)AB的距離為，則橢圓的離心率_。分析：要求e的值，就是要求出a，c的值或a與c的關(guān)系，為此需利用到直線(xiàn)AB的距離為建立方程，從而求解。解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)F1作F1PAB交AB于P，由面積公式得：。又，所以整理得：所以即解得（舍去）故應(yīng)填。評(píng)注：上述解法用了等積變換，也可以利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求解，同學(xué)們不妨考慮一下。 例3. 如圖所示，從橢圓上一點(diǎn)M向x軸作垂線(xiàn)，恰好通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，且它的長(zhǎng)軸端點(diǎn)A及短軸端點(diǎn)B的連線(xiàn)AB與OM平行。（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)Q是橢圓上的任意一點(diǎn)，是右焦點(diǎn)，求的取值范圍；（3）設(shè)Q是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)與橢圓交于另一點(diǎn)P，若的面積為，求此時(shí)橢圓的方程。分析：要求離心率e，可由，尋找a，b，c之間的關(guān)系；要求的取值范圍，可考慮在中，用余弦定理求解；要求橢圓的方程，可利用的面積為的條件，由，求出直線(xiàn)PQ的斜率，進(jìn)而求出|PQ|，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離求出的高，問(wèn)題就得到解決了。解：（1）設(shè)橢圓半焦距為c，則M（）因?yàn)椋运?。故。?）設(shè)，則所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立。所以。即。（3）因?yàn)椋钥稍O(shè)橢圓方程為因?yàn)镻QAB，所以所以直線(xiàn)PQ的方程為代入橢圓方程，得所以因?yàn)辄c(diǎn)F1到直線(xiàn)PQ的距離所以。由，得故所求橢圓方程為評(píng)注：本題主要考查橢圓的定義與性質(zhì)、直線(xiàn)方程、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離、解三角形、不等式等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)。（七）雙曲線(xiàn)一、方法、技能、規(guī)律小結(jié) 1. 學(xué)習(xí)中，要注意熟練地應(yīng)用定義解題。 2. 聯(lián)系橢圓知識(shí)，尋求橢圓與雙曲線(xiàn)的區(qū)別和聯(lián)系，學(xué)會(huì)類(lèi)比，以求舉一反三。 3. 在求雙曲線(xiàn)的方程時(shí)，注意先定形，后定量。 4. 探究雙曲線(xiàn)的性質(zhì)時(shí)，注意提煉一些常用結(jié)論。例如：對(duì)于（1）實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、焦距依次成等差數(shù)列；（2）實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、焦距依次成等比數(shù)列ABF=90（A為右頂點(diǎn)，B為虛軸上的端點(diǎn)，F(xiàn)為左焦點(diǎn)）；（3）實(shí)軸長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)漸近線(xiàn)為。 5. 解有關(guān)雙曲線(xiàn)的問(wèn)題，要注意數(shù)形結(jié)合。二、 典型例題 例1. 若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到兩個(gè)定點(diǎn)（1，0），（1，0）的距離之差的絕對(duì)值為定值a（），求P的軌跡方程。分析：由題設(shè)條件，容易聯(lián)想到雙曲線(xiàn)，但注意到雙曲線(xiàn)定義中的條件，而題中a與2的大小不確定，故需討論。解：（1）當(dāng)0a2時(shí)，軌跡不存在。評(píng)注：對(duì)雙曲線(xiàn)定義的理解要準(zhǔn)確，不能忽視定義中的限制條件。 例2. 已知雙曲線(xiàn)過(guò)P1（）和P2（，4）兩點(diǎn)，求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程。分析：由題意無(wú)法判定焦點(diǎn)所在位置，焦點(diǎn)在x軸上和在y軸上兩種情況都有可能，因此應(yīng)分別設(shè)和，用代定系數(shù)法求解。（同學(xué)們可自行求解。）若把方程設(shè)為，那么該方程既能表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)，又能表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)，“身兼二職”，這樣就可一次成功，方便多了。解：設(shè)所示雙曲線(xiàn)方程為。因?yàn)樵陔p曲線(xiàn)上，所以有：解得所以所求雙曲線(xiàn)方程為。評(píng)注：解完后才知焦點(diǎn)只能在y軸上！設(shè)的技巧值得同學(xué)們學(xué)習(xí)、掌握。 例3. 已知雙曲線(xiàn)以為漸近線(xiàn)，且過(guò)點(diǎn)（1，2），求該雙曲線(xiàn)的方程。分析：判斷所求雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸還是在y軸上，是解決本題的關(guān)鍵。如圖，由（