江蘇蘇州第五中學(xué)高中數(shù)學(xué)2.3數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案無蘇教選修22

23 數(shù)學(xué)歸納法一、學(xué)習(xí)內(nèi)容、要求及建議知識、方法要求建議數(shù)學(xué)歸納法的原理了解借助具體實例了解數(shù)學(xué)歸納法的原理數(shù)學(xué)歸納法的簡單應(yīng)用理解理解數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題二、預(yù)習(xí)指導(dǎo)1預(yù)習(xí)目標(biāo)了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題2預(yù)習(xí)提綱(1)回顧已學(xué)知識，體會合情推理、演繹推理以及二者之間的聯(lián)系與差異，體會數(shù)學(xué)證明的特點，了解數(shù)學(xué)證明的基本方法(2)數(shù)學(xué)歸納法公理是證明有關(guān)自然數(shù)命題的依據(jù)，你能說出它的兩個步驟嗎?(3)結(jié)合課本第8687頁的例1例3，體會用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的2個步驟，解題時缺一不可；結(jié)合課本第8890頁的例4和例5，體會用“歸納猜想證明”的方法處理問題(4)閱讀課本第85頁至第90頁內(nèi)容，并完成課后練習(xí)3典型例題(1) 數(shù)學(xué)歸納法是以數(shù)學(xué)歸納法原理為依據(jù)的演繹推理，它將一個無窮歸納(完全歸納)的過程，轉(zhuǎn)化為一個有限步驟的演繹過程(遞推關(guān)系)數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟是：遞推奠基：當(dāng)n取第一個值n0結(jié)論正確；遞推歸納：假設(shè)當(dāng)n=k(kN*，且kn0)時結(jié)論正確；(歸納假設(shè))證明當(dāng)n=k1時結(jié)論也正確(歸納證明)由，可知，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確例1 用數(shù)學(xué)歸納法證明過程中，當(dāng)n=1時，左邊有_項，右邊有_項；當(dāng)n=k時，左邊有_項，右邊有_項；當(dāng)n=k1時，左邊有_項，右邊有_項；等式的左右兩邊，由n=k到n=k1時有什么不同?分析：證明時注意：n取第一個值n0是什么；從n=k到n=k1時關(guān)注項的變化解：當(dāng)n=1時，左邊有2_項，右邊有_1_項；當(dāng)n=k時，左邊有_2k_項，右邊有_k_項；當(dāng)n=k1時，左邊有_2(k1)_項，右邊有_k1_項；等式的左邊，由n=k到n=k1時多了兩項：；等式的右邊，由n=k到n=k1時多了兩項：，少了一項：(2)數(shù)學(xué)歸納法是直接證明的一種重要方法，應(yīng)用十分廣泛，主要體現(xiàn)在與正整數(shù)有關(guān)的恒等式、不等式；數(shù)的整除性、幾何問題；探求數(shù)列的通項及前n項和等問題例2 用數(shù)學(xué)歸納法證明 (nN*)分析：用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時，注意從“n=k到n=k1”時項的變化；配湊遞推假設(shè)；檢驗是否用了歸納假設(shè)證明：當(dāng)n=1時，結(jié)論成立；假設(shè)當(dāng)n=k時結(jié)論成立，即則當(dāng)n=k1時， 當(dāng)n=k1時結(jié)論成立由，可知，不等式對于從1開始的所有正整數(shù)n都成立例3 已知f(n)=(2n7)3n9，存在自然數(shù)m，使得對任意nN都能使m整除f(n)，求m的最大值分析：歸納證明時，利用歸納假設(shè)創(chuàng)設(shè)遞推條件，尋求f(k1)與f(k)的遞推關(guān)系，是解題的關(guān)鍵解：f(1)=36，f(2)=108=336，f(3)=360=1036f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除 證明 n=1，2時，由上得證；假設(shè)n=k(k2)時，f(k)=(2k7)3k9能被36整除，則n=k1時，f(k1)=(2k9)3k19=(6k27)3k9=(2k7)3k9(4k20)3k = f(k)36(k5)3k2(k2) f(k1)能被36整除；由、知f(n)能被36整除f(1)不能被大于36的數(shù)整除，所求m的最大值等于36例4 平面內(nèi)有n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，且每三個圓都不相交于同一點，求證：這n個圓把平面分成n2n2個部分分析：注意從n=k到n=k1時的變化解：當(dāng)n=1時，平面內(nèi)1個圓把平面分成2部分，此時n2n2=2，結(jié)論成立；假設(shè)當(dāng)n=k時結(jié)論成立，即平面內(nèi)k個圓把平面分成k2k2個部分，則當(dāng)n=k1時，第k1個圓與前面k個圓都相交，第k1個圓被前面k個圓分成2k段弧，每段弧都把原來的平面部分一分為二，因此多了2k 個部分，所以平面內(nèi)k1個圓把平面分成(k2k2)2k= k2k2=(k1)2(k1)2個部分，即當(dāng)n=k1時結(jié)論成立；由、可知，平面內(nèi)n個圓把平面分成n2n2個部分(3)解題時我們常常會遇到一類先猜后證的問題，這種問題的解題流程為：歸納猜想證明，而證明往往會用數(shù)學(xué)歸納法猜歸法是發(fā)現(xiàn)與論證的完美結(jié)合例5 是否存在常數(shù)，使得對一切正整數(shù)都成立?并證明你的結(jié)論；是否存在a，b，c使得等式122232n(n1)2=(an2bnc) 對于一切正整數(shù)n都成立?證明你的結(jié)論； 已知，是否存在關(guān)于的整式，使得等式對于大于1的一切正整數(shù)都成立?證明你的結(jié)論分析：根據(jù)已知條件“對一切正整數(shù)都成立”，我們可以先通過前幾個數(shù)，如=1，2，3的情形，進行歸納猜想，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論解：假設(shè)存在常數(shù)使等式成立，令得： 解之得；下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：對一切正整數(shù)都成立證明： 當(dāng)時，左邊，右邊，即原式成立； 假設(shè)當(dāng)時，原式成立，即 則當(dāng)時， 即當(dāng)時原式成立， 由、知對一切正整數(shù)都成立綜上所述，當(dāng)時，題設(shè)對一切自然數(shù)n均成立； 假設(shè)存在a，b，c使題設(shè)的等式成立，令n=1，2，3，則有于是，對n=1，2，3下面等式成立122232n(n1)2=記Sn=122232n(n1)2 n=1時，等式已證，成立； 假設(shè)n=k時上式成立，即Sk= (3k211k10)則：Sk1=Sk(k1)(k2)2= (3k211k10) (k1)(k2)2=(k2)(3k5)(k1)(k2)2 = (3k25k12k24)= (3k21724)= 3(k1)211(k1)10即對n=k1等式也成立由、知，122232n(n1)2=對一切正整數(shù)都成立綜上所述，當(dāng)a=3，b=11，c=10時，題設(shè)對一切自然數(shù)n均成立；假設(shè)存在，令，求得，令，求得，令，求得，由此猜想：，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：對一切大于1的正整數(shù)都成立(略)例6 （）已知函數(shù)，其中為有理數(shù)，且. 求的最小值；（）試用（）的結(jié)果證明如下命題：設(shè)，為正有理數(shù). 若，則；（）請將（）中的命題推廣到一般形式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你所推廣的命題.注：當(dāng)為正有理數(shù)時，有求導(dǎo)公式.解：（），令，解得.當(dāng)時，所以在內(nèi)是減函數(shù)；當(dāng) 時，所以在內(nèi)是增函數(shù).故函數(shù)在處取得最小值. （）由（）知，當(dāng)時，有，即 若，中有一個為0，則成立；若，均不為0，又，可得，于是在中令，可得，即，亦即.綜上，對，為正有理數(shù)且，總有. （）（）中命題的推廣形式為：設(shè)為非負(fù)實數(shù)，為正有理數(shù). 若，則. 用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：（1）當(dāng)時，有，成立. （2）假設(shè)當(dāng)時，成立，即若為非負(fù)實數(shù)，為正有理數(shù)，且，則. 當(dāng)時，已知為非負(fù)實數(shù)，為正有理數(shù)，且，此時，即，于是=.因，由歸納假設(shè)可得，從而. 又因，由得，從而.故當(dāng)時，成立.由（1）（2）可知，對一切正整數(shù)，所推廣的命題成立. 4自我檢測(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明3kn3(n3，nN)第一步應(yīng)驗證_(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明時，第二步證明從“k到k1”，左端增加的項數(shù)是_ (3)設(shè)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且滿足：“當(dāng) 成立時，總可推出成立” 那么，下列命題總成立的是_ 若成立，則成立；若成立，則成立； 若成立，則當(dāng)時，均有成立； 若成立，則當(dāng)時，均有成立(4)觀察下列式子 ，則可歸納出_三、課后鞏固練習(xí)A組1用數(shù)學(xué)歸納法證明：2用數(shù)學(xué)歸納法證明：3設(shè)f (n)=1，求證：nf (1)f (2)f (n1)=nf (n) (nN，n 2) B組4若n為大于1的自然數(shù)，求證：5用數(shù)學(xué)歸納法證明 6用數(shù)學(xué)歸納法證明7用數(shù)學(xué)歸納法證明(nN，n2) 8用數(shù)學(xué)歸納法證明：能被9整除9求證：能被整除(nN*)10是否存在常數(shù)使等式 對一切正整數(shù)都成立?證明你的結(jié)論11 是否存在常數(shù)a，b，c，使等式對一切都成立?并證明你的結(jié)論12已知數(shù)列計算根據(jù)計算結(jié)果，猜想的表達式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明13已知數(shù)列滿足條件試猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明14 數(shù)列an中，a1=1，且(1)求的值；(2)猜想an的通項公式，并證明你的猜想C組15 已知數(shù)列bn是等差數(shù)列，b1=1，b1b2b10=145，(1)求數(shù)列bn的通項公式bn；(2)設(shè)數(shù)列an的通項an=loga(1)(其中a0且a1)，記Sn是數(shù)列an的前n項和，試比較Sn與logabn1的大小，并證明你的結(jié)論 16 自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響用xn表示某魚群在第n年年初的總量，nN*，且x10不考慮其它因素，設(shè)在第n年內(nèi)魚群的繁殖量及捕撈量都與xn成正比，死亡量與xn2成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a，b，c()求xn1與xn的關(guān)系式；()猜測：當(dāng)且僅當(dāng)x1，a，b，c滿足什么條件時，每年年初魚群的總量保持不變?(不要求證明)17一個計算裝置有一個入口A和一輸出運算結(jié)果的出口B，將自然數(shù)列中的各數(shù)依次輸入A口，從B口得到輸出的數(shù)列，結(jié)果表明：從A口輸入時，從B口得；當(dāng)時，從A口輸入，從B口得到的結(jié)果是將前一結(jié)果先乘以自然數(shù)列中的第個奇數(shù)，再除以自然數(shù)列中的第個奇數(shù)試問：(1)從A口輸入2和3時，從B口分別得到什么數(shù)?(2)從A口輸入100時，從B口得到什么數(shù)?并說明理由18某國采用養(yǎng)老儲備金制度：公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲備金，數(shù)目為，以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加，因此，歷年所交納的儲備金數(shù)目是一個公差為的等差數(shù)列與此同時，國家給予優(yōu)惠的計息政策，不僅采用固定利率，而且計算復(fù)利這就是說，如果固定年利率為，那么，在第年末，第一年所交納的儲備金就變?yōu)椋诙晁患{的儲備金就變?yōu)?，以表示到第年末所累計的儲備金總額()寫出與的遞推關(guān)系式；()求證：，其中是一個等比數(shù)列，是一個等差數(shù)列知識點題號注意點數(shù)學(xué)歸納法的簡單應(yīng)用等式：14不等式：47整除問題：910猜想證明： 1114注意數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟缺一不可綜合問題15注意數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)