十種題型搞定多面體的外接球-內(nèi)切球問題

十種題型搞定多面體的外接球，內(nèi)切球問題題型一 直角四面體的外接球 補成長方體，長方體對角線長為球的直徑1三棱錐中，為等邊三角形，三棱錐的外接球的表面積為（ ）A B C D2.在正三棱錐中，分別是的中點，若，則外接球的表面積為 A B C D 3.在正三棱錐中，分別是的中點，且，若側(cè)棱，則正三棱錐外接球的表面積為A B C D 4.（2019全國1理12）已知三棱錐PABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，CEF=90，則球O的體積為AB CD5.設A，B，C，D是半徑為2的球面上的四個不同點，且滿足0，0，0，用S1、S2、S3分別表示ABC、ACD、ABD的面積，則S1S2S3的最大值是_題型二 等腰四面體的外接球 補成長方體，長方體相對面的對角線為等腰四面體的相對棱1在四面體中，若，則四面體的外接球的表面積為A BCD四點在半徑為的球面上，且， ，則三棱錐的體積是_3.在三棱錐SABC中，底面ABC的每個頂點處的三條棱兩兩所成的角之和均為180，ABC的三條邊長分別為AB=，AC=，BC=， 則三棱錐的體積（）A B C D題型三 有公共斜邊的兩個直角三角形組成的三棱錐 ，球心在公共斜邊的中點處1.在矩形中，4，3，沿將矩形折成一個直二面角，則四面體的外接球的體積為 A. B. C. D.2.三棱錐的所有頂點都在球的球面上，且，則該球的體積為A B C D 3在四面體中，二面角的余弦值是，則該四面體外接球的表面積是（ ） A. B C D4.在平面四邊形中，將其沿對角線折成四面體，使平面平面，若四面體頂點都在同一個球面上，則該球的體積為 A B C D 5平行四邊形ABCD中，=0，沿BD將四邊形折起成直二面角A一BDC，且，則三棱錐ABCD的外接球的表面積為（ ） A B C D 6已知直角梯形ABCD，沿折疊成三棱錐，當三棱錐體積最大時，三棱錐外接球的體積為 題型四 側(cè)棱垂直于地面或側(cè)面垂直于地面 過底面外心做垂線，球心有垂線上1.已知四面體,其中是邊長為6的等邊三角形,平面,則四面體外接球的表面積為_2. 一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個正三角形，則這個幾何體的（）外接球的半徑為 B表面積為 C體積為 D外接球的表面積為題型五 其中一條側(cè)棱滿足某個特殊的條件1.已知三棱錐中，,直線底面所成的角是，則此時三棱錐外接球的體積是 ( )A B C D 答案。D2.(太原2016屆高三上學期考試）在四面體中，已知，則四面體的外接球的半徑為（）A B2 C3 D解：設四面體ABCD的外接球球心為O，則O在過ABD的外心N且垂直于平面ABD的垂線上由題設知，ABD是正三角形，則點N為ABD的中心設P，M分別為AB，CD的中點，則N在DP上，且ONDP，OMCD因為CDA=CDB=ADB=60，設CD與平面ABD所成角為，cos=，sin=在DMN中，DM=1，DN=由余弦定理得四邊形DMON的外接圓的半徑故球O的半徑故選：D題型六 一般棱錐的外接球問題1.（2017宜賓模擬）已知點A是以BC為直徑的圓O上異于B，C的動點，P為平面ABC外一點，且平面PBC平面ABC，BC3，PB，PC，則三棱錐PABC外接球的表面積為10解：因為O為ABC外接圓的圓心，且平面PBC平面ABC，過O作面ABC的垂線l，則垂線l一定在面PBC內(nèi)，根據(jù)球的性質(zhì)，球心一定在垂線l，球心O1一定在面PBC內(nèi)，即球心O1也是PBC外接圓的圓心，在PBC中，由余弦定理得cosB，sinB，由正弦定理得：，解得R，三棱錐PABC外接球的表面積為s4R210，故答案為：102.在三棱錐中，,側(cè)棱與底面所成的角為，則該三棱錐外接球的體積為（ ） A B. C. 4 D.3.（2017龍泉驛區(qū)一模）已知球O是某幾何體的外接球，而該幾何體是由一個側(cè)棱長為的正四棱錐與一個高為6的正四棱柱拼接而成，則球的表面積為（）AB64C100D解：設球的半徑為R，AB2x，12AC=2x，則球心到平面A1B1C1D1的距離為3，幾何體是由一個側(cè)棱長為25的正四棱錐。 S到平面ABCD的距離為(25)2-(2x)2=20-2x2，則：20-2x2+3R，又勾股定理可得R232+2x2，R5，x22球的表面積為4R2100故選：C題型七 圓錐的外接球4.（2018屆四川瀘州一中一診）已知圓錐的高為5，底面圓的半徑為，它的頂點和底面的圓周都在同一個球的球面上，則該球的表面積為（ ）A B C D【解析】設球的半徑為，由于圓錐的高為5，底面圓的半徑為，所以，解得所以該球的表面積為.故選B【試題點評】本題是兩個旋轉(zhuǎn)體的組合，其中圓錐的軸線所在直線垂直于其底面圓，結(jié)合球與圓錐的有關(guān)性質(zhì)，球心必在圓錐的高所在的直線上，應用數(shù)學建模的素養(yǎng)，建立“心有所依”模型，將有關(guān)信息嫁接到如圖所示的中，利用勾股定理求解.題型八 棱柱的外接球.漢堡模型5.（2018屆湖北襄陽一模）已知直三棱柱中，側(cè)面的面積為，則直三棱柱外接球的半徑的最小值為 【解析】由于直三棱柱中，所以的外接圓的圓心分別是的中點，外接球的球心就是的中點，設直三棱柱的高為，由于側(cè)面的面積為，則，所以，當且僅當時取等號，故直三棱柱外接球的半徑的最小值為.四 球與棱柱的各棱相切問題6.已知正方體的棱長為，則與其各棱都相切的球的半徑為7.已知正四面體的的棱長為，則與其各棱都相切的球的半徑為8已知三棱柱的底面是正三角形，側(cè)棱底面ABC，若有一半徑為2的球與三棱柱的各條棱均相切，則的長度為_【詳解】由題意，的外接圓即為球的大圓設底面外接圓圓心，從而正三角形邊長為，設圓心，由題意在球面上，為中點，則在中，則，則故答案為9.把一個皮球放入如圖所示的由8根長均為20 cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點，則皮球的半徑為（）A. B. C. D. 題型九 折疊問題10.（2018年四川省成都市二模）已知四邊形ABCD是邊長為2的菱形，沿對角將折起使A位于新位置，且，則三棱錐的外接球的表面積為（）A B C6D25解：如圖，由題意可知，ABADBDBCCD2，AC，取BD的中點E，連接EC，設球心為O，連接EO，CO，O為底面BCD的中心，連接OO，OO底面BCD，可得OOCE，且CEAEAC，即有OEAC，且直角三角形OEO中，OEC30，OE，OC， OOOEtan30，即有ROC，則ABCD的外接球的表面積為4R2故選：A11如圖，圓形紙片的圓心為，半徑為，該紙片上的正方形的中心為，為圓上的點，分別是以，為底邊的等腰三角形沿虛線剪開后，分別以，為折痕折起，使得，重合得到一個四棱錐當該四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍時，該四棱錐的外接球的表面積為ABCD解：連接交與，重合為，得到一個正四棱錐，設正方形的邊長為則，由四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍，可得，解得設外接球的球心為，半徑為，可得，解得該四棱錐的外接球的表面積故選：12已知正方形的邊長為2，邊的中點為，現(xiàn)將，分別沿，折起，使得，兩點重合為一點記為，則四面體外接球的表面積是ABCD解：如圖，是邊長為2的等邊三角形，設是的中心，平面，是外接球的球心，則，則故四面體外接球的表面積是故選：13在梯形中，將梯形沿對角線折疊成三棱錐，當二面角是直二面角時，三棱錐的外接球的表面積為ABCD解：如圖：，取的中點，的中點，連結(jié)，平面平面，,平面，即外接球的半徑為2，此時三棱錐外接球的表面積為故選：題型十 多面體的內(nèi)球問題14.正方體的棱長為，求它內(nèi)切球的半徑15.正四面體的棱長為，求它內(nèi)切球的半徑16.2018屆湖南常德二模）在九章算術(shù)中，將四個面都是直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑.若三棱錐為鱉臑，側(cè)棱底面，且，則該鱉臑的內(nèi)切球的半徑為 【解析】由鱉臑的性質(zhì)可知，所以，故.【試題點評】求解三棱錐的內(nèi)切球的半徑也可以應用等體積法：先求出四個表面的面積和整個三棱錐的體積，再設出內(nèi)切球的半徑，建立等式，利用棱錐的體積公式可得.最值問題：17.已知三棱錐的四個頂點都在半徑為3的球面上，則該三棱錐體積的最大值是解：設，則,的外接圓直徑取的中點，則當平面時，三棱錐的體積最大此時球心在上，令，則，由，解得（舍，在遞增，在遞減故（8）最大，為，所以三棱錐的最大體積為18.已知是半徑為2的球面上的點，點在上的射影為，則三棱錐體積的最大值為_.【分析】P在平面上的射影G為ABC的外心，即G為AC中點，球的球心在PG的延長線上，設PGh，則OG2h，求出h1，則AGCG，過B作BDAC于D，設ADx，則CD2x，設BDy，由BDCADB，得，從而y，則，令f（x）x4+2，則，利用導數(shù)性質(zhì)能求出三棱錐PABD體積的最大值解：如圖，根據(jù)題意得PAPBPC2，ABC90，P，A，B，C是半徑為2的球面上的點，PAPBPC2，點B在AC上的射影為D，P在平面上的射影G為ABC的外心，即G為AC中點，則球的球心在PG的延長線上，設PGh，則OG2h，OB2OG2PB2PG2，即4（2h）24h2，解得h1，則AGCG，過B作BDAC于D，設ADx，則CD2x，設BDy，由BDCADB，得，解得y，則，令f（x）x4+2，則，由f（x）0，得x，當x時，f（x）max，ABD面積的最大值為，三棱錐PABD體積的最大值為故答案為：19.球的半徑為，求它的內(nèi)接長方體體積的最大值20.球的半徑為，求它的內(nèi)接圓柱體積的最大值21.球的半徑為，求它的內(nèi)接圓錐體積的最大值歷年高考題：22.（2012新課標）已知三棱錐的所有頂點都在球的表面上，是邊長為1的正三角形，為球的直徑，且，則此三棱錐的體積為ABCD解：根據(jù)題意作出圖形：設球心為，過三點的小圓的圓心為，則平面，延長交球于點，則平面，高，是邊長為1的正三角形，故選：23.（2015新課標）已知A，B是球O的球面上兩點，AOB90，C為該球面上的動點，若三棱錐OABC體積的最大值為36，則球O的表面積為（）A36B64C144D256解：如圖所示，當點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐OABC的體積最大，設球O的半徑為R，此時VOABCVCAOB36，故R6，則球O的表面積為4R2144，故選：C24.（2016新課標）在封閉的直三棱柱ABCA1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球，若ABBC，AB6，BC8，AA13，則V的最大值是（）A4B C6D解：ABBC，AB6，BC8，AC10故三角形AB