快速數(shù)字仿真

快速數(shù)字仿真算法,仿真中對快速性的需求分為3個方面,1）利用仿真技術(shù)進行控制系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計時，需要反復的對系統(tǒng)進行仿真運算，以獲得滿意的工程參數(shù)；2）在物理數(shù)學混合仿真時，由于實物系統(tǒng)介入仿真模型，要求仿真模型的時間比例尺與真實系統(tǒng)的時間比例尺完全相同，如果系統(tǒng)比較復雜或者方程個數(shù)很多，要在規(guī)定的時間內(nèi)完成一次系統(tǒng)中每個方程的計算，要求仿真的計算速度比較快；3）在復雜的控制系統(tǒng)中，常常需要在線對被控系統(tǒng)的狀態(tài)進行預測，以確定系統(tǒng)的控制策略，要求仿真模型的時間比例尺小于系統(tǒng)的運行時間比例尺，從而對仿真速度提出來更高的要求。,一般的快速數(shù)字仿真算法有以下兩點要求,1）每步計算量要?。?）算法要有良好的穩(wěn)定性，允許采用較多的計算步長，同時又能保證必要的計算精度。,替換法是快速仿真的主要算法之一，它建立在相匹配原理的基礎(chǔ)上。,何為相匹配？如果被仿真系統(tǒng)的數(shù)學模型是穩(wěn)定的，則其仿真模型也應該是穩(wěn)定的，并且二者的動態(tài)、穩(wěn)態(tài)特性一致。如果對于同一輸入信號，二者的輸出具有相一致的時域特性，或者二者具有相一致的頻率特性，則稱仿真模型與原系統(tǒng)模型相匹配。,5.1替換法,一般快速仿真提高了對速度的要求，而合理地降低了對計算精度的要求。因此，對于控制系統(tǒng)中最常見的用傳遞函數(shù)G(s)描述的數(shù)學模型，如果能夠根據(jù)相匹配原理，直接將高階系統(tǒng)的數(shù)學模型轉(zhuǎn)換成與之相匹配、每步計算量較小、允許采用較大步長且具有合理精度的仿真模型G(z)，就可以利用G(z)對應的差分方程進行快速仿真。,5.1替換法,求出G(z)。式中，T為采樣周期。另一種是將G(s)展開成部分分式形式，然后通過查Z變換表求得G(z)。對于高階系統(tǒng)，采用這兩種轉(zhuǎn)換方法都不很容易。因此，應該設(shè)法找到一個直接將G(s)轉(zhuǎn)換成G(z)的簡便方法。,5.1替換法,1替換法的基本思想2雙線性變換法3雙線性變換法步驟4雙線性變換法特性分析5雙線性變換法仿真實例,5.1替換法,1替換法的基本思想,式中，T為采樣周期，亦為仿真計算時的步長。,5.1替換法,5.3式是超越方程，如果直接將傳遞函數(shù)中的變量s用它替換，得到G(z)的也將是超越方程，很難由Y(z)=G(z)U(z)得到一個關(guān)于變量u和y的線性差分方程，因此必須另辟蹊徑。替換法就是解決上述問題的一類方法。其基本思想是，設(shè)法找到s域與z域之間的某種簡單的映射關(guān)系,（5.4）,然后將G(s)中的變量s用s=f-1(z)替換，從而得到與G(s)相對應的G(z)。,5.1替換法,2雙線性變換法,5.1替換法,利用（5.7）式可以把G(s)轉(zhuǎn)換為G(z)。數(shù)學上稱這種變換方法為雙線性變換法（或Tustin法）。,雙線性變換法是否滿足相匹配原理呢？1）穩(wěn)定性的匹配,（5.8）,則,5.1替換法,由（5.9）式可知,雙線性變換法將左半s平面映射到z平面的單位圓內(nèi)。也就是說，如果原來系統(tǒng)的G(s)是穩(wěn)定的，則通過雙線性變換法得到的G(z)必然是穩(wěn)定的。,2.4.2替換法,5.1替換法,2）判斷雙線性變換后的穩(wěn)態(tài)增益不變設(shè)連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,（5.10）,其穩(wěn)態(tài)增益為bn/an。若將G(s)進行雙線性變換，有,（5.11）,顯然，G(z)的穩(wěn)態(tài)增益仍為bn/an。,5.1替換法,3）雙線性變換法具有一定的精度設(shè)有方程,（5.13）,將（5.6）式代入上式，得,（5.14）,5.1替換法,由此可得差分方程,（5.15）,這和將AM2法（也稱為梯形法）應用于（5.12）式所得結(jié)果相同。,5.1替換法,結(jié)論：雙線性變換法符合相匹配原理，是一種具有一定計算精度的絕對穩(wěn)定算法。雙線性變換法適合于以分子分母多項式形式描述的G(s)。,5.1替換法,例5.1已知連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,（5.16）,試采用雙線性變換法求出對應的脈沖傳遞函數(shù)和差分方程，并對所得結(jié)果進行分析。解將（5.6）式代入上式，得脈沖傳遞函數(shù),（5.17）,5.1替換法,于是，差分方程為,（5.18）,因為,由（5.17）式可知，G(z)是穩(wěn)定的。,G(s)的分子多項式為1階，分母多項式為2階，而G(z)的分子、分母多項式的階次相同，均為2階。G(s)的穩(wěn)態(tài)增益為0，G(z)的穩(wěn)態(tài)增益也為0。,5.1替換法,為了考慮雙線性變換法所得仿真模型的精度，除了可以在時域中進行討論外，也可以從頻域的角度進行分析。事實上,將,(5.19),分別代入（5.16）式和（5.17）式，可得,5.1替換法,取T=1s，分別求出（5.20）式和（5.21）式的幅頻特性和相頻特性，如表2.6所示。,表5.1G(s)與G(z)的頻率特性比較,表5.1表明利用雙線性變換法得到的仿真模型既簡單，又有一定的精度。,5.1替換法,3雙線性變換法步驟,設(shè)連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,采用雙線性變換法求取仿真模型的步驟如下：,將中的s按（5.6）式替換得到，并整理成有理分式形式,（5.23）,5.1替換法,根據(jù)得到的G(z)，由Y(z)=G(z)U(z)，兩邊取Z反變換，得到便于計算機遞推計算的差分方程,(5.24),5.1替換法,4雙線性變換法特性分析,雙線性變換法是一種絕對穩(wěn)定的算法，允許采用大步長。由于雙線性變換法是由（5.3）式取一次項近似得到的，所以得到的差分方程雖具有一定的精度，但當取得太大時精度會降低。因此在選取時，主要應考慮計算精度和仿真速度的需求。經(jīng)驗表明，若取,(5.25),式中，為被仿真系統(tǒng)的自然頻率，可以保證較好的仿真精度。,5.1替換法,雙線性變換法得到的差分方程的每項系數(shù)，都是預先一次計算確定的，在仿真遞推過程中不需要重新計算，因此仿真遞推的計算量較小。事實上，由（5.24）式可知，對于n階連續(xù)系統(tǒng)，每步計算量約為(2n+1)次乘法。所以，該法適合于快速仿真。雙線性變換法中由G(s)到G(z)的轉(zhuǎn)換，以及由G(z)到差分方程的轉(zhuǎn)換，都可以很容易地編程實現(xiàn)。,5.1替換法,雙線性變換法具有串聯(lián)性。如圖5.1所示，G1(s)和G2(s)相串聯(lián)。若令,(5.26),（5.27）,式中，G(s)，G1(s),G2(s)分別是G(z)，G1(z)，G2(z)的雙線性變換結(jié)果。,圖5.1,雙線性變換公式不僅可以方便地應用于傳遞函數(shù)，也可以應用于狀態(tài)空間模型。雙線性變換后系統(tǒng)的階次不變，且分子、分母多項式具有相同的階次。事實上，將（5.6）式代入（5.22）式，有,（5.28）,5.1替換法,5.1替換法,可見，G(z)的分子、分母多項式均為n次，即在分子上增添了(nm)個z=-1的零點。由此得到的差分方程是多步關(guān)系式（當n1時）。由于被仿真系統(tǒng)一般僅給出在初始時刻t=0處的系統(tǒng)的初始值，而在t0以前各采樣點處的信息需要經(jīng)過變換求得，這就可能給雙線性變換法的應用帶來一定的麻煩。,可以證明，雙線性變換后得到的脈沖傳遞函數(shù)頻率特性與原連續(xù)系統(tǒng)的頻率特性在低頻段相差較小，在高頻段差別較大。這一點也可以從表5.1看出。所以，雙線性變換法主要用于有限帶寬的系統(tǒng)。,化簡得到,解：,將轉(zhuǎn)換成差分方程,例51已知一線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,求：利用圖士汀公式的仿真模型。,3.3采樣控制系統(tǒng)的快速數(shù)字仿真,快速數(shù)字仿真目的：減小計算工作量，加快仿真速度，即：原來的T1（采樣周期）較小，現(xiàn)希望用一個較大的T1來仿真。這時，需要數(shù)字控制器部分的仿真模型做必要的修改。這是因為當離散部分仿真模型的采樣周期與原來的實際采樣周期不同時，會導致仿真模型與原型兩者脈沖傳函對應著不同的零點、極點和終值，導致仿真結(jié)果與原來的實際情況不符，所以，必須修改仿真模型的脈沖傳函。做法：只需對離散部分的仿真模型進行修改。,例：若要求T1=0.1，那么，仿真模型應如何變化？解：確定差分模型原則，在控制系統(tǒng)的Z域分析中已經(jīng)知道，如果兩個脈沖傳函映射到S平面上時，具有相同的零、極點，且具有相同的穩(wěn)態(tài)值，則這兩個系統(tǒng)等價。利用D(z)|T1=0.04和D(z)|T1=0.1在S平面上的映射，具有