數(shù)理方程08=Trans.ppt

1、積分變換法顧 樵 (Qiao Gu) International Institute of Biophysics, Germany gu-qiaogmx.de,深圳大學(xué)電子學(xué)院,分離變量法顧 樵 (Qiao Gu) International Institute of Biophysics, Germany gu-qiaogmx.de,有界區(qū)間分離變量法 本征函數(shù)法 輔助函數(shù)法,齊次方程， 齊次邊界條件,非齊次方程， 齊次邊界條件,非齊次方程， 非齊次邊界條件,方程與邊界條件同時(shí)齊次化,邊界條件齊次化,自由項(xiàng)及邊界條件不含時(shí)間,一般情況,1,2,3,4,3.1,3.2,行波法顧 樵 (Qiao

2、 Gu) International Institute of Biophysics, Germany gu-qiaogmx.de,深圳大學(xué)電子學(xué)院,1. 波動(dòng)方程,（通解）,（特解）,2. 雙曲型方程,特征方程： 特征線： 特征變換：,積分變換法顧 樵 (Qiao Gu) International Institute of Biophysics, Germany gu-qiaogmx.de,深圳大學(xué)電子學(xué)院,什么是積分變換？,把函數(shù) 經(jīng)過(guò)積分的手段變?yōu)榱硪?類(lèi)函數(shù): 稱(chēng)為象函數(shù)， 稱(chēng)為原函數(shù)， 稱(chēng)為積分變換的核。,什么是積分變換法？,(求解微分方程) 原空間：常微分方程 偏微分方程 象空間

3、： 代數(shù)方程 常微分方程 求解象空間的代數(shù)方程或常微分方程，得到象函 數(shù)，再將它 “反演” 成原函數(shù)(即為所求的解）。 積分變換法在求解常微分方程和偏微分方程的定 解問(wèn)題中有非常廣泛的應(yīng)用。,積分變換,拉普拉斯變換,傅里葉變換,拉普拉斯變換,函數(shù) 的拉普拉斯變換定義為積分 這個(gè)積分的結(jié)果是參數(shù) p 的函數(shù)，它稱(chēng)為函數(shù) 的 拉普拉斯變換的象函數(shù)，記為,（原函數(shù)） （象函數(shù)）,原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的象函數(shù),如果 則有 證明：,原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的象函數(shù),如果 那么,卷積定理：由象函數(shù)求原函數(shù),卷積定理：如果象函數(shù) 可以寫(xiě)成乘積形式： 而 的原函數(shù)為 則 的原函數(shù)是 的卷積：,例題：由象函數(shù)求原函數(shù),已知象函數(shù) ，求

4、原函數(shù) 解：,注：由象函數(shù)求原函數(shù)的過(guò)程稱(chēng)為“反演”,傅立葉變換,（原函數(shù)小寫(xiě)） （象函數(shù)大寫(xiě)）,定義：,=F, f(x),=F,-1,反變換存在的條件：,原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的象函數(shù),如果 則有 證明：,原函數(shù)積分的象函數(shù),如果 則有 證明：令,其中 為任意點(diǎn),F,=F,注：常取下列形式,位移性質(zhì),如果 則有 證明：,常數(shù),卷積定理：由象函數(shù)求原函數(shù),卷積定理：如果象函數(shù) 可以寫(xiě)成乘積形式： 而 的原函數(shù)為 則 的原函數(shù)是 的卷積：,證明：函數(shù) 的傅里葉變換為,傅立葉變換,原函數(shù),象函數(shù),定義 積分 篩選,函數(shù),x,x,例1： 函數(shù)的傅里葉變換,結(jié)論：,1,解1：,例2：函數(shù) 的傅里葉變換,t,1,解

5、2：,例2：函數(shù) 的傅里葉變換,t,1,單位函數(shù),t,1,t,單位函數(shù),(Unit step function),1,解：,例3：計(jì)算 的傅里葉變換,t,？,“復(fù)變函數(shù)求極限要十分小心！”,“復(fù)變函數(shù)求極限最好化成實(shí)、虛部來(lái)求”,1,解：,例3：計(jì)算 的傅里葉變換,t,1,解：,例3：計(jì)算 的傅里葉變換,歸一化常數(shù),歸一化條件：,故,t,解：,例3：計(jì)算 的傅里葉變換,結(jié)論：,1,t,一個(gè)“簡(jiǎn)單”的問(wèn)題：,1的傅里葉變換是什么？,1,解：,例4：函數(shù) 的傅里葉變換,t,1,t,1,解1：,例4：函數(shù) 的傅里葉變換,t,結(jié)論： 1的傅里葉變換是,1,解2：,例4：1的傅里葉變換,x,結(jié)論：,已有

6、:,已知: 是偶函數(shù)：,重要結(jié)果,Math Phys,例4：求解微積分方程,解：兩邊取傅里葉變換得：,其中u(x)是單位函數(shù),1,t,反演,例5：求解微積分方程,解：兩邊取傅里葉變換得：,反演后得到,傅里葉變換與拉普拉斯變換的 最重要的用途是求解微分方程,慣用表示,傅里葉變換 拉普拉斯變換,關(guān)于x的傅氏變換 關(guān)于t的拉氏變換,關(guān)于x的傅氏反演 關(guān)于t的拉氏反演,例題1：無(wú)界波動(dòng)方程,解：對(duì)（1）兩邊關(guān)于 x 進(jìn)行傅里葉變換（將 t 視為參數(shù)）,（1）,反演(解1):,（零速度的達(dá)朗貝爾公式）,反演(解2):,位移性質(zhì):,例題2：無(wú)界波動(dòng)方程,解：利用傅立葉變換的性質(zhì),例題2：有源熱傳導(dǎo)方程,解

7、：對(duì)（1）兩邊關(guān)于 x 作傅里葉變換 （2）是關(guān)于 t 的常微分方程，兩邊關(guān)于 t 作拉普拉斯變換,（1）,（2）,拉氏反演： 傅氏反演：,（查表）,現(xiàn)在反演：,傅里葉變換與拉普拉斯變換,變量 x 變化范圍： ，對(duì)x用傅里葉變換 例如無(wú)界弦 2. 變量 x 變化范圍： ，對(duì)x用拉普拉斯變換 例如半無(wú)界熱傳導(dǎo) 3. 時(shí)間變量的變化為 ，只能用普拉斯變換,拉普拉斯變換(法)的優(yōu)點(diǎn),1.用拉普拉斯變換求解常微分方程的初值問(wèn)題，不需要 考慮方程是否齊次，解題步驟都是一樣的。象函數(shù)是 代數(shù)方程（包含了初始條件），容易求解，比經(jīng)典的 方法（先求通解，再利用初始條件確定常數(shù)）更優(yōu)越。 2.用拉普拉斯變換求解

8、數(shù)學(xué)物理方程的定解問(wèn)題，不管 方程與邊界條件是否齊次，不管方程定義在無(wú)界還是 有界區(qū)域（見(jiàn)例題6）,都可以進(jìn)行求解。對(duì)于偏微分 方程，既可以對(duì) t 求拉氏變換，也可以對(duì) x 求拉氏變 換(如果 )。,例題3：常微分方程,求解常微分方程的定解問(wèn)題： 解：對(duì)方程兩邊取拉普拉斯變換，并利用初始條件： 這是象函數(shù)的代數(shù)方程（初始條件已含其中） 將初始條件的取值代入：,解出：,反演：,例題4：半無(wú)限熱傳導(dǎo)問(wèn)題,求解半無(wú)限長(zhǎng)細(xì)桿熱傳導(dǎo)的定解問(wèn)題： 解：對(duì)(1)和(3)兩邊取 t 的拉氏變換，并利用(2) ： 這是象函數(shù)的常微分方程的邊值問(wèn)題。,(1) (2) (3) (4) (5),(4)的通解為： 自然

9、邊界條件： 再利用條件（5）： 反演：,(4) (5),（查表）,討論：可否對(duì) x 作拉氏變換？,變量 x 變化范圍： ，原則上可以對(duì) x 用拉 普拉斯變換，這樣(1)變成： 這是關(guān)于 t 的常微分方程，但條件不夠，無(wú)法求解。,(1) (2) (3),未知,例題5：上半平面的拉氏方程,解：對(duì)x作拉氏變換：,(3)和(4)的通解為： 自然邊界條件： 再利用條件（4）：,（1） （2）,（3） （4）,現(xiàn)在反演： 利用 原函數(shù)：,如何給出邊界函數(shù)？,？,一個(gè)公式：,例題5：非齊次波動(dòng)方程,求解非齊次波動(dòng)方程的定解問(wèn)題 解：對(duì) t 求拉氏變換： 上式對(duì) x 求傅氏變換：,上式取非零值的條件是 進(jìn)行拉

10、氏和傅氏變換的反演，結(jié)果為：,解出：,例題6：有界桿熱傳導(dǎo)問(wèn)題,求解有界細(xì)桿熱傳導(dǎo)的定解問(wèn)題： 解：對(duì)(1)兩邊取 t 的拉氏變換，并利用(3) ： 這是象函數(shù)的常微分方程的邊值問(wèn)題。,(1) (2) (3) (4) (5),反演,傅里葉變換與拉普拉斯變換,變量 x 變化范圍： ，對(duì)x用傅里葉變換 例如無(wú)界弦 2. 變量 x 變化范圍： ，對(duì)x用拉普拉斯變換 例如半無(wú)界熱傳導(dǎo) 3. 時(shí)間變量的變化為 ，只能用普拉斯變換,拉普拉斯變換(法)的優(yōu)點(diǎn),1.用拉普拉斯求解常微分方程的初值問(wèn)題，不需要考慮 方程是否齊次，解題步驟都是一樣的。象函數(shù)是代數(shù) 方程（包含了初始條件），容易求解，比經(jīng)典的方法 （先求通解，再利用初始條件確定常數(shù)）更優(yōu)越。 2.用拉普拉斯求解數(shù)學(xué)物理方程的定解問(wèn)題，不管方程 與邊界條件是否齊次，不管方程定義在無(wú)界還是有界 區(qū)域（見(jiàn)例題6），都可以求解。對(duì)于偏微分方程,既 可以對(duì) t 求拉氏變換，也可以對(duì) x 求拉氏變換 (如果有 )。,積分變換法：求解定解問(wèn)題的步驟,根據(jù)變量x的變換范圍選擇傅氏變換或拉氏變換: 變換后得到象空間的常微分方程和定解條件。 2.