2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第7章不等式第3講基本不等式課件文.pptx

1、第3講 基本不等式,考情精解讀,A考點(diǎn)幫知識(shí)全通關(guān),目錄 CONTENTS,命題規(guī)律,聚焦核心素養(yǎng),考點(diǎn)1 基本不等式 考點(diǎn)2 基本不等式與最值,考法1 利用基本不等式求最值 考法2 利用基本不等式解決實(shí)際問題 考法3 利用基本不等式證明不等式,B考法幫題型全突破,C方法幫素養(yǎng)大提升,易錯(cuò) 忽略應(yīng)用基本不等式的前提條件致誤,考情精解讀,命題規(guī)律 聚焦核心素養(yǎng),命題規(guī)律,1.命題分析預(yù)測本講是高考的熱點(diǎn),主要考查利用基本不等式求最值、證明不等式、求參數(shù)的取值范圍等,常與函數(shù)結(jié)合命題,解題時(shí)要注意應(yīng)用基本不等式的三個(gè)前提條件. 2.學(xué)科核心素養(yǎng)本講通過基本不等式及其應(yīng)用考查考生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).,聚

2、焦核心素養(yǎng),A考點(diǎn)幫知識(shí)全通關(guān),考點(diǎn)1 基本不等式 考點(diǎn)2 基本不等式與最值,考點(diǎn)1 基本不等式,1.基本不等式 如果a0,b0,那么 + 2 ,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立. 其中, + 2 叫作a,b的算術(shù)平均數(shù), 叫作a,b的幾何平均數(shù).即正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù). 2.幾個(gè)常用的重要結(jié)論 (1)a2+b22ab(a,bR,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)). (2)a+b2 (a0,b0,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)). (3)ab( + 2 )2(a,bR,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)).,(4)a+ 1 2(a0,當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)取等號(hào));a+ 1 -2(a0,b0,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取

3、等號(hào)). 注意 在運(yùn)用基本不等式及其變形時(shí),一定要驗(yàn)證等號(hào)是否成立.,考點(diǎn)2 基本不等式與最值,最值定理: 已知x0,y0. (1)若x+y=s(和為定值),則當(dāng)x=y時(shí),積xy取得最大值 2 4 (簡記:和定積最大); (2)若xy=p(積為定值),則當(dāng)x=y時(shí),和x+y取得最小值 2 (簡記:積定和最小). 注意(1)此結(jié)論應(yīng)用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正數(shù),“二定”指求最值時(shí)和或積為定值,“三相等”指等號(hào)成立.(2)連續(xù)使用基本不等式時(shí),牢記等號(hào)要同時(shí)成立.,B考法幫題型全突破,文科數(shù)學(xué) 第七章：不等式,考法1 利用基本不等式求最值 考法2 利用基本不等式解決實(shí)際問題

4、 考法3 利用基本不等式證明不等式,考法1 利用基本不等式求最值,1.代數(shù)式最值的求解 示例1(1)2018遼寧兩校聯(lián)考已知ab0,則a+ 4 + + 1 的最小值為 A. 3 10 2 B.4C.2 3 D.3 2 (2)設(shè)0x 3 2 ,則函數(shù)y=4x(3-2x)的最大值為.,思維導(dǎo)引 (1)觀察式子結(jié)構(gòu)特征將a用后面兩個(gè)式子的分母表示,湊出積為定值的形式利用基本不等式求最值 (2)觀察式子結(jié)構(gòu)特征拼系數(shù),湊出和為定值的形式利用基本不等式求最值,解析(1) 因?yàn)閍= 1 2 (a+b)+(a-b), 所以a+ 4 + + 1 = 1 2 (a+b)+ 4 + + 1 2 (a-b)+ 1

5、.(變形湊成積為定值) 因?yàn)閍b0,所以a+b0,a-b0. 由基本不等式可 1 2 (a+b)+ 4 + 2 1 2 (a+b)+ 4 + =2 2 ,當(dāng)且僅當(dāng) 1 2 (a+b)= 4 + 即a+b=2 2 時(shí),等號(hào)成立; 1 2 (a-b)+ 1 2 1 2 (ab)+ 1 = 2 ,當(dāng)且僅當(dāng) 1 2 (ab)= 1 即a-b= 2 時(shí),等號(hào)成立. 由 +=2 2， = 2 , 解得 = 3 2 2 , = 2 2 . (檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件) 所以當(dāng) = 3 2 2 , = 2 2 時(shí),中的等號(hào)同時(shí)成立. 故a+ 4 + + 1 的最小值為2 2 + 2 =3 2 .故選D.,(2)y=

6、4x(3-2x)=22x(3-2x)2 2+(32) 2 2= 9 2 ,當(dāng)且僅當(dāng)2x=3-2x,即x= 3 4 時(shí),等號(hào)成立. 因?yàn)?3 4 (0, 3 2 ), 所以函數(shù)y=4x(3-2x)(0x 3 2 )的最大值為 9 2 .,2.條件最值的求解 示例2若直線2mx-ny-2=0(m0,n0)過點(diǎn)(1,-2),則 1 + 2 的最小值為 A.2 B.6 C.12 D.3+2 2,思維導(dǎo)引 把點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程得m與n的關(guān)系式把 1 + 2 變換后進(jìn)行“1”的代換利用基本不等式求最值,解析因?yàn)橹本€2mx-ny-2=0(m0,n0)過點(diǎn)(1,-2), 所以2m+2n-2=0,即m+n=

7、1, 所以 1 + 2 =( 1 + 2 )(m+n)=3+ + 2 3+2 2 ,(運(yùn)用“1”的代換求解) 當(dāng)且僅當(dāng) = 2 ,即n= 2 m時(shí)取等號(hào), 所以 1 + 2 的最小值為3+2 2 . 答案D,拓展變式1 2018山東、湖北部分重點(diǎn)中學(xué)沖刺模擬已知D,E分別是ABC的邊AB,AC的中點(diǎn),M是線段DE上的一動(dòng)點(diǎn)(不包含D,E兩點(diǎn)),且滿足 = + ,則 1 + 2 的最小值為() A.4 2 B.8 C.6-4 2 D.6+4 2,解析 1.D由于M是線段DE上的一動(dòng)點(diǎn)(不包含D,E兩點(diǎn)),D,E分別是AB,AC的中點(diǎn),所以 = + =2 +2 ,所以,0且2+2=1. 解法一由2

8、+2=1,得= 12 2 . 由0,得0 1 2 , 所以 1 + 2 = 1 + 2 12 2 = 1 + 4 12 = 12+4 (12) = 1+2 (12) . 令t=1+2,則t(1,2),所以 1+2 (12) = 1 2 (2t) = 2 (1)(2) = 2 2 +32 = 2 ( 2 +)+3 . 由基本不等式可得 2 +t2 2 (當(dāng)且僅當(dāng) 2 =t,即t= 2 時(shí)等號(hào)成立). 又t(1,2),所以 2 +t3. 所以0-( 2 +t)+33-2 2 ,故 2 ( 2 +)+3 2 32 2 =6+4 2 . 所以 1 + 2 的最小值為6+4 2 .選D.,解法二 1 +

9、 2 =( 1 + 2 )(2+2)=6+ 2 + 4 6+4 2 (當(dāng)且僅當(dāng)= 2 1 2 ,= 2 2 2 時(shí)取等號(hào)). 故 1 + 2 的最小值為6+4 2 .選D.,【解后反思】該題由已知得到2+2=1之后,解法一利用了“消元代換法”,即將問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)變?cè)膯栴}求解,然后通過換元變形構(gòu)造基本不等式求解最值;而解法二則是利用常數(shù)“1”的代換,將目標(biāo)代數(shù)式進(jìn)行等價(jià)變形整理得到“積為常數(shù)”的形式,從而利用基本不等式求解最值.,考法2 利用基本不等式解決實(shí)際問題,示例3經(jīng)調(diào)查測算,某產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費(fèi)用m萬元(m0)滿足x=3- +1 (k為常數(shù)),若不搞促銷活

10、動(dòng),則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件.已知2018年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元,每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元,廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品生產(chǎn)包括固定投入和再投入兩部分資金). (1)將2018年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費(fèi)用m萬元的函數(shù); (2)該廠家2018年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí),廠家的利潤最大?,思維導(dǎo)引,解析 (1)由題意可知,當(dāng)m=0時(shí),x=1, 1=3-k,解得k=2,即x=3- 2 +1 ,(代值定參數(shù)) 每1萬件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為1.5 8+16 (萬元), 2018年的利潤y=x(1.5 8+16 )-(8+16x+m)(建模,利

11、潤=總收入-總投入) =4+8x-m =4+8(3- 2 +1 )-m =28- 16 +1 -m(m0).,y與m之間的函數(shù)關(guān)系式是y=28- 16 +1 -m(m0). (2)由(1)知y=- 16 +1 +(m+1)+29(m0). 當(dāng)m0時(shí), 16 +1 +(m+1)2 16 +1 (+1) =8,(利用基本不等式求最值) 當(dāng)且僅當(dāng) 16 +1 =m+1,即m=3時(shí)取等號(hào). y-8+29=21, 即當(dāng)m=3時(shí),y取得最大值,為21. 當(dāng)該廠家2018年的促銷費(fèi)用投入3萬元時(shí),廠家獲得的利潤最大,為21萬元.,拓展變式2 隨著社會(huì)的發(fā)展,汽車逐步成為人們的代步工具,家庭轎車的持有量逐年上

12、升,交通堵塞現(xiàn)象時(shí)有發(fā)生,據(jù)調(diào)查某段公路在某時(shí)段內(nèi)的車流量y(單位:千輛/時(shí))與汽車的平均速度v(單位:千米/時(shí))之間有函數(shù)關(guān)系:y= 900 2 +8+1600 (v0). (1)在該時(shí)段內(nèi),當(dāng)汽車的平均速度v為多少時(shí)車流量y最大?最大車流量約為多少?(結(jié)果保留兩位小數(shù)) (2)為保證在該時(shí)段內(nèi)車流量至少為10千輛/時(shí),則汽車的平均速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?,解析 2.(1)由題意知,v0,則y= 900 2 +8+1600 = 900 + 1600 +8 900 80+8 = 900 88 = 225 22 ,當(dāng)且僅當(dāng)v= 1600 ,即v=40時(shí)取等號(hào). 所以ymax= 225 22 10

13、.23. 故當(dāng)v=40時(shí),車流量y最大,最大約為10.23千輛/時(shí). (2)由y= 900 2 +8v+1600 10,得 90 2 +8v+1600 1,即90vv2+8v+1 600,整理得v2-82v+1 6000,即(v-32)(v-50)0,解得32v50.所以為保證在該時(shí)段內(nèi)車流量至少為10千輛/時(shí),汽車的平均速度應(yīng)大于等于32千米/時(shí)且小于等于50千米/時(shí).,考法3 利用基本不等式證明不等式,示例4 (1)已知a,b,cR,求證:a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c); (2)設(shè)a,b均為正實(shí)數(shù),求證: 1 2 + 1 2 +ab2 2 .,解析 (1)

14、a4+b42a2b2,b4+c42b2c2,c4+a42c2a2,當(dāng)且僅當(dāng)a4=b4=c4時(shí)取等號(hào), 2(a4+b4+c4)2(a2b2+b2c2+c2a2), 即a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2. 又a2b2+b2c22ab2c,b2c2+c2a22abc2,當(dāng)且僅當(dāng)a2=b2=c2時(shí)取等號(hào),c2a2+a2b22a2bc, 2(a2b2+b2c2+c2a2)2(ab2c+abc2+a2bc), 即a2b2+b2c2+c2a2ab2c+abc2+a2bc=abc(a+b+c). a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c).,(2)a,b均為正實(shí)數(shù), 1 2 +

15、 1 2 2 1 2 1 2 = 2 ,當(dāng)且僅當(dāng) 1 2 = 1 2 ,即a=b時(shí)等號(hào)成立. 2 +ab2 2 =2 2 ,當(dāng)且僅當(dāng) 2 =ab時(shí)等號(hào)成立, 所以 1 2 + 1 2 +ab 2 +ab2 2 , 當(dāng)且僅當(dāng) 1 2 = 1 2 2 =ab 即a=b=時(shí)取等號(hào).(多次使用不等式,等號(hào)要同時(shí)成立),拓展變式3 已知a0,b0,a+b=1, 求證:(1+ 1 )(1+ 1 )9.,解析 3.解法一a0,b0,a+b=1,1+ 1 =1+ + =2+ . 同理,1+ 1 =2+ .,(1+ 1 )(1+ 1 )=(2+ )(2+ )=5+2( + )5+4=9,當(dāng)且僅當(dāng) = ,即a=b

16、= 1 2 時(shí)取“=”. (1+ 1 )(1+ 1 )9,當(dāng)且僅當(dāng)a=b= 1 2 時(shí)等號(hào)成立. 解法二(1+ 1 )(1+ 1 )=1+ 1 + 1 + 1 =1+ + + 1 =1+ 2 . a0,b0,a+b=1,ab( + 2 )2= 1 4 ,當(dāng)且僅當(dāng)a=b= 1 2 時(shí)取“=”. 1 4, 2 8,當(dāng)且僅當(dāng)a=b= 1 2 時(shí)取“=”. (1+ 1 )(1+ 1 )1+8=9,當(dāng)且僅當(dāng)a=b= 1 2 時(shí)等號(hào)成立.,C方法幫素養(yǎng)大提升,易錯(cuò) 忽略應(yīng)用基本不等式的前提條件致誤,示例5若x 1 2 ,則f(x)= 1 21 +4x A.有最小值2+2 2 B.有最大值2+2 2 C.有最小值2-2 2 D.有最大值2-2 2 易錯(cuò)分析本題