線性代數(shù)-考研筆記

1、第一章 行列式性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。性質(zhì)2 互換行列式的兩行（列），行列式變號(hào)。推論 如果行列式的兩行（列）完全相同，則此行列式等于零。性質(zhì)3 行列式的某一行（列）中所以的元素都乘以同一個(gè)數(shù)k，等于用數(shù)k乘以此行列式。第i行（或者列）乘以k，記作rik(或cik)。推論 行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式記號(hào)的外面。第i行（或者列）提出公因子k，記作rik(或cik)。性質(zhì)4 行列式中如果兩行（列）元素成比例，此行列式等于零。性質(zhì)5 若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和，例如第i列的元素都是兩數(shù)之和，則D等于下列兩個(gè)行列式之和：D=a11a12a21a22a

2、1i+a1ia1na2i+a2ia2nan1an2ani+ani ann=a11a12a21a22a1ia1na2ia2nan1an2aniann+a11a12a21a22a1ia1na2ia2nan1an2ani ann性質(zhì)6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列（行）對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變。a11a1ia21a2ia1ja1na2ja2nan1anianjannci+kcj=a11a1i+ka1ja21a2i+ka2ja1ja1na2ja2nan1ani+kanjanjannij(ci+kcjrci+krj)定義 在n階行列式，把（i,j）元aij所在的第i行和第j列

3、劃去后，留下來的n-1階行列式叫做（i,j）元aij的余子式，記作Mij；記Aij=(-1)i+jMij ，Aij叫做（i,j）元aij的代數(shù)余子式。引理 一個(gè)n階行列式，如果其中第i行所有元素除（i,j）元aij外都為零，那么這行列式等于aij與它的代數(shù)余子式的乘積，即D=aijAij定理3 (行列式按行按列展開法則) 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即D=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin i=1,2，n，或D=a1jA1j+a2jA2j+anjAnj j=1,2，n推論 行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零。a

4、i1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=0ij和a1iA1j+a2iA2j+aniAnj=0ij范德蒙德行列式Dn=11x1x12x2x221xnxn2x1n-1x2n-1xnn-1=nij1xi-xj克拉默法則a11x1+a12x2+a1nxn=b1a21x1+a22x2+a2nxn=b2an1x1+an2x2+annxn=bn如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即D=a11a1nan1ann0，那么，方程組有唯一解x1=D1D，x2=D2D，xn=DnD 其中Dj(j=1，2，n)是把系數(shù)行列式矩陣D中第j列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的n階行列式，即Dj=a11a1，j-1b1

5、a1，j+1a1nan1an，j-1bnan，j+1ann定理4 如果非齊次線性方程組的系數(shù)行列式D0，則非齊次線性方程組一定有解，且解是唯一的。定理4 如果非齊次線性方程組無解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零。定理5 如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式D0，則齊次線性方程組沒有非零解定理5 如果齊次線性方程組有非零解，則它的系數(shù)行列式必為零第二章 矩陣級(jí)其運(yùn)算定義1 由mn個(gè)數(shù) aij(i=1，2，n)排成的m行n列的數(shù)表，稱為m行n列矩陣；A=a11a12a21a22a1na2nam1am2amn 以數(shù)aij為(i，j)元的矩陣可簡(jiǎn)記作（aij）或（aij）mn mn矩陣A也記作Amn

6、 。行數(shù)和列數(shù)都等于n的矩陣稱為n階矩陣或n階方陣。n階矩陣A也記作An。特殊定義：兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等，列數(shù)也相等時(shí)，就稱它們是 同型矩陣 同型矩陣A和B的每一個(gè)元素都相等，就稱兩個(gè)矩陣相等，A=B；元素都是零的矩陣稱為零矩陣，記作O；注意不同型的零矩陣是不同的。特殊矩陣n階單位矩陣，簡(jiǎn)稱單位陣。特征：主對(duì)角線上的元素為1，其他元素為0；E=100100001對(duì)角矩陣，特征：不在對(duì)角線上的元素都是0，記作 =diag(1,2，n)=10020000n定義2 矩陣的加法設(shè)有兩個(gè)mn矩陣A=（aij）和B=（bij），那么矩陣A與B的和記作A+B，規(guī)定為A+B=a11+b11a12+b12a21+

7、b21a22+b22a1n+b1na2n+b2nam1+bm1am2+bmn2amn+bmn注意：只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，這兩個(gè)矩陣才能進(jìn)行加法運(yùn)算；矩陣加法滿足運(yùn)算律（設(shè)A，B，C都是mn矩陣）（i.） A+B=B+A（ii.） A+B+C=A+(B+C)定義3 數(shù)與矩陣相乘A=A=a11a12a21a22a1na2nam1am2amn數(shù)乘矩陣滿足下列運(yùn)算規(guī)律（設(shè)A，B都是mn矩陣，為數(shù)）（i.） A=(A)；（ii.） +A=A+A；（iii.） A+B=A+B（iv.） A=A定義4 矩陣與矩陣相乘設(shè)A=（aij）是一個(gè)ms矩陣，B=（bij）是一個(gè)sn矩陣，那么規(guī)定矩陣A與矩陣B的

8、乘積是一個(gè)mn矩陣C=（cij），其中cij=ci1c1j+ci2c2j+ciscsj=k=1saikbkj(i=1，2，m；j=1，2，n)，并把此乘積記作 C=AB注意：只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣（左矩陣）的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣（右矩陣）的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘；矩陣的乘法性質(zhì)（不滿足交換律）（i.） （AB）C=A（BC）（ii.） AB=AB=AB（iii.） AB+C=AB+AC，（B+C）A =BA+CA（iv.） EA=AE=A（v.） A=AE=EA；AkAl=Ak+l，(Ak)l=AklE=矩陣的轉(zhuǎn)置定義5 把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到一個(gè)新矩陣，叫做A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT。性質(zhì)：（

9、i.） (AT)T=A；（ii.） (A+B)T=(A)T+(B)T（iii.） (A)T=AT（iv.） (AB)T=BTAT定義6 由n階方陣A的元素所構(gòu)成的行列式（各元素的位置不變），稱方陣A的行列式，記作A或det A；（A，B為n階方陣，為數(shù)）（i.） AT=A（ii.） A=nA（iii.） BA=AB=AB伴隨矩陣定義：A*=A11A21A12A22An1An2A1nA2nAnn A的各個(gè)元素的代數(shù)余子式Aij性質(zhì)：AA*=A*A=AE定義7 對(duì)于n階矩陣A，如果有一個(gè)n階矩陣B，使AB= BA=E，則說矩陣A是可逆的，并把矩陣B稱為A的逆矩陣，簡(jiǎn)稱 逆陣 。定理1 若矩陣A可逆

10、，則A0定理2 若 A0 ， 則矩陣A可逆，且 A-1=1AA*A*=AA-1 其中A*為矩陣A的伴隨陣。A是可逆矩陣的充分必要條件是 A0推論 若AB=E或BA=E，則B=A-1方陣的逆陣滿足下述運(yùn)算規(guī)律：（i.） 若A可逆，則A-1亦可逆，且A-1-1=A（ii.） 若A可逆，數(shù)0，則A可逆，且A-1=1A-1（iii.） 若A，B為同階矩陣且均可逆，則AB亦可逆，且AB-1=B-1A-1分塊矩陣的運(yùn)算法則（i.） 分塊矩陣的加法 矩陣的加法（ii.） 數(shù)與分塊矩陣相乘 數(shù)與矩陣相乘（iii.） 分塊矩陣與分塊矩陣相乘 矩陣與矩陣相乘（iv.） 分塊矩陣的轉(zhuǎn)置:設(shè)A=A11A1rAs1As

11、r AT=A11TAs1TA1rTAsrT （v.） 設(shè)A為n階矩陣，若A的分塊矩陣只有在對(duì)角線上有非零子塊，其余子塊都為非零矩陣，且在對(duì)角線上的子塊都是方陣，即A=A1A2As其中Ai(i=1，2，s)都是方陣，那么稱A為分塊對(duì)角矩陣 A=A1A2As克拉默法則 對(duì)于n個(gè)變量、n個(gè)方程的線性方程組a11x1+a12x2+a1nxn=b1a21x1+a22x2+a2nxn=b2an1x1+an2x2+annxn=bn如果它的系數(shù)行列式D0，則它有唯一解xj=1DDj=1Db1A1j+b2A2j+bnAnj 其中j=1，2，n xj=1DA1jA2jA3jTb1b2b3第三章 矩陣的初等變換與線

12、性方程組定義1 下面三種變換稱為矩陣的初等行變換：（i.） 對(duì)調(diào)兩行（對(duì)調(diào) i，j 兩行，記作rirj）；（ii.） 以數(shù)k0乘某一行中的所有元素（第i行乘k，記作rik）；（iii.） 把某一行所有元素的k倍加到另一行對(duì)應(yīng)的元素上去（第j行的k倍加到第i行上，記作ri+krj；把定義1中的“行”換成“列”，即得矩陣的初等列變換的定義（所用的記號(hào)是把“ r”換成“c”）矩陣的初等行變換與初等列變換，統(tǒng)稱為初等變換如果矩陣A經(jīng)有限次初等行變換變成矩陣B，就稱A與B行等價(jià)，記作ArB；如果矩陣A經(jīng)有限次初等列變換變成矩陣B，就稱A與B列等價(jià)，記作AcB；如果矩陣A經(jīng)有限次初等變換變成矩陣B，就稱A

13、與B列等價(jià)，記作AB；矩陣之間的等價(jià)關(guān)系具有下列性質(zhì)：（i.） 反身性 AA；（ii.） 對(duì)稱性 若AB，則BA；（iii.） 傳遞性 AB，BC，則AC；行最簡(jiǎn)形矩陣，特點(diǎn)：非零行的第一個(gè)非零元為1，且這些非零元所在的列的其他元素都為0。定理1 設(shè)A與B為mn矩陣，那么：（i.） ArB的充分必要條件是存在m階可逆矩陣P；使PA=B；（ii.） AcB的充分必要條件是存在n階可逆矩陣Q；使AQ=B；（iii.） AB的充分必要條件是存在m階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q，使PAQ=B；推論 方陣A可逆的充分必要條件是ArE行變換三個(gè)應(yīng)用：(1) A，ErB，PPA=BP=BA-1求P(2) A，

14、ErE，PP=A-1(3) A，BrE，XAX=BX=A-1B定義3 在mn矩陣A中，任取k行與k列（km，kn），位于這些行列交叉處的k2個(gè)元素，不改變它們?cè)贏中所處的位置次序而得的k階行列式，稱為矩陣A的n階行列式。定義4 設(shè)在矩陣A中有一個(gè)不等于0的r階子式D，且所有r+1階子式（如果存在的話）全等于0，那么D稱為矩陣A的最高階非零子式，數(shù)r稱為矩陣A的秩，記作R(A)；并規(guī)定零矩陣的秩序等于0定理2 若AB，則RA=R(B)推論 若可逆矩陣P，Q使PAQ=B，則RA=R(B)矩陣秩的基本性質(zhì)1. 0R(Amn)minm，n2. R(AT)=R(A)；3. 若AB，則RA=R(B)4.

15、若P，Q可逆，則RPAQ=R(A)5. maxRA，RBRA，BRA+R(B)，特別地，當(dāng)B=b為非零列向量時(shí)，有RARA，bRA+16. RA+BRA+R(B)7. RABminRA，RB8. 若AmnBnl=O，則RA+R(B)n定理3 n元線性方程組Ax=b（i.） 無解的充分必要條件是RAR(B，b)（ii.） 有唯一解的充分必要條件是RA=RB，b=n（iii.） 有無限多解的充分必要條件是RA=RB，bn求解線性方程組的步驟（i.） 對(duì)于非齊次線性方程組，把它的增廣矩陣B化成行階梯形，從B的行階梯形可同時(shí)看出RA和RB。若RAR(B)，則方程組無解。（ii.） 若RA=RB，則進(jìn)一

16、步把B化成行最簡(jiǎn)形。而對(duì)于齊次線性方程組，則把系數(shù)矩陣A化成行最簡(jiǎn)形。（iii.） 設(shè)RA=RB=r，把行最簡(jiǎn)形中r個(gè)非零行的非零首元所對(duì)應(yīng)的未知數(shù)取作非自由未知數(shù)，其余n-r個(gè)未知數(shù)取作自由未知數(shù)，并令自由未知數(shù)分別等于c1，c2，cn-r，由B或A的行最簡(jiǎn)形，即可寫出含n-r個(gè)參數(shù)的通解。定理4 n元齊次線性方程組Ax=0有非零解的充分必要條件是RA0v. x，y2x，xx，y施瓦茨不等式定義2 令x=x，x=x12+x22+xn2， x n維向量x的長度（或范數(shù)）。x=1時(shí)，稱x為 單位向量 。向量的長度具有下述性質(zhì)：i. 非負(fù)性 當(dāng)x0時(shí)，x0；當(dāng)x=0時(shí)，x=0；ii. 齊次性 x=

17、x；iii. 三角不等式 x+yx+yiv. 當(dāng)x，y=0時(shí)，稱向量x與y正交。定理1 若n維向量a1，a2，ar是一組兩兩相交的非零向量，則a1，a2，ar線性無關(guān)；定義3 設(shè)n維向量e1，e2，er是向量空間V（VRn）的一個(gè)基，如果e1，e2，er兩兩正交，且都是單位向量，則稱e1，e2，er是V的一個(gè)規(guī)范正交基。a1，a2，ar規(guī)范正交化：b1=a1b2=a2-b1，a2b1，b1b1br=ar-b1，arb1，b1b1-b2，arb2，b2b2-br-1，arbr-1，br-1br-1單位化e1=1b1b1，e1=1b1b1，er=1brbr定義4 如果n階矩陣A滿足ATA=E （即

18、A-1=AT）那么稱A為正交矩陣，簡(jiǎn)稱正交陣。方陣A為正交陣的充分必要條件是 A的列向量都是單位向量，且兩兩正交；定義5 若 P為正交矩陣，則y=Px稱為正交變換定義6 設(shè)A是n階矩陣，如果和n維非零列向量x使關(guān)系式Ax=x成立，那么，這樣的數(shù) 稱為矩陣A的特征值，非零向量x稱為A的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量。特征方程為： Ax=xA- Ex=0A- E=0a11-a12a21a22-a1na2nan1an2ann-=0A- E是矩陣A的特征多項(xiàng)式，記作f()設(shè)n階矩陣A=(aij)的特征值1，2 ，n，不難證明（i.） 1+2+n=a11+a22+ann；（ii.） 12n=A定理2 設(shè)1，2，

19、m是方陣A的m個(gè)特征值，p1，p2，pm依次是與之對(duì)應(yīng)的特征向量，如果 1，2，m各不相等，則p1，p2，pm線性無關(guān)。定義7 設(shè)A，B都是n階矩陣，若有可逆矩陣P，使P-1AP=B，則稱B是A的相似矩陣，或說矩陣A與B相似。對(duì)A進(jìn)行運(yùn)算P-1AP稱為對(duì)A進(jìn)行相似變換?？赡婢仃嘝稱為把A變成B的相似變換矩陣。定理3 若n階矩陣A與B相似，則A與B的特征多項(xiàng)式相同，從而A與B的特征值亦相同。推論 若n階矩陣A與對(duì)角陣=12n相似，則1，2，n即是A的n個(gè)特征值。定理4 n階矩陣A與對(duì)角陣相似（即A能對(duì)角化）的充分必要條件是A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。推論 如果n階矩陣A的n個(gè)特征值互不相等，則A

20、與對(duì)角陣相似。定理5 對(duì)稱陣的特征值為實(shí)數(shù)。定理6 設(shè) 1，2是對(duì)稱陣A 的兩個(gè)特征值，p1，p2 是對(duì)應(yīng)的特征向量。若 12，則p1與p2 正交；定理7 設(shè)A為n階對(duì)稱陣，則必有正交陣P，使P-1AP=PTAP=，其中是以A的n個(gè)特征值為對(duì)角元的對(duì)角陣。推論 設(shè)A為n階對(duì)稱陣，是A的特征方程的k重根，則矩陣A- E的秩RA- E=n-k，從而對(duì)應(yīng)特征值恰有k個(gè)線性無關(guān)的特征向量。對(duì)稱陣A對(duì)角化的步驟：（i.） 求出A的全部互不相等的特征值1，2，s，它們的重?cái)?shù)依次為k1，k2ks(k1+k2+ks=n)（ii.） 對(duì)每個(gè)ki重特征值i，求方程 A- iEx=0的基礎(chǔ)解系，得ki個(gè)線性無關(guān)的特征向量。再把它們正交化、單位化，得ki個(gè)兩兩正交的單位特征向量。因k1+k2+ks=n，故總共可得n個(gè)兩兩正交的單位特征向量。（iii.） 把這n個(gè)兩兩正交的單位特征向量構(gòu)成正交陣P，便有P-1AP=PTAP=。注意中對(duì)角元的排列次序應(yīng)與P中列向量的排列次序相對(duì)應(yīng)。定義8 含有n個(gè)變量x1，x2，xn的二次齊次函數(shù)fx1，x2，xn=a11x12+a22x22+annxn2+2a12x1x2+2a13x1x3+2an-1，nxn-1xn稱為二次型，取aij=aji 則2aijxixj=aijxixj+ajixjxi，于是fx1，x2，xn=a11x1