數(shù)值分析第三章小結(jié)

1、第三章 矩陣特征值與特征向量的計(jì)算-學(xué)習(xí)小結(jié)一、本章學(xué)習(xí)體會(huì)通過本章的學(xué)習(xí)，我們學(xué)到了四種矩陣特征值和特征向量的計(jì)算方法，分別是冪法、反冪法、Jacobi方法和QR方法四種方法各有其特點(diǎn)和適用范圍。冪法主要用于計(jì)算矩陣按模最大的特征值及其相應(yīng)的特征向量；反冪法主要用于計(jì)算矩陣按模最小的特征值及其相應(yīng)的特征向量；Jacobi方法用于求實(shí)對(duì)稱矩陣的全部特征值和特征向量的方法；QR方法則適用于計(jì)算一般實(shí)矩陣的全部特征值，尤其適用于計(jì)算中小型實(shí)矩陣的全部特征值。歸結(jié)起來，這四種方法亦有其共同點(diǎn)，那就是都是用了迭代的方法來求矩陣的特征值和特征向量。此外，用MATLAB自帶的解法求解特征值和特征向量也非常

2、快速，而且不用編輯函數(shù)建立m文件。其自帶函數(shù)Eig功能強(qiáng)大，即便得到結(jié)果是虛數(shù)也可以算出，并且結(jié)果自動(dòng)正交化。二、本章知識(shí)梳理3.1.1冪法冪法主要用于計(jì)算矩陣的按模為最大的特征值和相應(yīng)的特征向量。設(shè)nn實(shí)矩陣A具有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，其相應(yīng)的特征值滿足不等式其中。任取一n維非零向量u0，從u0出發(fā)，按照如下的遞推公式可產(chǎn)生一個(gè)向量序列，分析這一序列的收斂情況，可從中找出計(jì)算特征值和特征向量的方法。因n維向量組線性無關(guān)，故對(duì)向量u0必存在唯一的不全為0的數(shù)組a1,a2,an,使得由上式可得：設(shè)a10,由上式可以看出，當(dāng)k充分大時(shí)有得迭代公式：實(shí)際中計(jì)算時(shí)，為了避免迭代向量uk的模過大，（當(dāng)

3、）或過?。ó?dāng)），通常對(duì)ukj進(jìn)行歸一化，使其范數(shù)等于1.冪法的迭代公式：（1）用范數(shù)來歸一，并且令任取非零向量 （k=1,2,.）(2) 用范數(shù)來歸一,并且令：任取非零向量 （k=1,2,）上述兩種迭代終止控制用，以當(dāng)前的和分別作為和相應(yīng)的特征向量。3.1.2反冪法設(shè)nn 實(shí)矩陣A具有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，其相應(yīng)的特征值滿足不等式，其中。得：此時(shí)，是矩陣的按模最大的特征值，我們就將問題轉(zhuǎn)化為了冪法的思想。反冪法的迭代公式:任取非零向量（k=1,2,.）3.2 Jacobi方法Jacobi用平面旋轉(zhuǎn)矩陣對(duì)矩陣A作正交相似變換就把矩陣A作正交相似變換把A化為對(duì)角矩陣，從而求出A的特征值和特征向量

4、。求實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值與相應(yīng)的特征向量是一個(gè)迭代過程，其迭代步驟為：（1） 在A的非對(duì)角線元素中，找出按模最大的元素（2）由計(jì)算，比由此計(jì)算出以及相應(yīng)的平面旋轉(zhuǎn)矩陣。（3） 計(jì)算出矩陣A1的元素。（4） 若，則停止運(yùn)算，所求特征值為，則令A(yù)=A1，重復(fù)執(zhí)行上述過程。定理3.1 設(shè)是實(shí)對(duì)稱矩陣，由Jacobi方法的第k次迭代得到的矩陣記為，又記則有成立。3.3 QR方法3.3.1矩陣的QR分解設(shè)是單位向量，令，則是對(duì)稱正交矩陣，稱為Householder矩陣。引理3.1 設(shè)有非零向量和單位向量，必存在Householder矩陣，使得，其中是實(shí)數(shù)，并且。(可取)定理3.2 任何實(shí)矩陣A總可以分解

5、為一個(gè)正交矩陣Q與一個(gè)上三角矩陣R的乘積。設(shè)不全為零，令(取)對(duì)第j列，不全為零，令，并繼續(xù)計(jì)算。最終得到是一個(gè)上三角矩陣。則，且。3.3.2 矩陣的擬上三角化對(duì)實(shí)對(duì)稱作相似變換化為擬上三角矩陣，其中時(shí)，稱為矩陣A的擬上三角化，其變換過程如下：設(shè)不全為零，令(取)對(duì)第j列，不全為零，令，并繼續(xù)計(jì)算。最終得到為擬上三角矩陣，令，則。3.3.3 帶雙步位移的QR方法QR方法適用于計(jì)算一般實(shí)矩陣的全部特征值，尤其適用于計(jì)算中小型實(shí)矩陣的全部特征值?；綫R方法的迭代公式是由于所以，由迭代公式產(chǎn)生的矩陣序列中的每個(gè)矩陣都與原矩陣A相似，因而任一矩陣都與原矩陣A有相同的特征值。三、本章思考題冪法與Jacobi方法在矩陣特征值和特征向量的計(jì)算中的優(yōu)缺點(diǎn)？答：冪法的收斂速度與比值或有關(guān)，比值越小，收斂速度越快。此外，當(dāng)矩陣A沒有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，冪法仍然可以使用，但收斂速度特別慢。Jacobi方法具有較強(qiáng)的數(shù)值穩(wěn)定性，求得的結(jié)果精度一般都比較高，特別是求得的特征向量正交性很好，這是其他方法所不如的。但是，Jacobi方法不能有效地利用矩陣的各種特殊形狀以節(jié)省工作量，絕對(duì)值較小的特征值精度也比較差；另外，由于每迭代一次都要在非主對(duì)角線元素中尋