考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)強(qiáng)化資料-相似與相似對角化

1、2017考研已經(jīng)拉開序幕，很多考生不知道如何選擇適合自己的考研復(fù)習(xí)資料。中公考研輔導(dǎo)老師為考生準(zhǔn)備了【線性代數(shù)-相似與相似對角化知識點(diǎn)講解和習(xí)題】，希望可以助考生一臂之力。同時(shí)中公考研特為廣大學(xué)子推出考研集訓(xùn)營、專業(yè)課輔導(dǎo)、精品網(wǎng)課、vip1對1等課程，針對每一個(gè)科目要點(diǎn)進(jìn)行深入的指導(dǎo)分析，歡迎各位考生了解咨詢。模塊九 相似與相似對角化 教學(xué)規(guī)劃【教學(xué)目標(biāo)】1、系統(tǒng)梳理相似的概念與性質(zhì)2、熟練掌握相似對角化的概念，判斷方法及其性質(zhì)3、熟練掌握矩陣相似對角化的相關(guān)運(yùn)算4、熟練掌握實(shí)對稱矩陣的特殊性質(zhì)并利用正交矩陣實(shí)現(xiàn)對稱矩陣的對角化【主要內(nèi)容】1、相似的概念與性質(zhì)定理2、相似對角化的概念與性質(zhì)3

2、、可對角化的充要條件及充分條件4、實(shí)對稱矩陣的特殊性質(zhì)5、實(shí)對稱矩陣的正交相似對角化6、利用相似對角化求矩陣的冪【重難點(diǎn)】1、矩陣可相似對角化的條件2、相似對角化的相關(guān)計(jì)算3、實(shí)對稱矩陣的性質(zhì)4、實(shí)對稱矩陣的正交相似對角化 知識點(diǎn)回顧一相似1基本概念設(shè)和為兩個(gè)階方陣，如果存在一個(gè)階可逆矩陣使得，則稱矩陣和相似，記作.2常見性質(zhì)1）；2）且矩陣可逆；3），其中為多項(xiàng)式；4）；5）；6）； 7），也即相似的矩陣具有相同的特征值.二相似對角化1基本概念對階方陣，如果存在一個(gè)階對角矩陣使得與相似，則稱矩陣可相似對角化，并把稱為矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)型.2公式定理定理1：階矩陣可相似對角化的充要條件是矩陣存在個(gè)

3、線性無關(guān)的特征向量.同時(shí)，在等式中，對角矩陣的元素為的個(gè)特征值，可逆矩陣的列向量為矩陣的個(gè)線性無關(guān)的特征向量，并且中特征向量的排列順序與中特征值的排列順序一致.推論：設(shè)矩陣有個(gè)互不相同的特征值，則矩陣可相似對角化.定理2：階矩陣可相似對角化的充要條件是對任意特征值，屬于的線性無關(guān)的特征向量個(gè)數(shù)都等于的重?cái)?shù).推論：階矩陣可相似對角化的充要條件是對任意特征值，的重?cái)?shù).三實(shí)對稱矩陣設(shè)為實(shí)對稱矩陣（），則關(guān)于的特征值與特征向量，我們有如下的結(jié)論：定理3：的所有特征值均為實(shí)數(shù)，且的所有特征向量均為實(shí)向量.定理4：屬于不同特征值的特征向量必正交.定理5：一定有個(gè)線性無關(guān)的特征向量，即可以相似對角化. 且存

4、在正交矩陣，使得，其中為矩陣的特征值. 我們稱實(shí)對稱矩陣可以正交相似于對角矩陣. 考點(diǎn)精講一相似矩陣【例1】下列矩陣中，和相似的是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】：C小結(jié)：相似的矩陣具有相同的行列式、跡、秩與特征值，當(dāng)考查兩個(gè)矩陣是否相似時(shí)，往往可以通過上述矩陣相似的必要條件進(jìn)行排除：只要兩個(gè)矩陣的行列式、跡、秩與特征值有任何一項(xiàng)是不完全相等的，那么矩陣就不相似.【例2】已知矩陣與相似，求與.【答案】：0,1【例3】下列矩陣中和矩陣相似的是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】：B小結(jié)：當(dāng)兩矩陣滿足相似矩陣的所有常見性質(zhì)時(shí)（特征值、行列式、跡、秩全相同），還可以借助于相似對角

5、化來判斷：如果兩個(gè)矩陣都能相似對角化，則相似；如果兩個(gè)矩陣其中之一能相似對角化另一個(gè)不能，則不相似.【例4】設(shè)為三階矩陣，為三維列向量，滿足線性無關(guān)以及.（1）試求三階矩陣使得（2）求.【答案】：（1）,（2）二相似對角化的條件【例5】判斷矩陣是否可相似對角化【答案】：不能小結(jié)：判斷三階矩陣是否可相似對角化的三種可能的情況：三個(gè)特征值互不相同（即有三個(gè)單特征值），可對角化；僅有一個(gè)三重特征值（設(shè)為），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，也即時(shí)，可對角化；有一個(gè)二重特征值和一個(gè)單特征值（本題的情況），當(dāng)且僅當(dāng)，也即時(shí)，可對角化.【例6】下列矩陣中不能相似對角化的是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】：C【例7】

6、設(shè)問a為何值時(shí)A能對角化？【答案】： 【例8】設(shè)矩陣的特征方程有一個(gè)二重根，求的值，并討論是否可相似對角化.【答案】： ；當(dāng)時(shí)，可以相似對角化；當(dāng)時(shí)，不可以相似對角化?！纠?】設(shè)為階方陣，滿足，證明：（1）；（2）矩陣可以相似對角化.三相似對角化中與的計(jì)算【例10】若矩陣相似于對角陣，試確定常數(shù)a的值，并求可逆陣P，使.【答案】： 小結(jié)：矩陣相似對角化的方法：先計(jì)算出矩陣所有的特征值；對于每個(gè)特征值，計(jì)算出的基礎(chǔ)解析（其中為特征值的重?cái)?shù)）；以特征向量作為列向量即得到，此時(shí)有. 相似標(biāo)準(zhǔn)型中特征值的排列順序可以改變，只要保證中特征向量的排列與之一致即可.【例11】已知矩陣，相似（1）求，（2）求

7、，使【答案】： 【例12】設(shè)A為三階矩陣，是線性無關(guān)的三維列向量，且滿足，（1）求矩陣B，使得；（2）求矩陣A的特征值；（3）求可逆陣P，使得為對角陣.【答案】：，特征值為1（二重），4，【例13】已知，又已知，全是的特征向量，求矩陣【答案】：小結(jié)：當(dāng)矩陣可相似對角化時(shí)，如果知道了所有的特征值和特征向量，則可以利用等式計(jì)算出矩陣.四的計(jì)算【例14】設(shè)，試求及.【答案】：，【例15】某實(shí)驗(yàn)性生產(chǎn)線每年一月份進(jìn)行熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計(jì)，然后將熟練工支援其他生產(chǎn)部門，其缺額由招收新的非熟練工補(bǔ)齊. 新老非熟練工經(jīng)過陪練及實(shí)踐至年終考核有成為熟練工. 設(shè)第年的熟練工和非熟練工所占的百分比分別為，記

8、作向量.（1）求與的關(guān)系式并寫成形式；（2）驗(yàn)證是的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，并求出相應(yīng)的特征值；（3）當(dāng)時(shí)，求.【答案】1） 2） ；3）五對實(shí)對稱矩陣性質(zhì)的考查【例16】設(shè)為3階實(shí)對稱矩陣，滿足，若的秩為2，則= .【答案】2【例17】矩陣與相似的充分必要條件為（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】B【例18】設(shè)3實(shí)對稱矩陣的特征值為，矩陣屬于的特征向量分別為（1）試求的屬于特征值的特征向量；（2）求矩陣.【答案】（1）；（2） 小結(jié)：實(shí)對稱矩陣屬于不同特征值的特征向量正交，當(dāng)實(shí)對稱矩陣僅有一個(gè)特征值的特征向量未知時(shí)，可以通過該方法求得特征向量.【例19】 設(shè)3階對稱矩陣的特征值為是的屬

9、于的一個(gè)特征向量，記，其中為3階單位矩陣.（1）驗(yàn)證是矩陣的特征向量，并求的全部特征值的特征向量；（2）求矩陣.【答案】（1）特征值1，特征向量 ；特征值-2，特征向量；（2） .【例20】為三階實(shí)矩陣，且（1）求的特征值與特征向量（2）求【答案】: （1）特征值-1，特征向量 ;特征值1，特征向量；特征值0.特征向量（2）六實(shí)對稱矩陣的正交相似對角化【例21】設(shè)矩陣，已知線性方程組有解，但不唯一.試求（1）的值 （2）正交矩陣，使得為對角矩陣.【答案】:【例22】設(shè)矩陣，（1）已知的一個(gè)特征值是，試求；（2）求可逆矩陣，使得為對角矩陣.【答案】： 【例23】設(shè)，正交矩陣使得為對角矩陣，若的第1列為，求，.【答案】七綜合【例24】 已知為三階實(shí)對稱矩陣，為三階矩陣，滿足，又齊次線性方程組有非零解.（1）求的值；（