2010年經(jīng)典物理模型-彈簧類模型中的最值問(wèn)題

1、彈簧類模型中的最值問(wèn)題 在高考復(fù)習(xí)中，常常遇到有關(guān)“彈簧類”問(wèn)題，由于彈簧總是與其他物體直接或間接地聯(lián)系在一起，彈簧與其“關(guān)聯(lián)物”之間總存在著力、運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、動(dòng)量、能量方面的聯(lián)系，因此學(xué)生普遍感到困難，本文就此類問(wèn)題作一歸類分析。一、最大、最小拉力問(wèn)題 例1. 一個(gè)勁度系數(shù)為k600N/m的輕彈簧，兩端分別連接著質(zhì)量均為m15kg的物體A、B，將它們豎直靜止地放在水平地面上，如圖1所示，現(xiàn)加一豎直向上的外力F在物體A上，使物體A開(kāi)始向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)0.5s，B物體剛離開(kāi)地面（設(shè)整個(gè)加速過(guò)程彈簧都處于彈性限度內(nèi)，且g10m/s2）。求此過(guò)程中所加外力的最大和最小值。圖1 解析：開(kāi)始時(shí)彈簧彈力恰

2、等于A的重力，彈簧壓縮量，0.5s末B物體剛要離開(kāi)地面，此時(shí)彈簧彈力恰等于B的重力，故對(duì)A物體有，代入數(shù)據(jù)得。剛開(kāi)始時(shí)F為最小且，B物體剛要離開(kāi)地面時(shí)，F(xiàn)為最大且有，解得。二、最大高度問(wèn)題 例2. 如圖2所示，質(zhì)量為m的鋼板與直立彈簧的上端連接，彈簧下端固定在地面上，平衡時(shí)彈簧的壓縮量為。一物體從鋼板正上方距離為的A處自由下落打在鋼板上，并立即與鋼板一起向下運(yùn)動(dòng)，但不粘連，它們到達(dá)最低點(diǎn)后又向上運(yùn)動(dòng)，已知物塊質(zhì)量也為m時(shí)，它們恰能回到O點(diǎn)，若物體質(zhì)量為2m仍從A處自由下落，則物塊與鋼板回到O點(diǎn)時(shí)還有向上的速度，求物塊向上運(yùn)動(dòng)到達(dá)的最高點(diǎn)與O點(diǎn)的距離。圖2 解析：物塊碰撞鋼板前作自由落體運(yùn)動(dòng)，設(shè)

3、表示物塊與鋼板碰撞時(shí)的速度，則： 物塊與鋼板碰撞后一起以v1速度向下運(yùn)動(dòng)，因碰撞時(shí)間極短，碰撞時(shí)遵循動(dòng)量守恒，即： 剛碰完時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能為，當(dāng)它們一起回到O點(diǎn)時(shí)，彈簧無(wú)形變，彈性勢(shì)能為0，根據(jù)機(jī)械能守恒有： 設(shè)表示質(zhì)量為2m的物塊與鋼板碰撞后開(kāi)始向下運(yùn)動(dòng)的速度，由動(dòng)量守恒有： 碰撞后，當(dāng)它們回到O點(diǎn)時(shí)具有一定速度v，由機(jī)械能守恒定律得： 當(dāng)質(zhì)量為2m的物塊與鋼板一起回到O點(diǎn)時(shí)兩者分離，分離后，物塊以v豎直上升，其上升的最大高度： 解式可得。三、最大速度、最小速度問(wèn)題 例3. 如圖3所示，一個(gè)勁度系數(shù)為k的輕彈簧豎直立于水平地面上，下端固定于地面，上端與一質(zhì)量為m的平板B相連而處于靜止?fàn)顟B(tài)。今

4、有另一質(zhì)量為m的物塊A從B的正上方h高處自由下落，與B發(fā)生碰撞而粘在一起，已知它們共同向下運(yùn)動(dòng)到速度最大時(shí)，系統(tǒng)增加的彈性勢(shì)能與動(dòng)能相等，求系統(tǒng)的這一最大速度v。圖3 解析：A下落到與B碰前的速度v1為： A、B碰后的共同速度v2為： B靜止在彈簧上時(shí)，彈簧的壓縮量為x0，且： A、B一起向下運(yùn)動(dòng)到最大速度v時(shí)的位移為x，此時(shí)A、B的加速度為0，即有： 由機(jī)械能守恒得： 解得： 例4. 在光滑水平面內(nèi)，有A、B兩個(gè)質(zhì)量相等的木塊，中間用輕質(zhì)彈簧相連?，F(xiàn)對(duì)B施一水平恒力F，如圖4所示，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，A、B的速度等于5m/s時(shí)恰好一起做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，此過(guò)程恒力做功為100J，當(dāng)A、B恰好一起做勻

5、加速運(yùn)動(dòng)時(shí)撤除恒力，在以后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中求木塊A的最小速度。圖4 解析：當(dāng)撤除恒力F后，A做加速度越來(lái)越小的加速運(yùn)動(dòng)，彈簧等于原長(zhǎng)時(shí)，加速度等于零，A的速度最大，此后彈簧壓縮到最大，當(dāng)彈簧再次回復(fù)原長(zhǎng)時(shí)速度最小，根據(jù)動(dòng)量守恒得： 根據(jù)機(jī)械能守恒得： 由以上兩式解得木塊A的最小速度v0。四、最大轉(zhuǎn)速和最小轉(zhuǎn)速問(wèn)題 例5. 有一水平放置的圓盤，上面放一個(gè)勁度系數(shù)為k的輕彈簧，其一端固定于軸O上，另一端系著質(zhì)量為m的物體A，物體A與盤面間最大靜摩擦力為Ffm，彈簧原長(zhǎng)為L(zhǎng)，現(xiàn)將彈簧伸長(zhǎng)后置于旋轉(zhuǎn)的桌面上，如圖5所示，問(wèn)：要使物體相對(duì)于桌面靜止，圓盤轉(zhuǎn)速n的最大值和最小值各是多少？圖5 解析：當(dāng)轉(zhuǎn)速n較

6、大時(shí)，靜摩擦力與彈簧彈力同向，即： 當(dāng)轉(zhuǎn)速n較小時(shí)，靜摩擦力與彈簧彈力反向，即： 所以圓盤轉(zhuǎn)速n的最大值和最小值分別為： 。五、最大加速度問(wèn)題 例6. 兩木塊A、B質(zhì)量分別為m、M，用勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧連在一起，放在水平地面上，如圖6所示，用外力將木塊A壓下一段距離靜止，釋放后A做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，在A振動(dòng)過(guò)程中，木塊B剛好始終未離開(kāi)地面，求木塊A的最大加速度。圖6 解析：撤去外力后，A以未加外力時(shí)的位置為平衡位置作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A運(yùn)動(dòng)到平衡位置上方最大位移處時(shí)，B恰好對(duì)地面壓力為零，此時(shí)A的加速度最大，設(shè)為am。 對(duì)A：由牛頓第二定律有 對(duì)B： 所以，方向向下。六、最大振幅 例7. 如圖7所示，小

7、車質(zhì)量為M，木塊質(zhì)量為m，它們之間靜摩擦力最大值為Ff，輕質(zhì)彈簧勁度系數(shù)為k，振動(dòng)系統(tǒng)沿水平地面做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，設(shè)木塊與小車間未發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，小車振幅的最大值是多少？圖7 解析：在最大位移處，M和m相對(duì)靜止，它們具有相同的加速度，所以對(duì)整體有： 對(duì)m有： 所以由解得：。七、最大勢(shì)能問(wèn)題 例8. 如圖8所示，質(zhì)量為2m的木板，靜止放在光滑的水平面上，木板左側(cè)固定著一根勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧，彈簧的自由端到小車右端的距離為L(zhǎng)0，一個(gè)質(zhì)量為m的小木塊從板的右端以初速度v0開(kāi)始沿木塊向左滑行，最終回到木板右端，剛好不從木板右端滑出，設(shè)木板與木塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，求在木塊壓縮彈簧過(guò)程中（一直在彈性限度內(nèi)）彈簧所具有的最大彈性勢(shì)能。圖8 解：彈簧被壓縮至最短時(shí)，具有最大彈性勢(shì)能，設(shè)m在M上運(yùn)動(dòng)時(shí)，摩擦力做的總功產(chǎn)生內(nèi)能為2E，從初狀態(tài)到彈簧具有最大彈性勢(shì)能及從初狀態(tài)到末狀態(tài)，系統(tǒng)均滿足動(dòng)量守恒定律，即： 由初狀態(tài)到彈簧具有最大彈性勢(shì)能，系統(tǒng)滿足能量守恒： 由初