高等電磁場 電動力學課后習題答案.doc

1、第2講 場論基礎（2）2-1 證明修正矢量Green定量 證明： （主要公式：；）證畢.2-2證明證明：一種理解：嚴格證明（直角坐標系）：設，左邊：=右邊：= + = = =左邊證畢.2-3 證明 證明：如右圖，設場在曲線和曲面上是良性的。 把S分成n個小塊，設第m塊的面積為，邊界為，設點在上。由旋度的原始定義，因此有：疊加所有的小塊，則上式右邊的第一項由于疊加過程中相鄰小塊的公共邊界上的積分相互抵消，因此只剩下不是公共邊界曲線的積分，即：當，則：另外，由于當，故因此，。證畢.第4講 Maxwell方程（2）4-2 證明邊界條件： 和hSn媒質1媒質2媒質界面證明：(1). 利用 由于及有限函

2、數(shù)，當時，。則有：(2). 當時，。則有：4-3討論Maxwell方程中四個邊界條件的獨立性。解：比擬于微分方程，猜想有兩種獨立方程形式： 以及下面證明第一種方案：(1). 證明磁場無法向分量邊界條件：上式中，。因此有：即： 由于對于任意的，上式都成立，對于特例也成立，則常數(shù)為0。因此.(2). 當然還可以倒出電流連續(xù)性邊界條件：由于：所以 （利用了）因為所以 注：對于*式，應用電流連續(xù)性方程，就可以得到電場的法向不連續(xù)的邊界條件。第3講 本構關系和波動方程3-1 已知鐵氧體磁導率張量為：其中是正實數(shù)，試采用坐標變換得對角化，求坐標變換矩陣和對角矩陣。解：求特征值：于是有：（）當時，解得當時，

3、解得當時，解得故有變換矩陣：對角化后的矩陣為：3-2 對于良導體，無源區(qū)域的Maxwell方程為：試導出波動方程，并給出波傳播的速度和波阻抗的表達式。解：由于且故：同理：所以波動方程為：由波動方程知：解得所以： 第5講 電磁場的能量與動量5-1 試推導頻域Poynting定理。解：在時域，一個周期內Poynting矢量的時間平均值為： 由此引入頻域Poynting矢量：，而，故其中：，證畢.5-2 相同頻率的兩個點電荷源，置于相同的各向同性的線性媒質中，電源1在空間產生的電磁場為；而電源2產生的，試證明證明：滿足的場方程為： 所以： 證畢.5-3 無限均勻導電媒質中放一電量Q 為的點電荷，試求

4、這電荷隨時間的變化規(guī)律，并寫出空間中任一點的磁場強度和能密度。解：利用積分場定理求解。 高斯定理： 由于，所以：而，代入上式有：又有電流連續(xù)性方程： 所以（） 解上述方程的： 下面求: 研究一個以Q的初始位置為球心的球，則在球面上的大小一樣，方向指向背離球心半徑方向。 于是： 由于 ，代入 有 所以： 而在時刻，。 所以： 電場能量密度：磁場能量密度：第6講 波動方程與唯一性定理6-1 試證明右圖所示的有耗多媒質區(qū)域的頻域電磁場唯一性定理：如果（1）區(qū)域內的源已知；（2）區(qū)域外邊界上切向電場或切向磁場已知（3）區(qū)域內媒質交界面上切向電場和切向磁場連續(xù) 則區(qū)域內電磁場唯一確定。證明：為便于說明，

5、證明兩種有耗媒質的情況，然后可將其推廣到多媒質情況。如圖中所示，整個體積V分成兩個區(qū)域，和中電導率，磁導率和介電常數(shù)分別為：，。設中存在兩個電場和兩個磁場和，中存在兩個電場和兩個磁場和。記差場分別為：，差場滿足： 利用Poynting定理的積分形式：由區(qū)域外邊界上切向電場或切向磁場已知，有：，由區(qū)域內媒質交界面上切向電場和切向磁場連續(xù)，有：因此（1）式的左邊等于0。故：上式中實部和虛部都為零，有：對于有耗媒質，。于是：唯一性定理得證。對于多媒質情況，由于內部媒質交接處積分總是抵消，表面上積分也為零，可知仍然有唯一性定理。6-2 試討論Poisson方程解的唯一性問題。 解：設此方程有兩解，分別

6、為：和考慮差值函數(shù)。則：滿足方程：應用Green第一恒等式：上式中，令則有：可見，只要滿足：(1) 邊界上的給定；(2) 或邊界上的給定；(3) 或邊界上一部分的給定，另一部分的給定；上述三個條件中的任何一個，都有，則：，被唯一確定，Poisson方程有唯一解。第7講 輔助位函數(shù)7-1 試證明在Coulomb規(guī)范下式中：證明：對于電流源，由定理得： 式中分別為分別表示的無旋部分和無散部分，即：根據(jù)矢量恒等式：因為：，以及： 所以，由（1）式 、 （）將上式和代入到：，得到：證畢.7-2 試導出導電率為的媒質中矢位和標位的波動方程。解：波動方程：因為：，所以：故有：既有：(2)式兩邊加可變?yōu)椋?

7、如果令：，則(3)和(4)式可化解為： 以上兩式即為波動方程。7-3 試證明：在Coulomb規(guī)范下，無源區(qū)域中的電磁場量可用兩個標量函數(shù)表示。證明：無源區(qū)域：。 利用上一講得到的結論，在Coulomb規(guī)范下， 由此可見，電磁場量可用的兩個獨立分量表示，即兩個標量函數(shù)表示。7-4 在柱坐標系下，設試從Maxwell方程導出各向同性媒質無源區(qū)域中，頻域電磁場橫向分量由縱向分量表示的表示式。解：滿足的電磁場方程：微分算子表示成橫向和縱向形式：對Maxwell方程的兩個旋度方程取橫向分量得到：上面（1）式都用叉乘得到：利用有： 利用，得到：將（2）式代入到上式有：令，有：同理有：因此，頻域電磁場橫向

8、分量由縱向分量表示的表示式。證畢.第11講 等效原理與感應定理11-1 試利用等效原理，計算右圖所示的通向接地導電平面的矩形波導開口端的輻射場（假定開口端為波的電場）。解：按照圖中所給的坐標定義，在端口上的。根據(jù)等效原理，求導體平面右半空間的輻射場時，可以用導體將波導開口封閉，再加上面磁流來等效，再應用鏡像法，使之等效為無限大自由空間的輻射問題，等效的面磁流為原來的兩倍，原問題就變?yōu)榍笤摰刃娲帕鞯妮椛鋯栴}，因為開口端的為波的電場，則最后等效的面磁流為：在處的小磁流在點產生的輻射場為（設R為小磁流到P點的距離）設r為原點到P的距離，在球坐標系中，所以：考慮到，利用展開上式并只保留主要項，得：所

9、以在P點的輻射場為：下面分別計算兩個積分所以：最后得到：第16講 互補原理和互易定理16-1 利用互補原理，由對稱振子天線的輻射場求圖16-4所示的縫隙天線的輻射場，縫隙內電場為解：圖中兩種天線構成了電屏與互補電屏的關系。 設對偶振子的輻射場為，縫隙天線的輻射場為，。由于沒有z0區(qū)域的源，故，應用互補原理，有故：縫隙天線內的電場對偶于對稱振子表面的切向磁場： 由于振子兩側磁場的切向分量大小相等，方向相反，這樣有：由上述電流對稱振子產生的場為：由此得到縫隙天線的輻射場為：16-2 證明：如果源和均在體積v內，則互易定理為：證明： 由于源和均在體積內時，設外的空間為無源空間，則中無源，所以由互易定

10、理有： 為包圍的外曲面法線方向。由于外的空間的外曲面包括：半徑的球面，和：包圍的曲面。則有： 因為為半徑的球面，在面上，有所以： 16-3 證明：無限靠近理想磁體表面的面磁流不產生電磁場。證明：設有一理想磁體，在無限靠近導體表面上有面磁流，在空間有一任意磁流源，在空間各處產生的電磁場為，在空間各處產生的電磁場為，根據(jù)互易定理，有：由于理想磁體表面磁場只有法向分量，而為切向磁流，故：于是：又由于為任意的，所以。所以：無限靠近理想表面的面磁流不產生電磁場。第11講 導體鏡像原理11-1一點電荷放置在夾角為的導體拐角中，電荷距拐角尖點的距離為,與拐角的最小夾角為。試利用鏡像原理求解點電荷在拐角中產生

11、的電位。如果拐角的夾角改為,問能否應用鏡像原理？為什么？解：因為，滿足，其中，可以利用鏡像原理，將產生個鏡像電荷，設拐角的一邊為x軸正方向，則其鏡像電荷角度分別為：具體電荷坐標分別為： 點電荷在拐角產生的電位可以等效為六個電荷在自由空間產生的和電位。由電位公式： 可以得到和電位為：和分別為是具體電荷的坐標。如上圖所示，當夾角時，不滿足（為整數(shù)），所以鏡像電荷將產生無窮多個，并且將有鏡像電荷會落在拐角內，改變了拐角內電荷的分布，所以無法應用鏡像原理。11-2 如圖所示，接地無限大導體平板上突起一半徑為a的半球形，在處有一點電荷。試利用鏡像原理求解該電荷產生的電位。解：為保證的無限大平面滿足邊界條

12、件，可考慮在接地無限大的導體作用下，點產生一個鏡像電荷，據(jù)平面板的鏡像原理可知：。 為保證半球滿足邊界條件，可將半球形看成一個完整球形，則兩個點電荷又分別產生一個鏡像電荷，根據(jù)球形腔的鏡像原理，可以得到它們的電荷大小和位置分別為：，所以：產生的電位為： 驗證其是否滿足邊界條件：11-3 如圖11-10所示，一密度為的無限長均勻分布的線電荷，平行放置在半徑為R的接地導體圓柱外。試嘗試用鏡像原理求解該問題。解：設點C為系統(tǒng)的零電勢點，設N點為鏡像電荷所在點，密度為，則P點電位為：，其中，為OP與OM的夾角，為PM的長度，為PN的長度，為ON的長度，因為圓柱接地，所以：，則：則：，所以：電位為：第1

13、2講 介質鏡像原理12-1試利用鏡像原理求解如圖所示的線電荷在三層介質中產生的電位。解：利用介質鏡像原理，先確定（區(qū)域2）得鏡像問題，區(qū)域2有兩個邊界，對它們分別應用鏡像原理可以得到如下圖（1）所示的鏡像電荷分布：由這些規(guī)律可以推出區(qū)域2電位的表達式：在區(qū)域3中，其中有一條與區(qū)域2為邊界，因為區(qū)域2無電荷，故不對區(qū)域3產生影響，區(qū)域1的影響可以看（1）圖中區(qū)域1對區(qū)域2的影響，依照介質鏡像原理，在這些電荷上乘以因子，如圖（2）所示：由這些規(guī)律可以推出區(qū)域3中電位表達式：在區(qū)域1中，其中只有一條與區(qū)域2的邊界x=h，為了保證x=介質邊界條件，在區(qū)域2中，處加電荷，區(qū)域3對它的影響可以看成圖（3）中區(qū)域3中的電荷對區(qū)域1的影響，依照介質鏡像原理，在這些電荷上乘以因子，如圖（3）所示：由規(guī)律可以推出區(qū)域1電荷表達式為：第18講 分離變量法18