初一競賽講座02(特殊的正整數(shù)

1、初一數(shù)學競賽講座(2)特殊的正整數(shù)一、 知識要點1、 完全平方數(shù)及其性質(zhì)定義1 如果一個數(shù)是一個整數(shù)的平方，則稱這個數(shù)是完全平方數(shù)。如：1、4、9、等都是完全平方數(shù)，完全平方數(shù)有下列性質(zhì)：性質(zhì)1 任何完全平方數(shù)的個位數(shù)只能是0，1，4，5，6，9中的一個。性質(zhì)2 奇完全平方數(shù)的十位數(shù)一定是偶數(shù)。性質(zhì)3 偶完全平方數(shù)是4的倍數(shù)。性質(zhì)4 完全平方數(shù)有奇數(shù)個不同的正約數(shù)。性質(zhì)5 完全平方數(shù)與完全平方數(shù)的積仍是完全平方數(shù)，完全平方數(shù)與非完全平方數(shù)的積是非完全平方數(shù)。2、 質(zhì)數(shù)與合數(shù)定義2 一個大于1的整數(shù)a,如果只有1和a這兩個約數(shù)，那么a叫做質(zhì)數(shù)（或素數(shù)）。定義3 一個大于1的整數(shù)a,如果只有1和a

2、這兩個約數(shù)外，還有其他正約數(shù)，那么a叫做合數(shù)。1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。3、 質(zhì)數(shù)與合數(shù)的有關(guān)性質(zhì)(1) 質(zhì)數(shù)有無數(shù)多個(2) 2是唯一的既是質(zhì)數(shù)，又是偶數(shù)的整數(shù)，即是唯一的偶質(zhì)數(shù)。大于2的質(zhì)數(shù)必為奇數(shù)。(3) 若質(zhì)數(shù)pab，則必有pa或pb。(4) 若正整數(shù)a、b的積是質(zhì)數(shù)p，則必有a=p或b=p.(5) 唯一分解定理：任何整數(shù)n(n1)可以唯一地分解為：,其中p1p211)，一定可以表示成兩個合數(shù)之和。 評注：本題是通過對整數(shù)的合理分類來幫助解題，這是解決整數(shù)問題的一種常用方法。但要注意對整數(shù)的分類要不重復不遺漏。例10 證明：n (n+1)+1(n是自然數(shù))不能是某個整數(shù)的平方。 分析：注

3、意到n (n+1)+1=n2+n+1，n是自然數(shù)，n2n2+n+1( n+1)2，這為我們證題提供了出發(fā)點。 證明：n (n+1)+1=n2+n+1，n是自然數(shù)，n2n2+n+1( n+1)2， 而n、n+1是兩個相鄰的自然數(shù)， n (n+1)+1(n是自然數(shù))不能是某個整數(shù)的平方。 評注：本題應用了在兩個相鄰正整數(shù)的平方數(shù)之間不可能還存在一個完全平方數(shù)這個結(jié)論。例11 如果一個自然數(shù)是質(zhì)數(shù)，且它的數(shù)字位置經(jīng)過任意交換后仍然是質(zhì)數(shù)，則稱這個數(shù)為絕對質(zhì)數(shù)。證明：絕對質(zhì)數(shù)不能有多于三個不同的數(shù)字。 分析：絕對質(zhì)數(shù)中出現(xiàn)的數(shù)字不會有偶數(shù)，也不會有5，因為有偶數(shù)和5它就一定不是絕對質(zhì)數(shù)，則絕對質(zhì)數(shù)中出

4、現(xiàn)的數(shù)字只可能是1，3，7，9。 證明： 因為絕對質(zhì)數(shù)的數(shù)字位置經(jīng)過任意交換后仍然是質(zhì)數(shù)，所以絕對質(zhì)數(shù)中出現(xiàn)的數(shù)字不會有偶數(shù)，也不會有5，即絕對質(zhì)數(shù)中出現(xiàn)的數(shù)字只可能是1，3，7，9。 假設有一個絕對質(zhì)數(shù)M中出現(xiàn)的數(shù)字超過了3個，也即這個絕對質(zhì)數(shù)中出現(xiàn)的數(shù)字包含了1，3，7，9，則 ，M2=M+9137，M3=M+7913，M4=M+3791，M5=M+1397，M6=M+3197，M7=M+7139都是質(zhì)數(shù)。 可驗證，這七個數(shù)中每兩個數(shù)的差都不能被7整除，說明M1、M2、M3、M4、M5、M6、M7被7除所得余數(shù)互不相同。因而必有一個是0，即能被7整除，這與此數(shù)是質(zhì)數(shù)矛盾。所以假設不成立，所

5、以絕對質(zhì)數(shù)不能有多于三個不同的數(shù)字。評注：本題是用反證法來證明，對于題目中出現(xiàn)“不”的字眼，常常用反證法來證明。三、 鞏固練習1、在整數(shù)0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中，設質(zhì)數(shù)的個數(shù)為x，偶數(shù)的個數(shù)為y，完全平方數(shù)的個數(shù)為z，合數(shù)的個數(shù)為u，則x+y+z+u的值是( )A、17 B、15 C、13 D、11 2、設n為大于1的自然數(shù)，則下列四個式子的代數(shù)值一定不是完全平方數(shù)的是（）A、3n2-3n+3 B、5n2-5n-5 C、9n2-9n+9 D、11n2-11n-113、有3個數(shù)，一個是最小的奇質(zhì)數(shù)，一個是小于50的的最大質(zhì)數(shù)，一個是大于60的最小質(zhì)數(shù)，則這3個數(shù)的和是( )A、1

6、01 B、110 C、111 D、113 4、兩個質(zhì)數(shù)的和是49，則這兩個質(zhì)數(shù)的倒數(shù)和是( )A、 B、 C、 D、5、a、b為正整數(shù)，且56a+392b為完全平方數(shù)，則a+b的最小值等于( )A、6 B、7 C、8 D、9 6、3個質(zhì)數(shù)p、q、r滿足等式p+q=r，且pqn2，且，則n1= ，n2= 13、證明：不存在這樣的三位數(shù)，使成為完全平方數(shù)。14、試求四位數(shù)，使它是一個完全平方數(shù)。15、a、b、c、d都是質(zhì)數(shù)，且10cd20，c-a是大于2的質(zhì)數(shù)，d 2-c 2=a 3b(a+b)，求a、b、c、d的值16、設a、b、c、d是四個整數(shù)，且是非零整數(shù)，求證：是合數(shù)。17、求一個三位數(shù)，

7、使它等于n2，并且各位數(shù)字之積為n-1。18、設n1、n2是任意兩個大于3的質(zhì)數(shù)，M=，N=，M與N的最大公約數(shù)至少為多少？ 19、證明有無窮多個n，使多項式n2+n+41表示合數(shù)。20、已知p和8p2+1都是質(zhì)數(shù)，求證：8p2-p+2也是質(zhì)數(shù)。初一數(shù)學競賽講座(3)數(shù)字、數(shù)位及數(shù)謎問題一、知識要點1、整數(shù)的十進位數(shù)碼表示 一般地，任何一個n位的自然數(shù)都可以表示成： 其中，a i (i=1，2，n)表示數(shù)碼，且0a i9，a n0. 對于確定的自然數(shù)N，它的表示是唯一的，常將這個數(shù)記為N=2、正整數(shù)指數(shù)冪的末兩位數(shù)字(1) 設m、n都是正整數(shù)，a是m的末位數(shù)字，則mn的末位數(shù)字就是an的末位數(shù)

8、字。(2) 設p、q都是正整數(shù)，m是任意正整數(shù)，則m 4p+q 的末位數(shù)字與mq的末位數(shù)字相同。3、在與整數(shù)有關(guān)的數(shù)學問題中，有不少問題涉及到求符合一定條件的整數(shù)是多少的問題，這類問題稱為數(shù)迷問題。這類問題不需要過多的計算，只需要認真細致地分析，有時可以用“湊”、“猜”的方法求解，是一種有趣的數(shù)學游戲。二、例題精講例1、有一個四位數(shù)，已知其十位數(shù)字減去2等于個位數(shù)字，其個位數(shù)字加上2等于其百位數(shù)字，把這個四位數(shù)的四個數(shù)字反著次序排列所成的數(shù)與原數(shù)之和等于9988，求這個四位數(shù)。分析：將這個四位數(shù)用十進位數(shù)碼表示，以便利用它和它的反序數(shù)的關(guān)系列式來解決問題。解：設所求的四位數(shù)為a103+b102

9、+c10+d，依題意得：(a103+b102+c10+d)+( d103+c102+b10+a)=9988 (a+d) 103+(b+c) 102+(b+c) 10+ (a+d)=9988比較等式兩邊首、末兩位數(shù)字，得 a+d=8，于是b+c18又c-2=d，d+2=b，b-c=0從而解得：a=1，b=9，c=9，d=7故所求的四位數(shù)為1997評注：將整數(shù)用十進位數(shù)碼表示，有助于將已知條件轉(zhuǎn)化為等式，從而解決問題。例2、 一個正整數(shù)N的各位數(shù)字不全相等，如果將N的各位數(shù)字重新排列，必可得到一個最大數(shù)和一個最小數(shù)，若最大數(shù)與最小數(shù)的差正好等于原來的數(shù)N，則稱N為“新生數(shù)”，試求所有的三位“新生數(shù)

10、”。分析：將所有的三位“新生數(shù)”寫出來，然后設出最大、最小數(shù)，求差后分析求出所有三位“新生數(shù)”的可能值，再進行篩選確定。解：設N是所求的三位“新生數(shù)”，它的各位數(shù)字分別為a、b、c(a、b、c不全相等)，將其各位數(shù)字重新排列后，連同原數(shù)共得6個三位數(shù)：，不妨設其中的最大數(shù)為，則最小數(shù)為。由“新生數(shù)”的定義，得N=由上式知N為99的整數(shù)倍，這樣的三位數(shù)可能為：198，297，396，495，594，693，792，891，990。這9個數(shù)中，只有954-459=495符合條件。故495是唯一的三位“新生數(shù)”評注：本題主要應用“新生數(shù)”的定義和整數(shù)性質(zhì)，先將三位“新生數(shù)”進行預選，然后再從中篩選出

11、符合題意的數(shù)。例3 、從1到1999，其中有多少個整數(shù)，它的數(shù)字和被4整除？將每個數(shù)都看成四位數(shù)(不是四位的，在左面補0)，0000至1999共2000個數(shù)。千位數(shù)字是0或1，百位數(shù)字從0到9中選擇，十位數(shù)字從0到9中選擇，各有10種。在千、百、十位數(shù)字選定后，個位數(shù)字在2到9中選擇，要使數(shù)字和被4整除，這時有兩種可能：設千、百、十位數(shù)字和為a，在2，3，4，5中恰好有一個數(shù)b，使a+b被4整除(a+2、a+3、a+4、a+5除以4，余數(shù)互不相同，其中恰好有一個余數(shù)是0，即相應的數(shù)被4整除)；在6，7，8，9中也恰好有一個數(shù)c(=b+4)，使a+c被4整除。因而數(shù)字和被4整除的有：210102

12、=400個再看個位數(shù)字是0或1的數(shù)。千位數(shù)字是0或1，百位數(shù)字從0到9中選擇，在千、百、個位數(shù)字選定后，十位數(shù)字在2到9中選擇。與上面相同，有兩種可能使數(shù)字和被4整除。因此數(shù)字和被4整除的又有：22102=80個。在個位數(shù)字、十位數(shù)字、千位數(shù)字均為0或1的數(shù)中，百位數(shù)字在2到9中選擇。有兩種可能使數(shù)字和被4整除。因此數(shù)字和被4整除的又有：2222=16個。最后，千、百、十、個位數(shù)字為0或1的數(shù)中有兩個數(shù)，數(shù)字和被4整除，即1111和0000，而0000不算。于是1到1999中共有400+80+16+1=497個數(shù)，數(shù)字和被4整除。例4 、圓上有9個數(shù)碼，已知從某一位起把這些數(shù)碼按順時針方向記下

13、，得到的是一個9位數(shù)并且能被27整除。證明：如果從任何一位起把這些數(shù)碼按順時針方向記下的話，那么所得的一個9位數(shù)也能被27整除。分析：把從某一位起按順時針方向記下的9位數(shù)記為：，其能被27整除。 只需證明從其相鄰一位讀起的數(shù)：也能被27整除即可。證明：設從某一位起按順時針方向記下的9位數(shù)為：依題意得：=能被27整除。為了證明題目結(jié)論，只要證明從其相鄰一位讀起的數(shù)：也能被27整除即可。=10-=10()-()=-(= 而999能被27整除，10003-1也能被27整除。 因此，能被27整除。從而問題得證。評注：本題中，109-1難以分解因數(shù)，故將它化為10003-1，使問題得到順利解決。這種想辦

14、法降低次數(shù)的思想，應注意領(lǐng)會掌握。例5 證明：+能被10整除分析：要證明+能被10整除，只需證明+的末位數(shù)字為0，即證，三個數(shù)的末位數(shù)字和為10。證明：的末位數(shù)字顯然為1；=(1124)28，而1124的末位數(shù)字是6，所以的末位數(shù)字也是6；=(1134)28113，1134的末位數(shù)字是1，所以的末位數(shù)字是3；，三個數(shù)的末位數(shù)字和為1+6+3=10+能被10整除評注：本題是將證明被10整除轉(zhuǎn)化為求三數(shù)的末位數(shù)字和為10。解決數(shù)學問題時，常將未知的問題轉(zhuǎn)化為熟知的問題、復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，這是化歸思想。例6 設P (m)表示自然數(shù)m的末位數(shù)， 求的值。解：=+ = = 1995=10199

15、+5，又因為連續(xù)10個自然數(shù)的平方和的末位數(shù)都是5 =5+5=10 又=0 =10評注：本題用到了連續(xù)10個自然數(shù)的平方和的末位數(shù)都是5這個結(jié)論。例7 請找出6個不同的自然數(shù)，分別填入6個問號中，使這個等式成立。分析：分子為1分母為自然數(shù)的分數(shù)稱作單位分數(shù)或埃及分數(shù)，它在很多問題中經(jīng)常出現(xiàn)。解決這類問題的一個基本等式是：，它表明每一個埃及分數(shù)都可以寫成兩個埃及分數(shù)之和。解：首先，1=從這個式子出發(fā)，利用上面給出的基本等式，取n=2可得： 1=又利用上面給出的基本等式，取n=3可得： 1= 再利用上面給出的基本等式，取n=4可得： 1=最后再次利用上面給出的基本等式，取n=6可得： 1=即可找出

16、2，5，20，12，7，42六個自然數(shù)分別填入6個問號中，使等式成立。評注：1、因為問題要求填入的六個自然數(shù)要互不相同，所以每步取n時要適當考慮，如：最后一步就不能取n=5，因為n=5將產(chǎn)生，而已出現(xiàn)了。 2、本題的答案是不唯一的，如最后一步取n=12，就可得： 1=例8 如圖，在一個正方體的八個頂點處填上1到9這些數(shù)碼中的8個，每個頂點處只填一個數(shù)碼，使得每個面上的四個頂點處所填的數(shù)碼之和都相等，并且這個和數(shù)不能被那個未被填上的數(shù)碼整除。求所填入的8個數(shù)碼的平方和。解：設a是未填上的數(shù)碼，s是每個面上的四個頂點處所填的數(shù)碼之和，由于每個頂點都屬于3個面，所以6s=3(1+2+3+4+5+6+

17、7+8+9)-3a即6s=345-3a，于是2s=45-a，可以斷定a是奇數(shù)而a不整除s，所以a只能是7，則填入的8個數(shù)碼是1，2，3，4，5，6，8，9，它們的平方和是：12+22+32+42+52+62+82+92=236例9在右邊的加法算式中，每個表示一個數(shù)字，任意兩個數(shù)字都不同。試求A和B乘積的最大值。 +) A B分析：先通過運算的進位，將能確定的確定下來，再來分析求出A和B乘積的最大值。解：設算式為： a b c +) d e f g h A B 顯然，g=1，d=9，h=0 a+c+f=10+B，b+c=9+A, A62 (A+B)+19=2+3+4+5+6+7+8=35，A+B=8要想AB最大， A6，取A=5，B=3。此時b=6,e=8,a=2,c=4,f=7,故 AB的最大值為15.評注：本題是通過正整數(shù)的十進制的基本知識先確定g，d，h，然后再通過分析、觀察得出A、B的關(guān)系，最后求出AB的最大值。例10 在一種游戲中，魔術(shù)師請一個人隨意想一個三位數(shù)。并請這個人算出5個數(shù)、的和N，把N告訴魔術(shù)師，于是魔術(shù)師就能說出這個人所想的數(shù)?，F(xiàn)在設N=3194，請你做魔術(shù)師，求出數(shù)來。解：