電路方程的矩陣形式.ppt

1、第十五章 電路方程的矩陣形式 15-1 割集 前面討論了電路的分析方法：回路分析法、結(jié)點(diǎn)電壓法、建立方程 ，當(dāng)方程的個(gè)數(shù)少時(shí)，人工解可求出未知量，當(dāng)電路方程多，只有依靠計(jì)算機(jī)進(jìn)行了-電路的計(jì)算機(jī)輔助分析與設(shè)計(jì)。 就要求方程以矩陣的形式表示，怎樣建立這種以矩陣表示的方程呢？ 割集：連通圖G的一個(gè)割集是G的一個(gè)支路集合:1、當(dāng)移去割集時(shí)，G分成兩部分，2、若少一個(gè)，則圖G仍將是連通的。 例如：圖G的割集：Q1 Q2 Q3。Q7 Q1 ：a、d、f若移去a、d、f則節(jié)點(diǎn)（1）與c、b、e構(gòu)成兩部分，移去支路并不移去連接的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)。 但支路集合（a、d、e、f）和（a、b、c、d、e）則不是G 的割集

2、。 因?yàn)椋╝、d、e、f）若少移去一條支路，則G 仍分成兩部分，也即必須加兩條才變成連通的,第十五章 電路方程的矩陣形式,a,b,c,d,e,F,Q1,b,c,e,a,b,c,d,e,少移去一個(gè)仍連通,移去割集G分成兩部分,a,b,c,d,e,f,Q3,a,b,c,d,e,f,Q4,a,b,c,d,e,f,Q5,a,b,c,d,e,f,Q6,a,b,c,d,e,f,Q7,找割集的方法：用閉合曲面包某幾個(gè)結(jié)點(diǎn)（但不可全包），則切割的那些支路是一個(gè)割集。 獨(dú)立割集：方程數(shù)與割集數(shù)相等，因?yàn)镵CL方程適合于任何曲面。 一個(gè)包含若干個(gè)結(jié)點(diǎn)的曲面可列一個(gè)KCL方程，總共可列出與割集數(shù)相等的方程數(shù)，但這些

3、方程數(shù)并不一定是線性獨(dú)立的。 與線性獨(dú)立相對(duì)應(yīng)的那些割集稱為獨(dú)立割集， 借助樹確定獨(dú)立割集的方法,1）與樹對(duì)應(yīng)的連支集合不能構(gòu)成割 集： 因?yàn)橐迫ト窟B支，則剩下的是樹，而樹是連通的，不能分成兩個(gè)部分,T1,T2,G,bt,L1,L2,L3,2）基本割集：（又稱單樹支割集） 一條樹支+相應(yīng)的一些連支構(gòu)成支路集合,對(duì)于下圖中移去bt，則樹分成兩部分T1和T2，所以連支L1、L2、L3和樹支bt構(gòu)成割集。 對(duì)于n個(gè)結(jié)點(diǎn)，有n-1樹支，所以有（n-1）個(gè)基本割集，基本割集是獨(dú)立割集組。 對(duì)于n個(gè)結(jié)點(diǎn)，獨(dú)立割集數(shù)有（n-1）個(gè) 獨(dú)立割集組不唯一，因?yàn)檫x樹不唯一,例：選（2346）為樹，則基本割集組為Q

4、1 （21578）、Q2（3158）、Q3（415）、Q4（6578） 獨(dú)立割集數(shù)=樹支數(shù),1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,4,5,6,7,8,Q1,1,2,3,4,5,6,7,8,Q2,1,2,3,4,5,6,7,8,Q3,1,2,3,4,5,6,7,8,Q4,15-2 關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣 一、關(guān)聯(lián)矩陣及有關(guān)方程,3 i3,4 i4,5 i5,2 i2,6 i6,1 i1,相關(guān)聯(lián)：一條支路連接兩個(gè)結(jié)點(diǎn)，稱該支路與這兩個(gè)結(jié)點(diǎn)相關(guān)聯(lián) 關(guān)聯(lián)矩陣：Aa它的行-結(jié)點(diǎn) 列-支路 每個(gè)元素定義如下：ajk=+1表示支路K與結(jié)點(diǎn)j關(guān)聯(lián)且它的方向背離結(jié)點(diǎn)。 ajk=-1表示支路k與結(jié)點(diǎn)j

5、關(guān)聯(lián)且它的方向指向結(jié)點(diǎn)。 ajk=0表示支路k與結(jié)點(diǎn)j無關(guān)聯(lián)。 例：對(duì)于圖15-4所示的有向圖，它的關(guān)聯(lián)矩陣為,Aa,結(jié)點(diǎn),支路,關(guān)聯(lián)矩陣特點(diǎn)：1、每一列只有兩個(gè)非零元素+1或-1 2、n個(gè)不是獨(dú)立的 降階關(guān)聯(lián)矩陣：Aa的任一行劃去而剩下的元素構(gòu)成的矩陣 例：上面 劃去An第4行,A,此時(shí)，A中某一此列只有+1或-1，這列必與劃去的結(jié)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)一支路，相對(duì)應(yīng)。被劃去的行（結(jié)點(diǎn)），可當(dāng)作參考結(jié)點(diǎn),電路中b 個(gè)支路電流用b階列向量表示： 用A（n-1）b左乘ib1得（n-1）行的列向量,例：上面的A 則,1,3,u1,取-1,取+1,3 i3,4 i4,5 i5,2 i2,6 i6,1 i1,3,6

6、,5,1,1,3,6,2,2,6,4,5,3,1、連支放在前面 2、取連支方向?yàn)槔@向 3、將出現(xiàn)一個(gè)單位子矩陣,3 i3,4 i4,5 i5,2 i2,6 i6,1 i1,3,6,5,1,1,3,6,2,6,4,5,3,2,3 i3,4 i4,5 i5,2 i2,6 i6,1 i1,例,3,2 i2,1,Q1,4,5 i5,1 i1,Q2,4,2,6,1,Q3,獨(dú)立割集數(shù)=3，選一組割集如圖，則對(duì)應(yīng)的割集矩陣為,b,基本割集矩陣：選一組單樹支割集為一組獨(dú)立割集，用Qf表示 寫Qf時(shí)，把（n-1）樹支放在前n-1列，后寫連支，樹支方向?yàn)楦罴较颉tQf=ItQL 例：上例中選3、5、6為樹支，一

7、組單樹支割集見（b,因?yàn)閷儆谝粋€(gè)割集所有支路電流的代數(shù)和等于零，曲面包結(jié)點(diǎn)，流入出結(jié)點(diǎn)電流和為0 所以：Qi=0-Q矩陣表示的KCL方程,例：上例獨(dú)立割集（b）則,電路中（n-1）個(gè)樹支電壓，可用（n-1）階列向量表示，即： ut=（ut1 ut2。ut（n-1）T 因?yàn)檫x獨(dú)立割 集一般是選單樹支割集，所以樹支電壓又是獨(dú)立割集電壓。 因?yàn)镼反映了支路與割集的關(guān)聯(lián)情況，所以由矩陣相乘規(guī)則有： u=QfTut-Q矩陣形式表示的KvL方程 例：上例中若選3、5、6為樹支，則u=u3 u5 u6 u1 u2 u4,Uk,Ik,Iek,Zk(Yk,Isk,Usk,Usk獨(dú)立電壓源,Isk獨(dú)立電流源,例：

8、電路如圖15-9。用矩陣形式列出回路的回路電流方程,Is1,R1,jL4,jL3,1/jC5,Us2,R2,a,1,2,3,4,5,1,2,b,解；有向圖見b選取1、2、5為樹支，兩個(gè)單連支回路1、2見（b,15-5 結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式 由前面可知：u=ATun Ai=0 i-支路電流列向量 采用復(fù)合支路為：（僅增加了受控電流源，不允許受控電壓源） 1、當(dāng)支路中無受控電流源時(shí)，無電感耦合 IK=YKUek-Isk=YK(UK+Usk)-Isk 對(duì)整個(gè)電路有：I=Y（U+US）-IS Y-導(dǎo)納矩陣,Uk,Ik,Iek,Zk(Yk,Isk,Usk,Uek,Idk,2、當(dāng)無受控源，但有耦合時(shí)，

9、由前面的討論知：支路阻抗矩陣Z不再是對(duì)角陣，其主對(duì)角線元素為各支路阻抗，其余的為互感阻抗。若令Y=Z-1， 則由U=Z（I+IS）-US得 YU=I+IS-YUS 或I=Y（U+US）-IS與上式形式同，但Y不同。 3、含有受控源時(shí)：設(shè)第K支路含有受控源并受第j支路的電壓Uej 或電流Iej控制，如圖，Idk=gkjUej或Idk=kjIej,Uk,Ik,Iek,Zk(Yk,Isk,Usk,Uek,Idk,Uj,Ij,Iej,Zj(Yj,Isj,Usj,Uej,此時(shí)，第K支路有； Ik=Yk（UK+USK）+Idk-Isk 在VCCS情況下，上式Idk=gkj（Uj+Usj） 因?yàn)镮ej=Yj

10、Uej=Yj（Uj+Usj） 在CCCS情況下，上式Idk=kjYj（Uj+Usj,重點(diǎn)，必考,例：電路如圖15-12所示，圖中元件的數(shù)字下標(biāo)代表支路編號(hào)。列出電路的結(jié)點(diǎn)電壓方程（矩陣形式,3,1,6,2,5,4,R5,R3,C6,is4,R4,is3,L1,L2,解：有向圖（b），選4為參考結(jié)點(diǎn)，關(guān)聯(lián)矩陣,a,b,1,5,3,6,2,4,0,R2,R1,C3,is4,is1,us2,0,L5,L6,u1,id2,C4,id4,i6,us4,電流源向量：IS=IS1 0 0 -IS4 0 0T US=0 -US2 0 US4 0 0T 支路方程的矩陣形式為,G4,G2,G1,G3,_,_,g2

11、3u3,g31u1,u3,u1,is1,例：對(duì)于圖示電路，試寫出節(jié)點(diǎn)電壓的矩陣形式,1,3,2,15-6 割集電壓方程的矩陣形式 由前知 u=Qtfut 即支路電壓可用樹支電壓表示。但當(dāng)所選獨(dú)立割集不是基本割集組時(shí)（含一個(gè)樹支），這時(shí)割集電壓系指被割集劃分的兩部分結(jié)點(diǎn)之間的電壓，可理解為一種假想的電壓，像回路電流一樣，以割集電壓為獨(dú)立變量的分析法稱為割集電壓法。 前面已導(dǎo)出；KCL QfI=0 （1） KvL U=QTfUf (2) 支路方程：I=YU+YUs-Is （3） （3）代入（1） Qf（YU+YUs-Is）=0 （2）代入 QfYQfTUf+YUs-Is=0 QfYQfTUt=Qf

12、Is-QfYUs-割集電壓法方程 例：以運(yùn)算形式寫出圖15-14所示電路的割集電壓方程的矩陣形式，設(shè)L3、L4、C5的初始條件為零,jL3,Is1,R1,jL4,1/jC5,is2,R2,a,1,2,3,4,5,1,b,Q1,Q3,Q2,Ut1,Ut2,Ut3,解：有向圖（b）選1、2、3為樹支，3個(gè)單樹支割集如虛線示，樹支電壓Ut1、Ut2、Ut3也就是割集電壓，它們的方向也是割集的方向， 基本割集矩陣Qf為,j S,S(t=0,R,u（t,L,iL,C,uc,15-8 狀態(tài)方程,狀態(tài)變量：電路中一組獨(dú)立的動(dòng)態(tài)變量 例；以電容電壓為變量的微分方程,us,R1,uC,i2,i1,L1,L2,R2,is,2,I,II,對(duì)于復(fù)雜的電路用“特有樹”寫狀態(tài)方程： 特有樹：樹支-電壓源支路和電容支路，對(duì)單電容樹支割集寫KCL方程， 連支-電流源支路和電感支路，對(duì)單電感樹連支回路寫KVL方程，消除中間變量，寫成矩陣形式，得狀態(tài)方程。 例15-6列出圖15-19所示電路的狀態(tài)方程,0,C3,C4,C2,us1,R6,G5,is9,L8,L7,1,2,3,4,5,6,7,8,9