第13講和圓有關(guān)的角

1、第十三講 和圓有關(guān)的角【趣題引路】 1522年,德國(guó)人A.里澤出版了一本關(guān)于商業(yè)活動(dòng)中計(jì)算的數(shù)學(xué)書(shū),受到人們的普遍重視,他的知名度日益提高,但也有一些人不大服氣.一天,一位職業(yè)繪圖師利用自己的特長(zhǎng),向A里澤提出挑戰(zhàn):“看誰(shuí)在一分鐘的時(shí)間內(nèi)用直尺和圓規(guī)作出較多的直角”.A里澤微笑著接受了挑戰(zhàn).比賽開(kāi)始了,那位繪圖師首先在紙上畫(huà)下一條直線,然后用我們現(xiàn)在數(shù)學(xué)課上所用的作一條線段的垂直平分線的方法,熟練而又自如地交替使用直尺和圓規(guī)作出已知線段的垂線.顯然,只需作出一條垂線,就可以得到四個(gè)直角,看起來(lái),這位繪圖師已穩(wěn)操勝券.比賽結(jié)果A里澤贏了,你知道A里澤是怎樣贏的嗎?他作圖的依據(jù)又是什么? 解析 A

2、里澤是這樣作圖的,首先在一條直線上任取一點(diǎn)為圓心作出一個(gè)半圓,然后,在半圓上任意取點(diǎn),用直尺將其與直徑的兩端點(diǎn)相連即可得到一直角,(延長(zhǎng)后就是四個(gè)直角)他作圖的依據(jù)是“直徑所對(duì)的圓周角是直角”.毛【知識(shí)延伸】 與圓有關(guān)的角我們學(xué)習(xí)了圓心角、圓周角、弦切角以及它們的大小與它們所對(duì)（或夾）的弧的度數(shù)之間的關(guān)系.角的頂點(diǎn)和邊與圓位置關(guān)系在運(yùn)動(dòng)和變化過(guò)程中也可能形成另外的兩種角.如果角的頂點(diǎn)在圓內(nèi),則稱(chēng)這樣的角為圓內(nèi)角,如圖1中所示的AEB即為圓內(nèi)角.圓內(nèi)角的大小究竟與弧有何關(guān)系呢?延長(zhǎng)AE、BE分別交圓于C、D兩點(diǎn),再連結(jié)AD,則AEB=A+D.A的度數(shù)等于,D的度數(shù)等于,AEB的度數(shù)等于(+).即

3、圓內(nèi)角的度數(shù)等于它和它的對(duì)頂角所對(duì)的兩弧度數(shù)和的一半,其中圓心角是特殊的圓內(nèi)角. （1） (2) 如果角的頂點(diǎn)在圓外,且角的兩邊都與同一個(gè)圓相交,則稱(chēng)這樣的角為圓外角,如圖2所示,AEB即為圓外角,圓外角又有什么性質(zhì)呢?連結(jié)AD,則E=CAD-D,CAD的度數(shù)等于,D的度數(shù)等于,E的度數(shù)等于 (-).即圓外角的度數(shù)等于它所夾的兩弧度數(shù)的差的絕對(duì)值的一半. 圓心角、圓周角、弦切角、圓內(nèi)角和圓外角，弧是聯(lián)系它們的中介，即“由角看弧，由弧看角”是促使它們互相轉(zhuǎn)化的基本方法。 例1 在足球比賽場(chǎng)上,甲、乙兩名隊(duì)員互相配合,向?qū)Ψ角蜷T(mén)MN進(jìn)攻.當(dāng)甲帶球沖到點(diǎn)A時(shí),乙已隨后沖到點(diǎn)B如圖,此時(shí),甲是自己直接

4、射門(mén)好,還是迅速將球回傳給乙,讓乙射門(mén)好? 解析 在足球比賽場(chǎng)上,甲、乙兩名隊(duì)員的情況會(huì)很復(fù)雜,這里僅用數(shù)學(xué)方法從兩點(diǎn)的靜止?fàn)顟B(tài)加以考慮.過(guò)M、N以及A、B中的任一點(diǎn)作一圓,這里作出BMN.顯然,A在BMN外,A是圓外角,設(shè)MA交圓于C,則MANMCN=MBN. 因此,在點(diǎn)B射門(mén)為好.點(diǎn)評(píng) 如果兩個(gè)點(diǎn)到球門(mén)的距離相差不大,要確定較好的射門(mén)位置,關(guān)鍵看這兩個(gè)點(diǎn)各自對(duì)球門(mén)MN的張角的大小,當(dāng)張角越大時(shí),射中球門(mén)的機(jī)會(huì)就越大,這就是圓周角和圓外角在實(shí)際中的運(yùn)用. 例2 已知:如圖,ABC內(nèi)接于O,A=60,B=80,E是上一點(diǎn),F是的中點(diǎn),求BEF的度數(shù). 解析 C=AEB,C=180-(BAC+A

5、BC)=180-(60+80)=40, AEB=40. ,ABF=ABC=40. 又AEF=ABF=40. BEF=AEB+AEF=80.點(diǎn)評(píng) 若所求的角是與圓有關(guān)的角,如圓心角、圓周角、弦切角、內(nèi)接四邊形的內(nèi)角和外角，要設(shè)法利用相關(guān)的定理進(jìn)行計(jì)算，若所求的角與圓無(wú)關(guān)，要設(shè)法轉(zhuǎn)化為與圓有關(guān)的角去解決。【好題妙解】佳題新題品味 例1 已知,如圖,點(diǎn)A、B、C在O上,AOC=120,BAC=45,延長(zhǎng)AB到D,使AB:BD=1:2,連結(jié)DC. 求證:DC是O的切線. 解析 BAC=45, COB=90.設(shè)OB交AC于E,則EOA=EAO=OCA=30, OE=AE,CE=2OE. AE:CE=1:

6、2=AB:BD OBCD. OCD=90, DC是O的切線.點(diǎn)評(píng) 充分利用圓周角BAC=45與圓心角BOC=90之間的關(guān)系,證明四條線段成比例得OBCD從而解決問(wèn)題. 例2 如圖,設(shè)P為正三角形ABC外接圓O的劣弧上一點(diǎn),AP交BC于點(diǎn)D. 證明:PB、PC是方程x2-PAx+PAPD=0的兩個(gè)根. 證明 延長(zhǎng)BP,作等邊PEC,在APC和BFC中, AC=BC,CAP=CBF,PCA=FCB, APCBFC. PA=BF=BP+PF=BP+PC. BAP=PCD,APC=APB,ABP=CDP, ABPCDP. 有.PBPC=PAPD. PB、PC是方程x2-PAx+PAPD=0的兩個(gè)根.點(diǎn)

7、評(píng)利用圓中的全等三角形,相似三角形證明幾何命題,是最基石,最重要的一種方法,應(yīng)當(dāng)引起重視,本題證明PA=PC+PB時(shí)還可用托勒密定理證明.證明如下:四邊形ABPC是圓內(nèi)接四邊形,ABPC=ACPB=BCPA AB=BC=CA,PC+PB=PA得證.中考真題欣賞 例 (2003年黃岡市中考題)已知,如圖13-7,C為半圓上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C作直徑AB的垂線CP,P為垂足,弦AE分別交PC,CB于點(diǎn)D,F. (1)求證:AD=CD; (2)若DF=,tanECB=,求PB的長(zhǎng). 解析 (1)證明:連結(jié)AC, CEA=CAE,CEA=CBA, CBA=CAE,AB是直徑,ACB=90. CPAB,CBA=

8、ACP. CAE=ACP,AD=CD (2)解 ACB=90,CAE=ACP, DCF=CFD.AD=CD=DF=, ECB=DAP,tanECB=, tanDAP=,DP2+PA2=DA2, DP= ,PA=1,CD=2.又ACB=90,CPAB,APCCPB. ,PB=4.點(diǎn)評(píng) 充分利用與圓有關(guān)的角,直角三角形中互余的角,便能迅速解決問(wèn)題. 競(jìng)賽樣題展示 例1 (2001年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽“創(chuàng)新杯”廣西賽區(qū)試題)如圖,已知O的兩條半徑OA與OB互相垂直,C為優(yōu)弧上的點(diǎn),且BC2=AB2+OB2. 求OAC的度數(shù). 解析 設(shè)O的半徑為r,則AB=r,于是BC=r,以B為圓心, r為半徑作圓,

9、與O交于兩點(diǎn)C,C.連結(jié)BC,BC,AC,AC,延長(zhǎng)OB交O于點(diǎn)D.連結(jié)CD,則CD=r,即BD=2CD,CBD=30. ACB=AOB=45, OAC=180-ACB-ABC-BAO=180-45-75-45=15.OAC=OAC+CAC=OAC+CBC=15+60=75.綜上可得,OAC為15或75.點(diǎn)評(píng) 以B為圓心,BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓交O于C,C,C點(diǎn)的位置確定了,從而使條件與結(jié)論互相靠攏,為解題創(chuàng)造了條件.一般地,幾何圖形中有半徑或直徑這一條件,常添加輔助線,使其構(gòu)成直角三角形. 例2 (2002年江蘇省第17屆數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)如圖,O為ABC的外接圓,BAC=60,H為邊AC、AB上的高B

10、D,CE的交點(diǎn),在BD上取點(diǎn)M,使BM=CH. (1)求證:BOC=BHC; (2)求證:BOMCOH; (3)求證:MH:OH的值. 證明 (1)BAC=60,BOC=2BAC=120,BHC=DHE=360-(90+90+BAC)=120,BOC=BHC; (2)OB=OC,OBC=OCB. 又BOC=120,OBC=(180-120)=30. 而HBC=90-BCA,OBM=OBC-HBC=30-(90-BCA)=BCA-60.又OCH=HCB-BCO=HCB-(180-120)=HCB-30,但HCA=90-BAC=90-60=30, OCH=HCB+HCA-30-30=BCA-60,

11、 OBM=OCH. 又BM=CH,OB=OC,BOMCOH; (3)由(2)得OH=OM,且COH=BOM, 從而有OHM=OMH,MOH=BOC=120,OHM=(180-120)=30.在OMH中,作OPMH,P為垂足, 則OP=OH,由勾股定理,得(MH)2=OH2-OP2=OH2-()2 ; MH:OH=.點(diǎn)評(píng) 本題主要是通過(guò)對(duì)圓中角的靈活轉(zhuǎn)化來(lái)達(dá)到解題的目的.全能訓(xùn)練A卷1.如圖,O是AB、AC的垂直平分線的交點(diǎn),A=37.求OCB的度數(shù).2.O是ABC的外心,BOC=130,求A的度數(shù).3.如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于以AD為直徑的O,且AD=4cm,AB=BC=1cm,求CD的長(zhǎng).

12、4.如圖,ABC內(nèi)接于O,AHBC于H,求證:OA.AH=ABAC.5.如圖,ABC的頂點(diǎn)A、B在O上,O的半徑為R,O與AC交于點(diǎn)D,如果點(diǎn)D既是的中點(diǎn),又是AC的中點(diǎn). (1)求證:ABC是直角三角形.(2)求的值. 6.如圖13-14,ABC內(nèi)接于O,BC=4,SABC=6,B為銳角,且關(guān)于x的方程x2-4xcmB+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,D是劣弧上任一點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)A,C重合),DE平分ADC,交O于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F. (1)求B的度數(shù). (2)求CE的長(zhǎng); (3)求證:DA、DC的長(zhǎng)是方程y2-DEy+DEDF=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.A卷答案1.如圖,O是AB、AC的垂直平分線的交點(diǎn),

13、O為ABC的外接圓的圓心,作ABC的外接圓圓O,連OB,A=37,O=74,又OC=OB,OCB=OBC=(180-BOC)2=(180-74)2=53.2.如圖,分兩種情況進(jìn)行討論.(1)當(dāng)O在ABC內(nèi)部時(shí),A=BOC=130=65;(2)當(dāng)O在ABC外部時(shí),由BOC=130,得劣弧的度數(shù)為130,則的度數(shù)=360-130=230,A=115,A=65或115. 3.如圖,連結(jié)OB、AC,設(shè)OB交AC于點(diǎn)H,AB=BC,OBAC.設(shè)OH=x,則BH=2-x,在RtOAH中,AH2=OA2-OH2=22-x2=4-x2, 在RtHAB中,AH2=AB2-BH2=12-(2-x)2, 由、得4-

14、x2=1-(2-x)2,x= . OBAC,DCAC,OHCD.又OA=OD,CD=2OH=2=。4.延長(zhǎng)AO交O于M,連結(jié)BM.AM為O的直徑,ABM=90.又M=C,ABMACH, ,AB.AC=AM.AH. ，AM=2AO,OAOH= ABAC. 5.如圖,(1)作直徑DE,交O于E,交AB于F.D為的中點(diǎn),ABDE,AF=BF.AD=DC,DFBC,即ABBC,ABC為直角三角形.(2)連結(jié)AE,DE為O的直徑,DAE=90,而且ABDE,ADFEDA. ,AD2=DEDF.DE=2R,DF=BC, AD2=2RBC,AD2=RBC,=R.6.(1)關(guān)于x的方程x2-4xcosB+1=

15、0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,=(-4cosB)2-4=0,cosB=,或cosB=-(舍去),B為銳角,B=60;(2)如圖,過(guò)點(diǎn)A作AHBC,垂足為H,SABC=BCAH=BCABsin60= 6,即4AB=6 , AB=6,在RtABH中,BH=ABcos60=6=3,AH=ABcos60=6=3，CH=BC-BH=4-3=1.在RtACH中,AC2=AH2+CH2=27+1=28,AC=2 (負(fù)值舍去)AC=2,連結(jié)AE,在圓內(nèi)接四邊形ABCD中,B+ADC=180,ADC=120.DE平分ADC,EDC=60=EAC.AEC=B=60,AEC=EAC,CE=AC=2。(3)在EDA與CDF中

16、,AED=FCD,EDA=EDC=90,EDACDF,即DADC=DEDF.延長(zhǎng)CD到G,使DG=DA,連結(jié)AG,ADG=B=60,G=GAD=60.ADE=G,AED=ACG.AE=AC,EDACAG,ED=CG=GD+DC=CD+DA,DA、DC的長(zhǎng)是方程y2-DEy+DEDF=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.B卷1.如圖,在ABC中,已知AB為O的直徑,AB、CD交于點(diǎn)P,P是OB的中點(diǎn),求tanCtanD的值.2.如圖,已知AB是O的弦,在AB的兩方延長(zhǎng)線上各取一點(diǎn)C,D,使AC=BC,自C、D各向O作切線CE,DF,使它們分別在AB兩側(cè)(E、F為切點(diǎn)).求證:兩切點(diǎn)E、F的連線必平分AB.3.如圖,

17、由ABC的頂點(diǎn)A作高AD,以垂足D為圓心,AD長(zhǎng)為半徑作圓,分別交AB、AC于E、F,若AE=2,AF=3,AB=5.求AC的長(zhǎng).4.如圖,在半徑為1的O中,PE是直徑, ,點(diǎn)A在BP的延長(zhǎng)線上,CDAB,垂足為D,且AC.CE=PE.CD.(1)判斷點(diǎn)P是否為線段AB的中點(diǎn),并證明你的結(jié)論; (2)如果點(diǎn)B是半圓上的動(dòng)點(diǎn)(不與定點(diǎn)C和F重合),設(shè)PB=x,AC=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式,寫(xiě)出自變量x的取值范圍.5.如圖,已知M是O的半徑OA的中點(diǎn),MBOA交O于點(diǎn)B,弦ACOB于N點(diǎn),交BM于點(diǎn)D,連結(jié)DO并延長(zhǎng)交O于點(diǎn)F. (1)求CFD的度數(shù);(2)若O的半徑為cm,求CD和CF的長(zhǎng).6

18、.設(shè)P、Q為線段BC上兩定點(diǎn),且BP=CQ,A為BC外一點(diǎn),如圖,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到使BAP=CAQ時(shí)ABC是什么三角形?試證明你的結(jié)論. B卷答案1.連結(jié)BC,BD.AB是O的直徑,ACB=ADB=90, ACD=ABD,ADC=ABC,tanCtanD=tanABDtanABC= ,作AECD于E,作BFCD于F,則AECADB,ACAD=AEAB.同理,BDBC=BFAB.tanCtanD= ,APEBPF,P為半徑OB的中點(diǎn),=3 ,tanCtanD=3.2.如圖,過(guò)D作DGCE交EF于G,連結(jié)CG,DE.DGCE,TEM=DGF,又TEM=DFG,DGF=DFG,DG=DF. 又DF2=DBDA,DG2=DBD