山東省威海市2020屆高三數(shù)學三模試題含解析

1、山東省威海市2020屆高三數(shù)學三模試題（含解析）一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.已知集合，則（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】集合是的取值范圍，是函數(shù)的值域，分別求出再求交集.【詳解】解：，故選：a【點睛】考查求等式中變量的范圍以及集合的交集運算；基礎(chǔ)題.2.已知復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在直線上，則實數(shù)（ ）a. -2b. -1c. 1d. 2【答案】c【解析】【分析】化簡復數(shù)，求出對應點，代入直線方程求解即可.【詳解】因為，所以對應的點為，代入直線可得，解得，故選：c【點睛】本題考查了復數(shù)的運算法則

2、、幾何意義，直線的方程，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.3.若（且），則（ ）a. ，b. ，c. ，d. ，【答案】b【解析】【分析】先由得，又由，可得，而，可得【詳解】解：因為，所以，因為，所以，因為，所以，故選：b【點睛】此題考查的是指數(shù)不等式和對數(shù)不等式，屬于基礎(chǔ)題4.我國天文學和數(shù)學著作周髀算經(jīng)中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣的晷長損益相同（晷是按照日影測定時刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度）二十四節(jié)氣及晷長變化如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加的量相同，周而復始已知每年冬至的晷長為一丈三尺五寸，夏至的晷長為一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），則說法不正確的是（ ）

3、a. 相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加的量為一尺b. 春分和秋分兩個節(jié)氣的晷長相同c. 立冬的晷長為一丈五寸d. 立春的晷長比立秋的晷長短【答案】d【解析】【分析】由題意可知夏至到冬至的晷長構(gòu)成等差數(shù)列，其中寸，寸，公差為寸，可求出，利用等差數(shù)列知識即可判斷各選項.【詳解】由題意可知夏至到冬至的晷長構(gòu)成等差數(shù)列,其中寸，寸，公差為寸，則，解得（寸），同理可知由冬至到夏至的晷長構(gòu)成等差數(shù)列,首項，末項，公差（單位都為寸）.故選項a正確；春分的晷長為，秋分的晷長為，所以b正確；立冬的晷長為，即立冬的晷長為一丈五寸，c正確；立春的晷長，立秋的晷長分別為，故d錯誤.故選：d【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通

4、項公式，等差數(shù)列在實際問題中的應用，數(shù)學文化，屬于中檔題.5.有三個筐，一個裝著柑子，一個裝著蘋果，一個裝著柑子和蘋果，包裝封好然后做“柑子”“蘋果”“混裝”三個標簽，分別貼到上述三個筐上，由于馬虎，結(jié)果全貼錯了，則（ ）a. 從貼有“柑子”標簽的筐里拿出一個水果，就能糾正所有的標簽b. 從貼有“蘋果”標簽的筐里拿出一個水果，就能糾正所有的標簽c. 從貼有“混裝”標簽的筐里拿出一個水果，就能糾正所有的標簽d. 從其中一個筐里拿出一個水果，不可能糾正所有的標簽【答案】c【解析】【分析】若從貼有“柑子”或“蘋果”標簽的筐內(nèi)拿出一個水果，無法判定剩余水果是一種還是兩種，不能糾正所有標簽，若從“混裝”

5、標簽中取出一個，就能判斷其余兩個筐內(nèi)水果.【詳解】如果從貼著蘋果標簽的筐中拿出一個水果，如果拿的是柑子，就無法判斷這筐裝的全是柑子，還是有蘋果和柑子;同理從貼著柑子的筐中取出也無法判斷，因此應從貼著蘋果和柑子的標簽的筐中取出水果.分兩種情況:(1)如果取出的是柑子，那說明這筐全是柑子，則貼有柑子的那筐就是蘋果，貼有蘋果的那筐就是蘋果和柑子.(2)如果取出的是蘋果，那說明這筐全是蘋果，那貼有蘋果的那筐就是柑子，貼有柑子的那筐就是蘋果和柑子.故選：c【點睛】解決本題的關(guān)鍵在于，其中貼有混裝的這筐肯定不是蘋果和柑子混在一起，所以能判斷不是蘋果就是柑子，考查了邏輯推理能力，屬于容易題.6.已知向量，將

6、繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)到的位置，則（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】設(shè)向量與軸的夾角為，結(jié)合三角函數(shù)的定義和兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，求得，得到點的坐標，進而求得.【詳解】由題意，向量，則，設(shè)向量與軸的夾角為，則，所以，可得，所以.故選：d.【點睛】本題主要考查了向量的坐標表示，以及三角函數(shù)的定義的應用和兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)的綜合應用，著重考查推理與運算能力.7.已知函數(shù)對任意，都有，且，則（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】利用賦值法再結(jié)合條件，即可得答案；【詳解】由所求式子可得，令可得：，令可得：，令可得：，令可得：，故選：b.【點睛】本題考

7、查根據(jù)抽象函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的解析式，等比數(shù)列求和，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意將抽象函數(shù)具體化.8.已知正四棱柱，設(shè)直線與平面所成的角為，直線與直線所成的角為，則（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】分別在正四棱柱中找到和，將和放在同一個平面圖形中找關(guān)系即可.【詳解】作正四棱柱如下圖：正四棱柱中，平面， 底面是正方形又平面是直線與平面所成的角，即是直線與直線所成的角，即，平面故選：d【點睛】本題主要考查直線與平面和異面直線的夾角，屬于中檔題.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項中，有多項符合題

8、目要求全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分9.隨著我國經(jīng)濟結(jié)構(gòu)調(diào)整和方式轉(zhuǎn)變，社會對高質(zhì)量人才的需求越來越大，因此考研現(xiàn)象在我國不斷升溫某大學一學院甲、乙兩個本科專業(yè)，研究生的報考和錄取情況如下表，則性別甲專業(yè)報考人數(shù)乙專業(yè)報考人數(shù)性別甲專業(yè)錄取率乙專業(yè)錄取率男100400男女300100女a(chǎn). 甲專業(yè)比乙專業(yè)的錄取率高b. 乙專業(yè)比甲專業(yè)的錄取率高c. 男生比女生的錄取率高d. 女生比男生的錄取率高【答案】bc【解析】【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)進行整合，甲專業(yè)錄取了男生25人，女生90人；乙專業(yè)錄取了男生180人，女生50人；結(jié)合選項可得結(jié)果.【詳解】由題意可得甲專業(yè)錄取了男生25人，女生9

9、0人；乙專業(yè)錄取了男生180人，女生50人；甲專業(yè)的錄取率為，乙專業(yè)的錄取率為，所以乙專業(yè)比甲專業(yè)的錄取率高.男生的錄取率為，女生的錄取率為，所以男生比女生的錄取率高.故選：bc.【點睛】本題主要考查頻數(shù)分布表的理解，題目較為簡單，明確錄取率的計算方式是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).10.已知函數(shù)將的圖象上所有點向左平移個單位，然后縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的，得到函數(shù)的圖象若為偶函數(shù)，且最小正周期為，則（ ）a. 圖象與對稱b. 在單調(diào)遞增c. 在有且僅有3個解d. 在有僅有3個極大值點【答案】ac【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換和三角函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)的解析式，再結(jié)合三

10、角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項判定，即可求解.【詳解】將函數(shù)將的圖象上所有點向左平移個單位，可得，再橫坐標縮短為原來的，可得，因為函數(shù)的最小正周期為，即，解得，可得，又由函數(shù)為偶函數(shù)，則，即，當，可得，所以，令，即，當時，即函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，所以a是正確的；當時，所以函數(shù)在區(qū)間不是單調(diào)函數(shù)，所以b不正確；由，因為，可得，又，所以在有且僅有3個解，所以c正確；由，則，或，即或時，取得極大值，所以在有僅有2個極大值點，所以d不正確.故選：ac.【點睛】本題主要考查了利用三角函數(shù)的圖象變換求解函數(shù)的解析式，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應用，著重考查推理與運算能力，屬于中檔試題.11.已知拋物線上三點，

11、為拋物線的焦點，則（ ）a. 拋物線的準線方程為b. ，則，成等差數(shù)列c. 若，三點共線，則d. 若，則的中點到軸距離的最小值為2【答案】abd【解析】【分析】把點代入拋物線即可得到本題答案；根據(jù)拋物線的定義，以及，可得，從而可證得；由a，f，c三點共線，得，結(jié)合，化簡即可得到本題答案；設(shè)ac的中點為，由，結(jié)合，即可得到本題答案.【詳解】把點代入拋物線，得，所以拋物線的準線方程為，故a正確；因為，所以，又由，得，所以，即，成等差數(shù)列，故b正確；因為a，f，c三點共線，所以直線斜率，即，所以，化簡得，故c不正確；設(shè)ac的中點為，因為，所以，得，即的中點到軸距離的最小值為2，故d正確.故選：abd

12、【點睛】本題主要考查拋物線定義的應用以及拋物線與直線的相關(guān)問題，考查學生的分析問題能力和轉(zhuǎn)化能力.12.已知函數(shù)的定義域為，導函數(shù)為，且，則（ ）a. b. 在處取得極大值c. d. 在單調(diào)遞增【答案】acd【解析】【分析】根據(jù)題意可設(shè)，根據(jù)求，再求判斷單調(diào)性求極值即可.【詳解】函數(shù)的定義域為，導函數(shù)為，即滿足可設(shè)（為常數(shù)），解得，滿足c正確，且僅有b錯誤，a、d正確故選：acd【點睛】本題主要考查函數(shù)的概念和性質(zhì)，以及利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值點，屬于中檔題.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13.的展開式中的系數(shù)為_【答案】【解析】【分析】把按照二項式定理展開，可得的展開

13、式中的系數(shù)【詳解】，故它的展開式中的系數(shù)為，故答案為：【點睛】本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題14.已知是平面，外的直線，給出下列三個論斷，；以其中兩個論斷為條件，余下的論斷為結(jié)論，寫出一個正確命題：_（用序號表示）【答案】若，則或若，則（填寫一個即可）；【解析】【分析】利用空間直線與平面的位置關(guān)系進行判斷，時，與可能平行或者相交.【詳解】因為，時，與可能平行或者相交，所以作為條件，不能得出；因為，所以內(nèi)存在一條直線與平行，又，所以，所以可得，即作為條件，可以得出；因為，所以或者，因為是平面外的直線，所以，即即作為條件，可以得出；故答案為：若，則

14、或若，則（填寫一個即可）；【點睛】本題主要考查空間位置關(guān)系的判斷，稍微具有開放性，熟悉空間的相關(guān)定理及模型是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查直觀想象的核心素養(yǎng).15.已知雙曲線過左焦點且垂直于軸的直線與雙曲線交于，兩點，以，為圓心的兩圓與雙曲線的同一條漸近線相切，若兩圓的半徑之和為，則雙曲線的離心率為_【答案】【解析】【分析】首先求兩點的坐標，代人圓心到直線的距離，由已知條件建立等式求得，最后再求雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)，當，代人雙曲線方程，解得：，設(shè)， 根據(jù)對稱性，可設(shè)與兩圓相切的漸近線是，則兩點到漸近線的距離，上式去掉絕對值為，即，那么.雙曲線的離心率.故答案為：【點睛】本題考查雙曲線的離心率，重點

15、考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，計算能力，屬于基礎(chǔ)題型.16.我國的西氣東輸工程把西部的資源優(yōu)勢變?yōu)榻?jīng)濟優(yōu)勢，實現(xiàn)了氣能源需求與供給的東西部銜接，工程建設(shè)也加快了西部及沿線地區(qū)的經(jīng)濟發(fā)展輸氣管道工程建設(shè)中，某段管道鋪設(shè)要經(jīng)過一處峽谷，峽谷內(nèi)恰好有一處直角拐角，水平橫向移動輸氣管經(jīng)過此拐角，從寬為米峽谷拐入寬為米的峽谷如圖所示，位于峽谷懸崖壁上兩點、的連線恰好經(jīng)過拐角內(nèi)側(cè)頂點（點、在同一水平面內(nèi)），設(shè)與較寬側(cè)峽谷懸崖壁所成角為，則的長為_（用表示）米要使輸氣管順利通過拐角，其長度不能低于_米【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】分別計算出、，相加可得的長；設(shè)，利用導數(shù)求得的最小值，即可得解.【詳解

16、】如下圖所示，過點分別作，則，在中，則，同理可得，所以，.令，則，令，得，得，由，解得，當時，；當時，.則.故答案為：；.【點睛】本題考查導數(shù)的實際應用，求得函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于中等題.四、解答題：本大題共6小題，共70分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟17.在中，角，的對邊分別為，（）求角；（）若，求邊上的高【答案】（）；（）【解析】【分析】（）利用正弦定理和和角的正弦公式化簡，即得；（）由題得，再利用余弦定理求出，即得邊上的高【詳解】解：（）由及正弦定理可得，將代入上式，整理得，解得，所以（）由，得，由余弦定理得，解得所以邊上的高為【點睛】本題主要考查正弦定理

17、余弦定理解三角形，考查和角的正弦公式的應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.18.從條件，中任選一個，補充到下面問題中，并給出解答已知數(shù)列的前項和為，_若，成等比數(shù)列，求的值【答案】若選擇，；若選擇，；若選擇，.【解析】【分析】若選擇，利用可得，可得，再根據(jù)等比中項列方程解得即可；若選擇，根據(jù)可得，可得，再根據(jù)等比中項列方程解得即可；若選擇，利用可得，再根據(jù)等比中項列方程解得即可.【詳解】若選擇，因為，所以，兩式相減得，整理得即，所以為常數(shù)列，所以（或由，利用相乘相消法，求得）所以，又，成等比數(shù)列，所以，所以，解得或（舍），所以若選擇，由變形得，所以，易知，所以，所以為等差數(shù)列，又，所以

18、，又時，也滿足上式，所以.因為，成等比數(shù)列，或，又，若選擇，因為，所以，兩式相減得，整理得，因為，所以是等差數(shù)列，所以，又，成等比數(shù)列，或，又，【點睛】本題考查了根據(jù)與的關(guān)系式求，考查了等比中項的應用，考查了等差數(shù)列的前項和公式，屬于中檔題.19.攜號轉(zhuǎn)網(wǎng)，也稱作號碼攜帶、移機不改號，即無需改變自己的手機號碼，就能轉(zhuǎn)換運營商，并享受其提供的各種服務2019年11月27日，工信部宣布攜號轉(zhuǎn)網(wǎng)在全國范圍正式啟動某運營商為提質(zhì)量?？蛻?，從運營系統(tǒng)中選出300名客戶，對業(yè)務水平和服務水平的評價進行統(tǒng)計，其中業(yè)務水平的滿意率為，服務水平的滿意率為，對業(yè)務水平和服務水平都滿意的客戶有180人（）完成下面列

19、聯(lián)表，并分析是否有的把握認為業(yè)務水平與服務水平有關(guān)；對服務水平滿意人數(shù)對服務水平不滿意人數(shù)合計對業(yè)務水平滿意人數(shù)對業(yè)務水平不滿意人數(shù)合計（）為進一步提高服務質(zhì)量，在選出的對服務水平不滿意的客戶中，抽取2名征求改進意見，用表示對業(yè)務水平不滿意的人數(shù)，求的分布列與期望；（）若用頻率代替概率，假定在業(yè)務服務協(xié)議終止時，對業(yè)務水平和服務水平兩項都滿意的客戶流失率為，只對其中一項不滿意的客戶流失率為，對兩項都不滿意的客戶流失率為，從該運營系統(tǒng)中任選4名客戶，則在業(yè)務服務協(xié)議終止時至少有2名客戶流失的概率為多少？附：，0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246

20、.6357.87910.828【答案】（）列聯(lián)表詳見解析，有的把握認為業(yè)務水平滿意與服務水平滿意有關(guān)；（）分布列詳見解析，期望為；（）【解析】【分析】（）根據(jù)所給數(shù)據(jù)列表，計算后比較臨界值即可得出結(jié)論；（）根據(jù)超幾何分布得出隨機變量概率，列出分布列求期望即可；（）由互斥事件和的概率公式計算運營系統(tǒng)中任選一名客戶流失的概率，從運營系統(tǒng)中任選4名客戶流失人數(shù)服從二項分布 ,根據(jù)二項分布求解即可.【詳解】（）由題意知對業(yè)務滿意的有260人，對服務不滿意的有100人，得列聯(lián)表對服務水平滿意人數(shù)對服務水平不滿意人數(shù)合計對業(yè)務水平滿意人數(shù)18080260對業(yè)務水平不滿意人數(shù)202040合計20010030

21、0經(jīng)計算得，所以有的把握認為業(yè)務水平滿意與服務水平滿意有關(guān)（）的可能值為0，1，2則，012（）在業(yè)務服務協(xié)議終止時，對業(yè)務水平和服務水平都滿意的客戶流失的概率為，只有一項滿意的客戶流失的概率為，對二者都不滿意的客戶流失的概率為所以從運營系統(tǒng)中任選一名客戶流失的概率為，故在業(yè)務服務協(xié)議終止時，從運營系統(tǒng)中任選4名客戶，至少有2名客戶流失概率為【點睛】本題主要考查了獨立性檢驗，離散型隨機變量的分布列與期望，互斥事件的和，二項分布，考查了推理能力與運算能力，屬于較難題目.20.已知直三棱柱，分別為，的中點，且（1）求證：平面；（2）求；（3）求二面角的余弦值【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）【

22、解析】【分析】（1）取的中點，連接，先證明，從而可得為平行四邊形，進而可得，再結(jié)合線面平行的判定定理可證明平面；（2）設(shè)，易知，且，進而用表示出，并結(jié)合，可求出及；（3）在平面內(nèi)過點做射線垂直于，易知，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，進而分別求得平面及平面的法向量，再由，可求出二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：取的中點，連接，則有，且，且，又，所以，且，所以為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面（2）設(shè)，由已知可得，且，則，因為，所以，所以，即（3）在平面內(nèi)過點做射線垂直于，易知，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，為平面的一個法向量，設(shè)為平面的一個法向量，則，令，則，則，所以二面角的余弦值為【點睛】本題考查線面平行的證明，考查線線垂直的性質(zhì)，考查二面角的求法，考查學生的空間想象能力與計算求解能力，屬于中檔題.21.已知函數(shù)（）求證：當時，的圖象位于直線上方；（）設(shè)函數(shù)，若曲線在點處切線與軸平行，且在點處的切線與直線平行（為坐標原點），求證：【答案】（）證明見解析；（）證明見解析【解析】【分析】（）轉(zhuǎn)化為當時，恒成立，令，求得和，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，求得，進入得到，即可得到