可化為一元二次方程的分式方程

1、.可化為一元二次方程的分式方程通江中心校 劉俁辛一、重點(diǎn)、難點(diǎn) 1、會用去分母的方法解分式方程。 2、會用換元法解分方式方程。 3、正確理解增根的意義，會排除方程的增根。二、考點(diǎn) 1、掌握可化為一元二次方程的分式方程的解法。 2、掌握用換元法解某些可化為一元二次方程的分式方程。 3、掌握列分式方程解應(yīng)用題的一般方法和步驟。三、例題分析第一階段 例1、解下列分式方程： 思路分析：以上兩方程都可用去分母的方法化為整式方程，但在去分母的過程中可能產(chǎn)生增根，解得整式方程的解后一定要檢驗(yàn)，以確定所得的根是否是分式方程的根。解：（1）方程兩邊同乘以(1-x) (1+x),去分母 (1-x)+(1-x)(1

2、+x)=2(1+x)整理得x2+3x=0x1=0, x2= -3檢驗(yàn) 把x=0代入(1-x)(1+x)0 把x= -3代入(1-x)(1+x)0x1=0, x2= -3是原方程的解。 方程兩邊同乘以(1+x)(x+2)(x-2)得(2x-5)(x-2)+4(x+1)=(x+2)(x+1)整理得 x2-8x+12=0解方程x1=2,x2=6檢驗(yàn)：把x=2代入(x+1)(x+2)(x-2)=0,x=2是增根，舍去把x=6代入(x+1)(x+2)(x-2)0原方程的根是x=6 點(diǎn)評：分式方程根的情況較復(fù)雜，它是由化簡后的整式方程根的情況及驗(yàn)根后的結(jié)果來決定的。例2、解下列方程 思路分析：第（1 ）題

3、用去分母法，將方程兩邊同時(shí)乘以最簡公分母(x+1)(x-1),就可轉(zhuǎn)化為整式方程。第（2）題若用去分母法，轉(zhuǎn)化成的整式方程次數(shù)較高，不適合?？砂言匠套冃螢?，此時(shí)若設(shè)即可把原方程變?yōu)橐粋€(gè)關(guān)于y的整式方程。 解：（1）方程兩邊同乘以(x+1)(x-1),得2+x-1=x2-1,整理得 x2-x-2=0,解這個(gè)方程得 x1=2, x2= -1.經(jīng)檢驗(yàn)：x= -1是增根，故舍去，x=2是原方程的根。原方程的根是x=2.(2)原方程的變形為 解這個(gè)方程，得 解得x3=x4=1. 例3、解方程 思路分析：此題可用換元法解，把(x2+x)看作一個(gè)整體，可以設(shè)y=x2+x,原方程變?yōu)?；若把x2+x+1看作是

4、一個(gè)整體，可設(shè)y=x2+x+1，則x2+x=y-1，原方程就變?yōu)榻忸}時(shí)，也可以不設(shè)鋪助未知數(shù)y，直接把x2+x或x2+x+1看成一個(gè)整體進(jìn)行變形，其思維方法仍屬于換元法。 解：設(shè)x2+x=y，則原方程變?yōu)椋?去分母，整理后，得：y2+y-6=0解這個(gè)方程得：y1= -3. y2=2.當(dāng)y= -3時(shí)，x2+x= -3,0，無解。當(dāng)y=2時(shí)，x2+x=2。解得：x1= -2, x2=1.經(jīng)檢驗(yàn)：x1= -2, x2=1都是原方程的根。原方程的根為x1= -2, x2=1。第二階段 例4、 的根，代入即可求出a. 解：方程兩邊同乘以(x+2)(x-2)，得a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0

5、 把x=2代入所得方程，得 4a+1+0=0. 例5、解方程思路分析：此方程若直接通分，將會出現(xiàn)高次方程，可采用方程兩邊各分別通分的方法。 解： 例6、解下列各分式方程； 思路分析：解上述方程宜采用換元法，但在換元前要作適當(dāng)?shù)淖冃翁幚怼?設(shè)：x2+5=y, y1=6, y2=1 當(dāng)y=6時(shí)，x2+5=6 解方程得x1=1, x2= -1 當(dāng)y=1時(shí)，x2+5=1方程無實(shí)根（舍去） 經(jīng)檢驗(yàn)：x1=1, x2= -1都是原方程的根。 經(jīng)整理得 2y2-7y+6=0 原方程化為：12(y2-2)-56y+89=0 整理12y2-56y+65=0 都是原方程的解。第三階段 例7、甲、乙兩人共同做一件工

6、作，規(guī)定若干天完成，若甲單獨(dú)完成這件工作，則比規(guī)定天數(shù)多做12天；若乙單獨(dú)完成這件工作，則比規(guī)定天數(shù)多做27天，求甲、乙單獨(dú)完成這件工作各需多少天？ 思路分析：本題不要直接去設(shè)甲或乙單獨(dú)需x天完成，應(yīng)該設(shè)甲、乙共同完成需x天，即規(guī)定日期為x天，那么甲單獨(dú)做需（x+12）天完成，乙單獨(dú)做需（x+27）天完成，我們可根據(jù)他們的工作效率為等量關(guān)系，列出方程。 解：設(shè)甲乙兩人共同做這件工作需x天完成，則甲單獨(dú)做需（x+12）天完成，乙單獨(dú)做需（x+27）天完成。 根據(jù)題意，得 去分母，得x2+27x+x2+12x=x2+39x+324 整理得 x2=324 解得x1=18, x2= -18 經(jīng)檢驗(yàn)：x

7、1=18,x2= -18均為原方程的根，但x= -18不合題意，應(yīng)當(dāng)舍去。 X+12=18+12=30. X+27=18+27=45 答：甲單獨(dú)做需30天完成，乙單獨(dú)做需45天完成。 點(diǎn)評：列方程解應(yīng)用題在設(shè)未知數(shù)這一環(huán)節(jié)上應(yīng)多考慮一下，有時(shí)間接設(shè)未知數(shù)很容易弄清等量關(guān)系，列方程也就簡單多了。 例8、甲、乙兩艘旅游客輪同時(shí)從臺灣省某港出發(fā)來廈門，甲沿直線航行180海里到達(dá)廈門；乙沿原來航線繞道香港后來廈門，共航行了720海里，結(jié)果乙比甲晚20小時(shí)到達(dá)廈門，已知乙速比甲速每小時(shí)快6海里，求甲客輪的速度（其中兩客輪速度都大于16海里/小時(shí)） 思路分析：列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找相等關(guān)系，這道題可以把“結(jié)果乙比甲晚20小時(shí)到達(dá)廈門”作為相等關(guān)系，即甲輪所用時(shí)間+20小時(shí)=乙輪所用時(shí)間而甲輪航行的路程已知（180海里）。故可設(shè)甲輪的速度為x海里/小時(shí)，則甲輪所用時(shí)間為小時(shí)，乙輪航行的路程已知（720海里），速度為（x+6）海里/小時(shí)，故乙輪所用時(shí)間為小時(shí)，用這些量表示等量關(guān)系，即得方程為