高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 4.4 函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像及應(yīng)用 理 北師大版

1、4.4函數(shù)y=Asin(x+)的 圖像及應(yīng)用,考綱要求:1.了解函數(shù)y=Asin(x+)的物理意義;能畫出y=Asin(x+)的圖像,了解參數(shù)A,對(duì)函數(shù)圖像變化的影響.2.會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問題,體會(huì)三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型,1.“五點(diǎn)法”作三角函數(shù)圖像的五點(diǎn) 作圖的五點(diǎn)是三角函數(shù)圖像在一個(gè)周期內(nèi)的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)及與x軸的三個(gè)交點(diǎn). 2.作函數(shù)y=Asin(x+)(A0,0)的簡(jiǎn)圖的步驟 (1)定點(diǎn):如下表所示. (2)作圖:在坐標(biāo)系中描出這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),用平滑的曲線順次連接得到y(tǒng)=Asin(x+)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像. (3)擴(kuò)展:將所得圖像,按周期向兩側(cè)擴(kuò)展可得y=A

2、sin(x+)在R上的圖像,3.由y=sin x的圖像得y=Asin(x+)(A0,0)的圖像的兩種方法,4.函數(shù)y=Asin(x+)的物理意義 當(dāng)函數(shù)y=Asin(x+)(A0,0),x0,+)表示某一個(gè)振動(dòng)時(shí),A叫做振幅, 叫做周期, 叫做頻率,x+叫做相位,叫做初相,2,3,4,1,5,2,3,4,1,5,答案,解析,2,3,4,1,5,3.若函數(shù)y=cos (N+)的一個(gè)對(duì)稱中心是 ,則的最小值為() A.1B.2C.4D.8,答案,解析,2,3,4,1,5,4.將函數(shù)y=8sin x的圖像上所有的點(diǎn)向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的4倍(縱坐標(biāo)不變),所得圖像的函

3、數(shù)解析式是,答案,解析,2,3,4,1,5,5.若將函數(shù)f(x)=sin 的圖像向右平移個(gè)單位,所得圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,則的最小正值是,答案,解析,2,3,4,1,5,自測(cè)點(diǎn)評(píng) 1.利用圖像變換由y=sin x的圖像作y=Asin(x+)(A0,0)(xR)的圖像,若先平移后伸縮,平移的量是|個(gè)單位,而先伸縮再平移,平移的量是 個(gè)單位. 2.三角函數(shù)圖像的對(duì)稱中心就是圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo),若函數(shù)f(x)=Asin(x+)的對(duì)稱中心為(x0,0),則有f(x0)=0. 3.有關(guān)三角函數(shù)性質(zhì)的題目,要將三角函數(shù)化為y=Asin(x+)的形式,最大值、最小值與A的符號(hào)有關(guān).y=Asin(x+)的圖像的

4、兩個(gè)相鄰對(duì)稱軸間的距離是半個(gè)周期. 4.函數(shù)y=Asin(x+)的圖像橫向伸長(zhǎng),周期變大,x的系數(shù)變小;橫向縮短,周期變小,x的系數(shù)變大,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1函數(shù)y=Asin(x+)的圖像及變換 例1(2015湖北,理17)某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f(x)=Asin(x+) 在某一個(gè)周期內(nèi)的圖像時(shí),列表并填入部分?jǐn)?shù)據(jù),如下表,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,思考:作函數(shù)y=Asin(x+)(A0,0)的圖像有哪些方法? 解題心得:1.函數(shù)y=Asin(x+)(A0,

5、0)的圖像的兩種作法: (1)五點(diǎn)法:用“五點(diǎn)法”作y=Asin(x+)的簡(jiǎn)圖,主要是通過變量代換,設(shè)z=x+,由z取 2來求出相應(yīng)的x,通過列表,計(jì)算得出五點(diǎn)坐標(biāo),描點(diǎn)后得出圖像. (2)圖像變換法:由函數(shù)y=sin x的圖像通過變換得到y(tǒng)=Asin(x+)的圖像,有兩種主要途徑“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”. 2.變換法作圖像的關(guān)鍵是看x軸上是先平移后伸縮還是先伸縮后平移,對(duì)于后者可利用x+= 來確定平移單位,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1已知函數(shù)y=2sin , (1)求它的振幅、周期、初相; (2)用“五點(diǎn)法”作出它在一個(gè)周期內(nèi)的圖像; (3)說明y=2si

6、n 的圖像可由y=sin x的圖像經(jīng)過怎樣的變換而得到,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)2求函數(shù)y=Asin(x+)的解析式(多維探究) 類型一由函數(shù)的圖像求函數(shù)y=Asin(x+)的解析式 例2(2015課標(biāo)全國(guó),理8)函數(shù)f(x)=cos(x+)的部分圖像如圖所示,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為() 思考:由y=Asin(x+)+b(A0,0)的圖像求其解析式的方法和步驟是怎樣的,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,

7、知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,類型二由函數(shù)y=Asin(x+)的性質(zhì)求解析式 例3已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(1,-1)(|0)圖像上的任意兩點(diǎn).當(dāng)|f(x1)-f(x2)|=2時(shí),若|x1-x2|的最小值為 ,則f(x)的解析式為,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,思考:如何由函數(shù)y=Asin(x+)的性質(zhì)確定A,? 解題心得:1.由圖像確定y=Asin(x+)+b(A0,0)的解析式的步驟和方法: 2.由函數(shù)y=Asin(x+)的性質(zhì)確定其解析式的方法:由函數(shù)的最值確定A,由函數(shù)的周期性確定,由函數(shù)的奇偶性或?qū)ΨQ性確定,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)若函

8、數(shù)f(x)=2sin(x+) 的部分圖像如圖所示,則,的值分別是(,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,2)已知函數(shù)y=Asin(x+)(A0,0,0)的兩個(gè)相鄰最值點(diǎn)為 ,則這個(gè)函數(shù)的解析式為,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)3函數(shù)y=Asin(x+)性質(zhì)的應(yīng)用,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,思考:如何求解三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的綜合問題? 解題心得:解決三角函數(shù)圖像與性質(zhì)綜合問題的方法:先將y=f(x)化為y=asin x+bcos x的形式,然后用輔助角公式化為y=Asin(x+)的形式

9、,再借助y=Asin(x+)的性質(zhì)(如周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性等)解決相關(guān)問題,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,答案,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,1.由函數(shù)y=Asin(x+)的圖像確定A,的題型,常常以“五點(diǎn)法”中的五個(gè)點(diǎn)作為突破口,要從圖像的升降情況找準(zhǔn)第一個(gè)“零點(diǎn)”和第二個(gè)“零點(diǎn)”的位置.要善于抓住特殊量和特殊點(diǎn). 2.函數(shù)y=Asin(x+)的圖像與x軸的每一個(gè)交點(diǎn)均為其對(duì)稱中心,若函數(shù)f(x)=Asin(x+)的圖像關(guān)于點(diǎn)(x0,0)成中心對(duì)稱,則x0+=k(kZ);經(jīng)過函數(shù)y=Asin(x+)圖像的最高點(diǎn)或最低點(diǎn),且與x軸垂直的直線都為其對(duì)稱軸.兩個(gè)相鄰對(duì)稱軸的距離是半個(gè)周期,若函數(shù)f(x)=Asin(x+)的圖像關(guān)于直線x=