概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-第七章-參數(shù)估計(jì)ppt課件

1、第7章 參數(shù)估計(jì),總體所服從的分布類型已知/未知,估計(jì)總體中未知的參數(shù),參數(shù) 估計(jì),抽樣,參數(shù)估計(jì)問題是利用從總體抽樣得到的信息來估計(jì)總體的某些參數(shù),參數(shù)估計(jì),估計(jì)廢品率,估計(jì)新生兒的體重,估計(jì)湖中魚數(shù),點(diǎn)估計(jì),7.1,點(diǎn)估計(jì),將 代入估計(jì)量，得到 的估計(jì)值,矩估計(jì),樣本k階原點(diǎn)矩,總體k階原點(diǎn)矩,矩估計(jì)基本思想: 用樣本矩估計(jì)總體矩,大數(shù)定律,K.皮爾遜,設(shè)總體的分布函數(shù)中含有k個(gè)未知參數(shù),1)它的前k階原點(diǎn)矩都是這k個(gè)參數(shù)的函數(shù),記為,2)用樣本i階原點(diǎn)矩替換總體i階原點(diǎn)矩,3) 解方程組，得 i=hi (X1, X2, Xn) (i=1,2,k,則以hi (X1, X2, Xn)作為i

2、的估計(jì)量 ，并稱hi(X1, X2, Xn)為i 的矩法估計(jì)量，而稱hi(x1, x2, xn) 為i 的矩法估計(jì)值,總體期望、方差的矩估計(jì)量分別是樣本均值和樣本二階中心矩,例1. 設(shè)總體X的數(shù)學(xué)期望和方差分別是, 2 ，求 , 2的矩估計(jì)量,例2: 已知某產(chǎn)品的不合格率為p, 有簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本X1 ,X2 , Xn 求p的矩估計(jì)量,解：E(X)=p,例3：設(shè)電話總機(jī)在某段時(shí)間內(nèi)接到呼喚的次數(shù)服從參數(shù)未知的泊松分布，現(xiàn)在收集了如下42個(gè)數(shù)據(jù),求未知參數(shù) 的矩估計(jì),例4. XU(a,b),由簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本X1 ,X2 , Xn求a,b的矩估計(jì)量,解：E(X)=(a+b)/2, D(X)=(b-a)2

3、/12,矩法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單易行,并不需要事先知道總體是什么分布,缺點(diǎn)是，當(dāng)總體類型已知時(shí)，沒有 充分利用分布提供的信息,矩法特點(diǎn)分析,極大似然估計(jì),例： 設(shè)一箱中裝有若干個(gè)白色和黑色的球，已知兩種球的數(shù)目之比為3:1或1:3，現(xiàn)有放回地任取3個(gè)球，有兩個(gè)白球，問：白球所占的比例p是多少,如果只知道0p1,并且實(shí)測(cè)記錄是X=k (0 k n),又應(yīng)如何估計(jì)p呢,若總體分布已知，對(duì)于樣本值，選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，使樣本值出現(xiàn)的概率最大，這種估計(jì)方法就是極大似然估計(jì)法,極大似然估計(jì)法,設(shè)總體X的分布律或概率密度為f(x; ), =(1, 2, k)是未知參數(shù)， X1,X2, ,Xn是總體X的樣本，則稱X1,

4、X2, ,Xn的聯(lián)合分布律或概率密度函數(shù),為樣本的似然函數(shù)，簡(jiǎn)記為L(zhǎng)(,對(duì)于固定的樣本觀測(cè)值x1,x2,xn。如果有,例1. 設(shè)總體XN(,2)，其中,2是 未知參數(shù)。求,2的極大似然估計(jì),求極大似然估計(jì)量的步驟,1) 根據(jù)f(x; )，寫出似然函數(shù),2) 對(duì)似然函數(shù)取對(duì)數(shù),3) 寫出方程,若方程有解,求出L()的最大值點(diǎn),例3. 已知某產(chǎn)品的不合格率為p,有簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 X1 ,X2 , Xn，求p的極大似然估計(jì)量。 若抽取100件產(chǎn)品，發(fā)現(xiàn)10件次品，試估計(jì)p,例2. 設(shè)總體X服從參數(shù)0的泊松分布，求 參數(shù)的極大似然估計(jì)量,例4. 設(shè)X1,X2,Xn為取自總體XU(a, b)的樣 本, 求

5、a, b的極大似然估計(jì)量,回顧： 設(shè)X1,X2,Xn是取自總體X的一個(gè)樣本,求 的矩估計(jì)量和極大似然估計(jì)量,其中 0,解：(1)矩估計(jì),2)極大似然估計(jì),7.2 點(diǎn)估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn),評(píng)價(jià)一個(gè)估計(jì)量的好壞，不能僅僅依據(jù)一次試驗(yàn)的結(jié)果，而必須由多次試驗(yàn)結(jié)果來衡量 . 即確定估計(jì)量好壞必須在大量觀察的基礎(chǔ)上從統(tǒng)計(jì)的意義來評(píng)價(jià),常用的幾條標(biāo)準(zhǔn)是,1無偏性,2有效性,3一致性,一、無偏性,二、有效性,例1：設(shè)X1,X2, X3是來自某總體X的樣本，且 E(X)=,討論的以下估計(jì)量的無偏性和一致性,例2：設(shè)X1,X2, Xn是來自某總體X的樣本，且 , 判斷 的矩估計(jì)量是否是無偏估計(jì),三、一致性(相合性,

6、切比雪夫大數(shù)定律,伯努利大數(shù)定律,7.3,區(qū)間估計(jì),置信區(qū)間定義,則稱區(qū)間 是 的置信度為 的置信區(qū)間,滿足,設(shè) 是 一個(gè)待估參數(shù)，給定,若由樣本X1,X2,Xn確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量,正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì),7.4,期望的區(qū)間估計(jì) 2已知時(shí)的置信區(qū)間 2未知時(shí)的置信區(qū)間,2. 求方差的區(qū)間估計(jì) 已知時(shí)2的置信區(qū)間 未知時(shí)2的置信區(qū)間,單正態(tài)總體四種類型的區(qū)間估計(jì),已知方差，求期望的區(qū)間估計(jì),例1：隨機(jī)地從一批服從正態(tài)分布N(,0.022)的零件16個(gè)，分別測(cè)得其長(zhǎng)度為： 2.142.10 2.132.152.132.122.132.10 2.152.122.142.102.132.112.1

7、42.11 估計(jì)該批零件的平均長(zhǎng)度，并求的置信區(qū)間(=0.05,查正態(tài)分布表得,使,例1：隨機(jī)地從一批服從正態(tài)分布N(,0.022)的零件16個(gè)，分別測(cè)得其長(zhǎng)度為： 2.142.10 2.132.152.132.122.132.10 2.152.122.142.102.132.112.142.11 估計(jì)該批零件的平均長(zhǎng)度，并求的置信區(qū)間(=0.05,求置信區(qū)間的步驟,1) 構(gòu)造僅與待估參數(shù) 有關(guān)，但分布已知的函數(shù)U,2) 給定置信度1-，得常數(shù)a,b，使 PaUb= 1,3) 將aUb變形，使得,4) 結(jié)論,方差未知，求期望的區(qū)間估計(jì),例2：隨機(jī)地從一批服從正態(tài)分布N(, 2)的零件16個(gè)，分

8、別測(cè)得其長(zhǎng)度為： 2.142.10 2.132.152.132.122.132.10 2.152.122.142.102.132.112.142.11 估計(jì)該批零件的平均長(zhǎng)度，并求的置信區(qū)間(=0.05,使,例1：用一個(gè)儀表測(cè)量某物理量9次，得到樣本均值為56.32，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為0.22. 測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差 反映了測(cè)量?jī)x表的精度，試求的置信水平為0.95的置信區(qū)間,未知,求方差的區(qū)間估計(jì),例2：假設(shè)某地區(qū)1825歲女青年身高 現(xiàn)抽取30名，樣本均值為158cm,樣本方差為(5cm)2，求2的置信水平為95%的區(qū)間估計(jì),例2：假設(shè)某地區(qū)1825歲女青年身高 現(xiàn)抽取30名，樣本均值為158cm,樣本方差

9、為(5cm)2，求2的置信水平為95%的區(qū)間估計(jì),例3：隨機(jī)地從一批服從正態(tài)分布N(2.12, 2)的零件16個(gè)，分別測(cè)得其長(zhǎng)度為： 2.142.10 2.132.152.132.122.132.10 2.152.122.142.102.132.112.142.11 試求2的置信水平為0.95的置信區(qū)間,已知,求方差的區(qū)間估計(jì),例4. 對(duì)飛機(jī)的飛行速度進(jìn)行15次獨(dú)立試驗(yàn)，測(cè)得飛機(jī)的最大飛行速度(單位：m/s)如下： 422.2 418.7 425.6 420.3 425.8 423.1 431.5 428.2 438.3 434.0 411.3 417.2 413.5 441.3 423.0

10、假設(shè)飛機(jī)最大飛行速度服從 求最大飛行速度的方差的置信度為0.90的置信區(qū)間,解,2的置信區(qū)間為( 41.407010, 142.549270,雙總體,設(shè)總體X N(1,12)，總體Y N(2,22)，X1,X2,Xm來自X，Y1,Y2,Yn來自Y，且兩樣本相互獨(dú)立,均值差1- 2的區(qū)間估計(jì),方差比12/ 22的區(qū)間估計(jì),例1.設(shè)甲乙兩地區(qū)女青年身高分別服從 分布。甲地區(qū)抽取100名，樣本均值為163cm； 乙地區(qū)抽取100名，樣本均值為160cm,求 的置信水平為90%的置信區(qū)間,1,2已知時(shí),1- 2的置信區(qū)間,即得1- 2的置信區(qū)間,例2：今抽樣甲乙兩地區(qū)1825歲女青年身高的數(shù)據(jù)如下：甲

11、地區(qū)抽取50名, 樣本均值為163cm,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為4cm; 乙地區(qū)抽取50名, 樣本均值為160cm,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為3cm。假設(shè)身高均服從正態(tài)分布并具有公共方差，求 的置信水平為90%的置信區(qū)間,1,2未知,但1=2=時(shí),1- 2的 置信區(qū)間,1- 2的置信區(qū)間,1,2未知,且12，但容量m,n很大時(shí), 1- 2的置信區(qū)間,例7：兩位化驗(yàn)員A,B獨(dú)立對(duì)某種化合物的含氯 量用相同方法各作了10次測(cè)量，測(cè)量的樣本方差 分別為S12=0.5419, S22=0.6065，設(shè)A,B所測(cè)量值 總體為X,Y，并且均服從正態(tài)分布，方差分別為,例8：假設(shè)人體身高服從正態(tài)分布，今抽樣甲乙兩地區(qū)1825歲女青年身高的數(shù)據(jù)如下：甲地區(qū)抽取121名，樣本均值為164cm,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為4cm;乙地區(qū)抽取61名，樣本均值為160cm,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為2cm，求兩總體方差比的置信水平為95%的區(qū)間估計(jì),u1, , u2未知，方差比12/22的區(qū)間估計(jì),u1, , u2已知，方差比12/22的區(qū)間估計(jì),單側(cè)置信區(qū)間,7.5,例12：隨機(jī)地從一批壽命服從正態(tài)分布N(,2)的燈泡中抽取16個(gè)進(jìn)行試驗(yàn)，分別測(cè)得樣本平均壽命為1509.5小時(shí),樣本方差為32.232. 求該批燈泡的平均壽命的95%置信下限,單側(cè)置