計(jì)算機(jī)控制技術(shù) 13離散系統(tǒng)的能控觀測性及穩(wěn)定性

1、4/13/2020,1,第三節(jié),線性離散定常系統(tǒng)的,能控,觀測,性及穩(wěn)定性,1,能控性定義及判別準(zhǔn)則,2,能觀測性定義及判別準(zhǔn)則,3,連續(xù)系統(tǒng)離散化后的能控性和能觀測性,4,Z,域穩(wěn)定性分析,5,李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,4/13/2020,2,1,能達(dá)性、能控性定義,能控性：任意初始狀態(tài)到零狀態(tài)的轉(zhuǎn)移能力,若存在,控制序列,u(0,u(1,u(l-1,l,n,能將任意初始狀態(tài),x(0)=x,0,在,第,l,步,上到達(dá)零態(tài),x(l,0,則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的,1,k,Hu,k,Gx,k,x,對于,n,階線性定常離散系統(tǒng),一、離散時(shí)間系統(tǒng)的能達(dá)性、能控性,能達(dá)性：零初始狀態(tài)到任意非零狀態(tài)的轉(zhuǎn)移能力

2、,若存在,控制序列,u(0,u(1,u(l-1,l,n,能將初始狀態(tài),x(0)=x,0,0,在,第,l,步,上到達(dá)任意終端狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能,達(dá)的,4/13/2020,3,定理：對于,n,階線性定常離散系統(tǒng),定義判別陣如下,2,能控、能控性判別準(zhǔn)則一（判別陣的秩判據(jù)法,H,G,GH,H,Q,n,c,1,1,k,Hu,k,Gx,k,x,如果,G,非奇異陣，則式,1,是系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的,充分必要條件,如果,G,是奇異陣，則式,1,是系統(tǒng),狀態(tài)完全能控的,充分條件,n,H,G,GH,H,rank,rankQ,n,c,1,則系統(tǒng)狀態(tài)完全能達(dá)的,充分必要條件,是,1,4/13/2020,4,0

3、,1,0,1,i,Hu,G,x,G,k,x,k,i,i,k,k,1,k,Hu,k,Gx,k,x,U,Q,u,u,n,u,H,G,GH,H,n,Hu,n,GHu,Hu,G,i,Hu,G,n,x,c,n,n,n,i,i,n,0,1,1,1,2,0,1,1,1,0,1,線性定常離散系統(tǒng),解為,所以,對任意,x(n,要使,U,存在，則,Qc,滿秩,證明,對能達(dá)性,有,0,0,x,0,1,0,1,i,Hu,G,x,G,n,x,n,i,i,n,n,所以,4/13/2020,5,U,Q,u,u,n,u,H,G,GH,H,n,Hu,n,GHu,Hu,G,i,Hu,G,x,G,c,n,n,n,i,i,n,n,0

4、,1,1,1,2,0,0,1,1,1,0,1,0,n,x,對能控性,有,所以,此時(shí)，如果,G,是非奇異的，則,也是非奇異的,是,x(0,的全映射，所以，對任意,x(0,U,存在的條件是,Qc,滿秩,n,G,0,x,G,n,此時(shí)，如果,G,是奇異的，則,也是奇異的,不是,x(0,的,全映射，盡管,x(0,可以在,中任意取值，而,的,n,個(gè)分,量不獨(dú)立,只在,的一個(gè)子空間變化，所以對任意,x(0,U,存在，不必要求,Qc,滿秩。此式一個(gè)極端的情況是,n,G,0,x,G,n,n,R,0,x,G,n,n,R,0,x,G,n,4/13/2020,6,結(jié)論,2,如果一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)為連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)

5、的時(shí),間離散化，由于不論,A,是否為非奇異陣,必可,逆，即是非奇異的。所以，連續(xù)系統(tǒng)離散后得到的系統(tǒng),其能控性和能達(dá)性等價(jià),AT,e,G,結(jié)論,1,連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)可達(dá)性和可控性等價(jià)，而離散時(shí)間系統(tǒng)則,不完全相同。離散時(shí)間系統(tǒng)，如果矩陣,G,非奇異，則系,統(tǒng)的能控性和能達(dá)性等價(jià)。如果,G,奇異，則不可達(dá)的系,統(tǒng)，也可能可控。所以,可達(dá)系統(tǒng)一定可控，可控系統(tǒng),不一定可達(dá),0,n,G,此時(shí)，對任意的,x(0,均有,不管,Qc,是否滿秩，均,能找到,U,0,所以，當(dāng),G,是奇異時(shí),Qc,滿秩是判斷能控性的充,分條件，而不是必要條件,0,0,x,G,n,4/13/2020,7,說明,1,只討論使任意初始狀

6、態(tài)轉(zhuǎn)移到零態(tài)，或零態(tài)轉(zhuǎn)移到任意終,端狀態(tài)的控制序列是否存在，不涉及具體轉(zhuǎn)移幾步,2,對于,n,階,SI,定常系統(tǒng)，若在第,n,步上不能將初始狀態(tài)（零,態(tài)）轉(zhuǎn)移到零態(tài)（任意終端狀態(tài)），則在,n+1,及以后的任,何一步都不能轉(zhuǎn)移,1,0,1,0,1,1,2,2,0,0,0,1,1,1,1,3,2,1,3,2,1,k,u,k,x,k,x,k,x,k,x,k,x,k,x,例,系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下，試判定系統(tǒng)的狀態(tài)能達(dá)性和能控性,4/13/2020,8,3,2,1,1,2,1,0,1,1,2,2,0,0,0,1,1,2,1,1,0,1,0,1,1,2,2,0,0,0,1,1,0,1,2,H,G,GH,H,

7、故系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控,解,首先構(gòu)造能控判別陣,n,rankQ,c,3,3,1,1,2,2,0,1,1,1,2,H,G,GH,H,Q,c,所以能控性判別陣為,求能控性判別陣的秩,4/13/2020,9,2,1,0,2,1,4,6,2,3,1,k,k,u,k,x,k,x,例,系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下，試判定系統(tǒng)的狀態(tài)能控性,解,G,為奇異陣，且有,n,rank,GH,H,rank,rankQ,c,2,1,14,2,7,1,則系統(tǒng)不完全能達(dá)，由于,G,奇異，系統(tǒng)狀態(tài)有可能可控,0,2,1,0,4,0,6,0,2,0,3,0,2,1,0,4,6,2,3,1,2,1,2,1,u,x,x,x,x,u,x,x,0

8、,2,0,3,0,2,1,x,x,u,如果取,0,1,x,則,x,一步回零,所以，系統(tǒng)狀態(tài)完全能控,4/13/2020,10,定理：對于,n,階線性定常離散系統(tǒng)，其狀態(tài)完全能控且能,觀測的充分必要條件是：以下的,Z,傳遞函數(shù)或,Z,傳遞矩陣的,分子分母間沒有零、極點(diǎn)對消,H,G,zI,C,z,G,1,4,能達(dá)、能控性判別準(zhǔn)則三,Z,域分析法,同線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型判據(jù),1,對角線標(biāo)準(zhǔn)型：特征值互異時(shí),H,中不包含元素全為,0,的行,重特征根時(shí)，一定不可控,2,約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型,H,中與每個(gè)約當(dāng)小塊首行所對應(yīng)的行，其元素,不全為零,2,個(gè)推論,SI,系統(tǒng)必不可控,MI,系統(tǒng)，同一特征值,對應(yīng)的

9、約當(dāng)塊最后一行所對應(yīng),H,中的行，行線性無關(guān)則可控,3,能達(dá)、能控性判別準(zhǔn)則二（標(biāo)準(zhǔn)型法，此時(shí)要求,G,非奇異,4/13/2020,11,如果根據(jù)有限個(gè)采樣周期內(nèi)測量的,y(0,y(1,y(l,可以唯,一地確定出系統(tǒng)的任意初始狀態(tài),x,0,則稱,x,0,為能觀測狀態(tài)。如果,系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能觀測的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)能觀測的,2,能觀測性判別準(zhǔn)則一（能觀測性判別陣法,定理：對于線性離散定常系統(tǒng)，其狀態(tài)完全能觀測的充要條件,是其能觀測性判別矩陣,n,rankQ,o,滿秩,即,T,T,n,T,T,T,T,n,o,C,G,C,G,C,CG,CG,C,Q,1,1,二、離散時(shí)間系統(tǒng)的能觀測性,1,k,Du

10、,k,Cx,k,y,k,Hu,k,Gx,k,x,對于,n,階線性定常離散系統(tǒng),1,能觀測性定義,4/13/2020,12,0,1,0,0,0,1,2,1,0,0,2,1,0,0,2,1,k,x,k,y,k,x,k,x,例,設(shè)線性定常離散系統(tǒng)方程如下，試判斷其能觀測性,0,4,0,0,0,4,2,1,0,0,2,1,0,0,2,0,2,1,0,0,2,0,2,1,0,0,2,2,1,0,0,2,1,0,0,2,0,1,0,0,0,1,2,CG,CG,解,3,2,0,4,0,0,0,4,0,2,1,0,0,2,0,1,0,0,0,1,2,rank,CG,CG,C,rank,rankQ,o,系統(tǒng)狀態(tài)

11、,不完全能觀測,4/13/2020,13,定理：對于,n,階線性定常離散系統(tǒng)，其狀態(tài)完全能控且能觀測的,充分必要條件是：以下的,Z,傳遞函數(shù)或,Z,傳遞矩陣的分子分母間,沒有零、極點(diǎn)對消,H,G,zI,C,z,G,1,4,能觀測性判別準(zhǔn)則三,Z,域分析法,同線性連續(xù)定常系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)型判據(jù),1,對角線標(biāo)準(zhǔn)型：特征值互異時(shí),C,中不包含元素全為,0,的列,重特征根時(shí)，一定不可觀測,2,約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型,C,中與每個(gè)約當(dāng)小塊首列所對應(yīng)的列，其元素,不全為零,2,個(gè)推論,SO,系統(tǒng)必不可觀,MO,系統(tǒng)，同一特征值,對應(yīng)的約當(dāng)塊首列所對應(yīng),C,中的列，列線性無關(guān)，則可觀測,3,能觀測性判別準(zhǔn)則二（標(biāo)準(zhǔn)型法,4/

12、13/2020,14,三、連續(xù)系統(tǒng)離散化后的能控性和能觀測性,內(nèi)容：對于線性連續(xù)定常系統(tǒng)，離散化后其狀態(tài)能控性和,能觀測性是否發(fā)生變化,例,已知連續(xù)系統(tǒng),是狀態(tài)完全能控且能觀測的。請寫出其離散化方程，并確,定使相應(yīng)的離散化系統(tǒng)能控且能觀測的采樣周期,T,的范圍,x,y,u,x,x,0,1,1,0,0,1,1,0,解,先求連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,t,t,t,t,s,s,s,s,s,s,L,s,s,L,A,sI,L,e,t,At,cos,sin,sin,cos,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,1,1,1,1,1,4/13/2020,15,所以,T,T,T,T,T,G,cos,sin

13、,sin,cos,T,T,dt,t,t,t,t,B,dt,t,H,T,T,sin,cos,1,1,0,cos,sin,sin,cos,0,0,0,1,cos,sin,2,sin,cos,sin,2,sin,sin,cos,cos,cos,1,2,2,T,T,T,T,T,T,T,T,T,T,GH,H,Q,c,要使系統(tǒng)狀態(tài)能控，則能控判別陣的行列式非零，即,0,sin,sin,cos,0,1,T,T,T,CG,C,Q,o,要使系統(tǒng)狀態(tài)能觀測，則能觀測判別陣的行列式非零，即,2,1,k,k,T,聯(lián)立上,2,式可知，要使離散化后系統(tǒng)能控且能觀測,T,必須滿足,4/13/2020,16,結(jié)論,1,對于線

14、性連續(xù)定常系統(tǒng)如果是不能控和不能觀測的,則其離散化后的系統(tǒng)也必是不能控和不能觀測的,結(jié)論,2,對于線性連續(xù)定常系統(tǒng)如果是能控和能觀測的，則,其離散化后的系統(tǒng)不一定是能控和能觀測的,結(jié)論,3,離散化后的系統(tǒng)能否保持能控和能觀測性，取決于,采樣周期,T,的選擇,結(jié)論,線性連續(xù)定常系統(tǒng)離散化后，系統(tǒng)的能控和能觀測性,變差了,4/13/2020,17,離散系統(tǒng),Z,域穩(wěn)定的充要條件是,z,傳遞函數(shù)的極點(diǎn)全部位于單位圓內(nèi)。即,等價(jià)于系統(tǒng)的,s,平面中所有極點(diǎn)位于,s,的左半平面,1,z,五、線性離散系統(tǒng)的李氏穩(wěn)定性分析,與線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)相似，線性離散時(shí)間系統(tǒng)也具有以下,穩(wěn)定性定理,四,z,域穩(wěn)定性分析

15、,4/13/2020,18,定理,線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,則系統(tǒng)在平衡點(diǎn),Xe=0,處漸近穩(wěn)定的充要條件是：對于,任意給定的對稱正定矩陣,Q,都存在對稱正定矩陣,P,使得,1,k,Gx,k,x,Q,P,PG,G,T,且系統(tǒng)的李亞普諾夫函數(shù)是,k,Px,k,x,k,x,V,T,推導(dǎo),代替，則有,的導(dǎo)數(shù)用,對于線性離散時(shí)間系統(tǒng),k,x,V,k,x,V,1,1,1,k,Qx,k,x,k,x,P,PG,G,k,x,k,Px,k,x,k,PGx,k,Gx,k,Px,k,x,k,Px,k,x,k,x,V,k,x,V,k,x,V,T,T,T,T,T,T,T,4/13/2020,19,當(dāng)取,時(shí),定理說明

16、,2,如果,沿任意一解序列,不恒等于零,Q,也可取為,半正定,的,k,Qx,k,x,k,x,V,T,I,Q,I,P,PG,G,T,定理說明,1,Q,P,PG,G,T,仿線性連續(xù)系統(tǒng)，先給出正定對稱矩陣,Q,從以下方程中解出實(shí),對稱陣,P,然后驗(yàn)證,P,是否正定，是則系統(tǒng)是李氏漸近穩(wěn)定的,負(fù)定，即,正定,要使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，則,k,x,V,k,x,V,為正定,P,PG,G,Q,T,4/13/2020,20,試用李氏第二法確定系統(tǒng)在平衡點(diǎn),為漸近穩(wěn)定的,k,值范圍,0,e,x,根據(jù),得,解,I,Q,Q,P,PG,G,T,取,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,2,0,1,0,0,0,1,0,0,1,0,2,0,1,0,0,0,33,23,13,23,22,12,13,12,11,33,23,13,23,22,12,13,12,11,p,p,p,p,p,p,p,p,p,k,p,p,p,p,p,p,p,p,p,k,例,已知線性離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程為,1,k,Gx,k,x,其中,0,0,2,0,1,0,0,0,1,0,k,k,G,4/13/2020,21,2,2,2,2,1,3,0,0,0,2,1,2,2,0,0,0,1,k,k,k,P,解得,根據(jù)賽爾維斯特法則：如果,P,正定，則,即,k2,所以系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的,k,值范圍為,k2,0,2,