判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法

1、判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法 一、定義法一、定義法 設(shè) x1，x2 是函數(shù) f(x)定義域上任意的兩個(gè)數(shù)，且 x1x2，若 f(x1)f(x2)， 則此函數(shù)為增函數(shù)；反知，若 f(x1)f(x2)，則此函數(shù)為減函數(shù). 【例 1】證明：當(dāng)時(shí)，。0 x)1ln(xx 證明：令0 11 1 1)()1ln()( x x x xfxxxf 所以，當(dāng)時(shí)，所以為嚴(yán)格遞增的0 x0)( x f)(xf ，所以。0)01ln(0)0()(fxf)1ln(xx 二、性質(zhì)法二、性質(zhì)法 除了用基本初等函數(shù)的單調(diào)性之外，利用單調(diào)性的有關(guān)性質(zhì)也能簡化解題. 若函數(shù) f(x)、g(x)在區(qū)間 B 上具

2、有單調(diào)性，則在區(qū)間 B 上有： f(x)與 f(x)C（C 為常數(shù)）具有相同的單調(diào)性； f(x)與 cf(x)當(dāng) c0 具有相同的單調(diào)性，當(dāng) c0 具有相反的單調(diào)性； 當(dāng) f(x)、g(x)都是增(減)函數(shù)，則 f(x)g(x)都是增(減)函數(shù)； 當(dāng) f(x)、g(x)都是增(減)函數(shù)，則 f(x)g(x)當(dāng)兩者都恒大于 0 時(shí)也是增(減)函 數(shù)，當(dāng)兩者都恒小于 0 時(shí)也是減(增)函數(shù)； 三、同增異減法三、同增異減法 是處理復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題的常用方法. 對(duì)于復(fù)合函數(shù) yf g(x)滿足 “同增異減”法(應(yīng)注意內(nèi)層函數(shù)的值域)，可令 tg(x)，則三個(gè)函數(shù) yf(t)、 tg(x)、yf g

3、(x)中，若有兩個(gè)函數(shù)單調(diào)性相同，則第三個(gè)函數(shù)為增函數(shù)； 若有兩個(gè)函數(shù)單調(diào)性相反，則第三個(gè)函數(shù)為減函數(shù). 注：（1）奇函數(shù)在對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在對(duì)稱的兩個(gè)區(qū) 間上有相反的單調(diào)性； （2）互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)有相同的單調(diào)性； （3）如果 f(x)在區(qū)間 D 上是增（減）函數(shù)，那么 f(x)在 D 的任一子區(qū)間上也 是增（減）函數(shù). 設(shè)單調(diào)函數(shù)為外層函數(shù)，為內(nèi)層函數(shù) )(xfy )(xgy (1) 若增，增，則增. )(xfy )(xgy )(xgfy (2) 若增，減，則減. )(xfy )(xgy )(xgfy (3) 若減，減，則增. )(xfy )(xgy )(xgfy

4、 x y 2 1 (4) 若減，增，則減. )(xfy )(xgy )(xgfy 例 1. 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 2 2 2)( xx xf 教學(xué)意圖教學(xué)意圖：先讓學(xué)生學(xué)會(huì)找出外層函數(shù)和內(nèi)層函數(shù)然后再進(jìn)一步教會(huì)學(xué)生如何求 此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.此題當(dāng)中定義域是一切實(shí)數(shù)，在此處我還沒有讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到 定義域的重要性，先讓學(xué)生初步掌握復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法. 解題過程： 外層函數(shù)： t y2 內(nèi)層函數(shù)： 2 2 xxt 內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間： , 2 1 x 內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間： 2 1 ,x 由于外層函數(shù)為增函數(shù) 所以，復(fù)合函數(shù)的增區(qū)間為： , 2 1 x 復(fù)合函數(shù)的減區(qū)間為： 2 1 ,x 四、求導(dǎo)

5、法四、求導(dǎo)法 導(dǎo)數(shù)小于 0 就是遞減，大于 0 遞增，等于 0，是拐點(diǎn)極值點(diǎn) 求函數(shù)值域的常用方法 1觀察法 用于簡單的解析式。 y1x1,值域(, 1 y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1-1,值域(,-1)(-1,). 2.配方法 多用于二次(型)函數(shù)。 yx2-4x+3=(x-2)2-1-1,值域-1, ） y=e2x-4ex-3=(ex-2)2-7-7,值域-7,） 3. 換元法 多用于復(fù)合型函數(shù)。 通過換元，使高次函數(shù)低次化，分式函數(shù)整式化，無理函數(shù)有理化，超越函數(shù) 代數(shù)以方便求值域。 特別注意中間變量（新量）的變化范圍。 y=-x+2( x-1)+2 令 t=(x-1),

6、 則 t0, x=t2+1. y=-t2+2t+1=-(t-1)2+21,值域(, 1. 4. 不等式法 用不等式的基本性質(zhì)，也是求值域的常用方法。 y=（ex+1）/(ex-1), (0 x1). 0 x1, 1exe, 0ex-11/(e-1), y=1+2/(ex-1)1+2/(e-1).值域(1+2/(e-1),). 5. 最值法 如果函數(shù) f(x)存在最大值 M 和最小值 m.那么值域?yàn)閙,M. 因此,求值域的方法與求最值的方法是相通的. 6. 反函數(shù)法 有的又叫反解法. 函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域互換. 如果一個(gè)函數(shù)的值域不易求,而它的反函數(shù)的定義域易求.那么,我們通過求后者

7、而得出前者. 7. 單調(diào)性法 若 f(x)在定義域a, b上是增函數(shù),則值域?yàn)閒(a), f(b).減函數(shù)則值域?yàn)?f(b), f(a). 8. 數(shù)形結(jié)合法 利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助于幾何方法或圖像法求函數(shù)的值域. 例 1 已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)的 23 2 ( )4() 3 f xxaxxxR 1,1 a 取值范圍. 解: 說明: 已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍是一種常見的題型,常利用導(dǎo)數(shù)與函 數(shù)單調(diào)性關(guān)系:即“若函數(shù)單調(diào)遞增,則;若函數(shù)單調(diào)遞減,則” ( ) 0fx ( ) 0fx 來求解,注意此時(shí)公式中的等號(hào)不能省略,否則漏解. 類型題 1: 設(shè)函數(shù),其中,求的取值范圍

8、,使函數(shù) axxxf1)( 2 0aa 在上是單調(diào)函數(shù). )(xf), 0( 類型題 2: 函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍. kx exy 2 ) 1 , 0( k 例 2 討論下列函數(shù)單調(diào)性 （1） （2） bkxxf)( x k xf)( 類型題 1: 函數(shù)其中為實(shí)數(shù)），當(dāng)時(shí)是 cbxaxxxf 23 )( cba,03 2 ba )(xf （ ） A、增函數(shù) B、減函數(shù) C、常數(shù) D、既不是增函數(shù)也不是減函 數(shù) 類型題 2: 設(shè)函數(shù) ( )(0) kx f xxek 求函數(shù) ( )f x 的單調(diào)區(qū)間； 1. 下列函數(shù)中,在區(qū)間 上為增函數(shù)的是( ). A B C D 2函數(shù) 的增區(qū)間

9、是（ ）。 A B C D 3 在 上是減函數(shù)，則 a 的取值范圍是（ ）。 A B C D 4當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 的值有正也有負(fù)，則實(shí)數(shù) a 的取值范 圍是（ ） A B C D 填空題 1 在 都是減函數(shù),則 在 上是_函數(shù)(填 增或減) 2函數(shù) ,當(dāng) 時(shí),是增函數(shù),當(dāng) 時(shí)是 減函數(shù),則 3已知 是常數(shù)),且 ,則 的 值為_ 4 函數(shù) 在 上是減函數(shù),則 的取值范 圍是_ 5若函數(shù) 在區(qū)間 上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是_ 6已知 在定義域內(nèi)是減函數(shù)，且 ，在其定義域內(nèi)判斷下列 函數(shù)的單調(diào)性： （ 為常數(shù)）是_； （ 為常數(shù)）是_； 是_； 是_ 7設(shè) ， 是增函數(shù)， 和 ， 是減函數(shù)，則

10、是_函數(shù)； 是_函數(shù)； 是_函數(shù) 解答題 1判斷一次函數(shù) 單調(diào)性. 2證明函數(shù) 在 上是增函數(shù)，并判斷函數(shù) 在 上的單調(diào)性. 3判斷函數(shù) 的單調(diào)性. 4求函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間. 5函數(shù) 對(duì)于 有意義，且滿足條件 ， ， 是非減函數(shù)，（1）證明 ；（2）若 成立，求 的取值范圍 6函數(shù) ， ，求函數(shù) 的單調(diào)區(qū) 間 7求證： 在 上不是單調(diào)函數(shù) 8根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù) 在 上是減函 數(shù) 9設(shè) 是定義在 上的增函數(shù)， ，且 ，求滿足不等式 的 x 的取值范圍. 課后習(xí)題答案 1D 2A 3A 4C1減 213 31 4 5 6減函數(shù)；增函數(shù)；增函數(shù)；減函數(shù) 7減；減；增 1一次函數(shù) 的定義

11、域是 R.設(shè) ，且 ，則 . ，當(dāng) 時(shí)， ，即 ；當(dāng) 時(shí)， ，即 .綜上，當(dāng) 時(shí)，一次函數(shù) 是增函數(shù)；當(dāng) 時(shí)，一次函數(shù) 是減函數(shù). 2設(shè) ，則由已知 ，有 ， ，即 .函數(shù) 在 上是增函數(shù). 在 上都是增函數(shù)， ，即 在 上是增函數(shù). 3函數(shù)的定義域是 .函數(shù) 在 上是增函數(shù)， 在 上是減函數(shù)， 在 上是減函數(shù)（“同增異減”） . 4由 得 或 .函數(shù)的定義域是 .令 ，則 化為 在 上是增函數(shù)，求 的單調(diào)遞減區(qū)間，只需求 的單調(diào)遞減區(qū)間，且 滿足 ，即滿足. 的單調(diào)遞減區(qū)間是 .由 和知，函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間是 5解：（1）在 中令 ， ，則有 ，又 ， （2） ，利用 為非減函數(shù)，有 ，解之，得 6解：設(shè) ， 當(dāng) 時(shí)， 是增函數(shù)，這時(shí) 與 具有相同的 增減性，由 即 得 或 當(dāng) 時(shí)， 是增函數(shù)， 為增函數(shù)； 當(dāng) 時(shí)， 是減函數(shù)， 為減函數(shù)； 當(dāng) 時(shí)， 是減函數(shù)，這時(shí) 與 具有相反的 增減性，由 即 得 當(dāng) 時(shí)， 是減函數(shù)， 為增函數(shù)； 當(dāng) 時(shí)， 是增函數(shù)， 為減函數(shù)； 綜上所述， 的單調(diào)增區(qū)間是 和 ， 單調(diào)減區(qū)間是 和 7解：設(shè)