數(shù)值與計算方法第1章緒論

1、1,數(shù)值計算方法,2,先修課程 高等代數(shù)、線性代數(shù)、一門編程語言 開課情況 48學時，3學分,3,教學安排,1. 緒論 2. 非線性方程的數(shù)值解法 3. 線性方程組的數(shù)值解法 4. 函數(shù)逼近的插值法與曲線擬合法 5. 數(shù)值積分 6. 常微分方程數(shù)值解法 7. 矩陣特征值和特征向量的數(shù)值解法,4,第1章 緒論,利用計算機解決實際問題有三大步驟： 建立模型 計算問題的解( 1.選擇數(shù)值方法；2 .編寫程序) 實驗驗證 本課程的任務： 討論第步，即介紹計算機上的常用的數(shù)值方法,5,實際問題,數(shù)學模型,數(shù)值)算法,編程,計算結果,抽象：“去偽存真，去粗取精,6,總體設計(含模型的細化等) 詳細設計(主

2、要是算法設計) 實驗驗證 其中包括： 連續(xù)系統(tǒng)的離散化 離散型方程的數(shù)值求解,以計算機為工具 求解各種數(shù)學模型需經(jīng)歷三個過程,7,計算方法 主要研究將數(shù)學模型變成數(shù)值問題, 并研究求解數(shù)值問題的數(shù)值方法，進而設計數(shù)值算法。 內(nèi)容包括: 基本概念介紹；誤差及分析；收斂性、穩(wěn)定性；算法復雜性等,8,計算數(shù)學的對象,計算數(shù)學是一門古老的數(shù)學 如計算圓周率、九章計算等； 牛頓、萊布尼茲等提出的微分、積分計算； 計算數(shù)學是一門年輕的數(shù)學 近代計算機的誕生，產(chǎn)生了數(shù)學的計算機計算. 計算機與數(shù)學的關系非常密切 計算數(shù)學：計算機上的數(shù)學方法。 或定義為：研究數(shù)值計算方法的設計、分析和有關理論基礎與軟件實現(xiàn)的

3、一個數(shù)學分支。 計算數(shù)學：計算方法或數(shù)值分析,9,科學理論、科學試驗和科學計算(計算的方法)是現(xiàn)代科學的三個組成部分 計算機下的科學計算大大地提高了計算速度和計算精度，是使原來不能實現(xiàn)的海量復雜計算成為現(xiàn)實 科學計算是以計算機為基礎的科學計算，其計算理論是計算數(shù)學 計算數(shù)學的應用：天體物理、大氣研究、分子生物、集成電路、天氣預報、模式識別、網(wǎng)絡信息搜索等 計算數(shù)學的發(fā)展：進行高效率、高精度的并行計算,計算數(shù)學的應用與發(fā)展,10,為什么要學習計算方法這門課,利用計算機求解實際問題的核心過程，非常重要。 雖然已有大量數(shù)值算法的軟件包，但需要我們了解算法設計的原理，以便更好地應用。 隨著計算機的應用

4、越來越廣泛，計算問題越來越復雜，規(guī)模越來越大，現(xiàn)成的數(shù)值方法軟件包不能滿足特定需要，如數(shù)字圖像處理、天氣預報、Web搜索,11,用計算機求解，需要首先將數(shù)學模型轉(zhuǎn)換為數(shù)值問題，然后研究求解數(shù)值問題的數(shù)值算法,12,1）數(shù)值問題,數(shù)值問題,輸入數(shù)據(jù)與輸出數(shù)據(jù)之間函數(shù)關系的 一個確定而無歧義的描述,即,輸入與輸出的都是數(shù)值的數(shù)學問題,如求解線性方程組,求解二次方程,都是數(shù)值問題,13,求解微分方程,是不是數(shù)值問題,將其變成數(shù)值問題，即將其“離散化,離散化”是將非數(shù)值問題的數(shù)學模型化為數(shù)值問題 的主要方法，這也是計算方法的任務之一,14,2）數(shù)值方法,數(shù)值方法：是指解數(shù)值問題的 在計算機上可執(zhí)行的系

5、列計算公式,在計算機上可執(zhí)行的公式是指只含有加減乘除的公式,現(xiàn)在的計算機中幾乎都含有關于開方的標準函數(shù)sqrt(,常見的在計算機上不能直接運行的計算有,開方、極限、超越函數(shù)、微分、積分等等,要在計算機上實行上述運算需將其化為可執(zhí)行的等價或近似等價運算,15,1. 如求根公式,2. 應化為公式,16,1.1數(shù)學問題的數(shù)值解法例示,例1.1.1試求函數(shù)方程x=cosx在區(qū)間 內(nèi)的一個根。 解,17,注：【零點定理】 設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且f(a)與 f(b)異號（即f(a) f(b)0），那么在開區(qū)間（a,b）內(nèi)至少有函數(shù)f(x)的一個零點，即至少有一點（ab）使f()=0,18,

6、1.1數(shù)學問題的數(shù)值解法例示,19,簡單迭代法： 取初值：x0=0.75 迭代得：x1=0.731688868，x2=0.744047084 x42=0.739085133，x43=0.739085133 牛頓迭代法： 取初值：x0=0.75 迭代得：x1=0.739111138，x2=0.739085133 x3=0.739085133,比較：兩種方法同樣獲得9位數(shù)字的近似解， 簡單迭代法需要迭代43次，牛頓迭代法迭代3次,20,21,22,注釋,1. 牛頓-萊布尼茲公式,2. 數(shù)值解：在特定條件下通過近似計算,（如有限元的方法,數(shù)值逼近,插值的方法）得出來的一個數(shù)值。 解析解：解析解為該函

7、數(shù)的解析式,23,例1.2.3 求 Ax=b， Det(A)0，A=(aij)20 20 解：1. 用Cramar法則求解，總計算量 N = ( ( n+1)(n-1)n!+n) flop 當n=20, N9.7 1020 flop. 以一臺10億/秒的計算機需約3萬年,結論：分析算法的效率，選擇算法非常重要,解：2.使用Gauss消去法， n=20， N3060 flop = O(n3 /3) flop,24,注釋：Cramer法則,設線性方程組 簡記 AX=b,25,其中,26,27,28,29,現(xiàn)取h=0.05,其結果見下表,30,1.2 誤差概念和有效數(shù),在任何科學計算中其解的精確性總

8、是相對的,而誤差則是絕對的. 我們從下面這個例子就可以了解誤差產(chǎn)生的原因. 例1.2.1 試求擺長為L的單擺運動周期,31,32,33,34,35,實際問題,數(shù)學模型,數(shù)值)算法,編程,計算結果,抽象,模型誤差,觀測誤差,截斷誤差,舍入誤差,36,誤差的分類,模型誤差： 從實際問題建立的數(shù)學模型往往都忽略了許多次要的因素,因此產(chǎn)生的誤差稱為模型誤差. 觀測誤差： 一般數(shù)學問題包含若干參數(shù),他們是通過觀測得到的,受觀測方式、儀器精度以及外部觀測條件等多種因素，不可能獲得精確值，由此而來產(chǎn)生的誤差稱為觀測誤差,37,截斷誤差： 在求解過程中，往往以近似替代，化繁為簡，這樣產(chǎn)生的誤差稱為截斷誤差。

9、舍入誤差： 在計算機上運算時受機器字長的限制，一般必須進行舍入，此時產(chǎn)生的誤差稱為舍入誤差,38,誤差和有效數(shù)字,39,絕對誤差 是為了衡量x*的精度高低，比較直觀，但無法衡量精度的好壞。 而相對誤差（也成百分比誤差），衡量好壞更合理,40,誤差估計,由于準確值在一般情況下是未知的，因此絕對誤差和相對誤差常常是無法計算的，但有可能給出估計。 誤差界就是用于誤差估計的,41,誤差估計,42,43,有效數(shù)字,在工程上，誤差的概念就轉(zhuǎn)化為有效數(shù)字,44,45,例：求1.3824具有幾位有效數(shù)字,46,絕對誤差，相對誤差，有效數(shù)是度量近似數(shù)精度的常用三種。實際計算時最終結果均以有效數(shù)給出。同時也就隱含

10、了絕對誤差和相對誤差界,47,48,函數(shù)值的誤差估計,引入微分符號,49,50,51,1.2.3 函數(shù)值的誤差估計,52,53,54,55,56,多元函數(shù)誤差估計,57,58,例題,59,60,61,1.3算法的優(yōu)化,算法優(yōu)劣的標準 從截斷誤差觀點看,算法必須是截斷誤差小,收斂斂速要快。即運算量小,機器用時少. 從舍入誤差觀點看,舍入誤差在計算過程中要能控制,即算法的數(shù)值要穩(wěn)定. 從實現(xiàn)算法的觀點看,算法的邏輯結構不宜太復雜，便于程序編制和上機實現(xiàn),62,設計算法時應遵循的原則 要有數(shù)值要穩(wěn)定性,即能控制誤差的傳播. 避免大數(shù)吃小數(shù),即兩數(shù)相加時,防止較小的數(shù)加不到較大的數(shù)上. 避免兩相近的數(shù)相減,以免有效數(shù)字的大量丟失. 避免分母很