復(fù)數(shù)題型歸納(史上最全)(最新整理)

1、北師大版數(shù)學(xué)選修 2-2 第五章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入自我總結(jié)卷一、選擇題：1、復(fù)數(shù) z = 1+ i （ i 是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)(z +1)(z -1) 虛部是()【答案】d a、-1+2 ib、-1c、2 id、21、a = 0 是復(fù)數(shù)a + bi(a, b r) 為純虛數(shù)的（）【答案】ba、充分條件b、必要條件c、充要條件d、非充分非必要條件 1、已知復(fù)數(shù) z1 = 3 + 4i ， z2 = t + i ，且 z1 az2 是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)t 等于(a)期中考試題3443a.b.cd433434解析 z1z2(34i)(ti)(3t4)(4t3)i.因?yàn)?z1z2是實(shí)數(shù)，所以 4t30

2、，所以 t .因此選 a.1、若復(fù)數(shù)(m2 - 3m - 4) + (m2 - 5m - 6)i 是虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m 滿足（）【答案】d第 4 頁(yè) 共 11 頁(yè)（ a） m -1m 6（b） ） m 6(c)m -1或 m 6(d)m -1且1、若 z1 , z2 c ，則 z1 z2 + z1 z2 是（）【答案】b a純虛數(shù)b實(shí)數(shù)c虛數(shù)d無(wú)法確定1、若(x2 -1) + (x2 + 3x + 2)i 是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù) x 的值是（ ）【答案】aa1b-1c 1d 以上都不對(duì)1. 已知復(fù)數(shù) z = m + 2i, z = 3 - 4i, 若 z1 為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m 的值為() 【答案】d12a

3、、2b -2z2c、 3d - 3222 i 表示虛數(shù)單位，則i1 + i 2 + i 3 + l + i 2008 的值是（）答案aa0b1c i22、已知 z = - 1+ i , 則1+ z50 + z100 的值為（a）a、 ib、1c、 2 + i(2 + 2i)4d - id、3(1- 3i)52 、 復(fù)數(shù)等于（）答案:ba1+ 3ib -1+ 3ic1- 3id -1- 3i2、復(fù)數(shù)( 1- i )10 的值是（）【答案】a1+ ia1b1c32d322、已知 x + 1 = 1，則 x1996 +x1x1996的值為（ ）【答案】aa -1b1c -id i2、 f (n) =

4、 in + i-n , (n n + ) 的值域中，元素的個(gè)數(shù)是（b）a、2b、3c、4d、無(wú)數(shù)個(gè)3、在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)滿足| z +1|=| z - i | ，則所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合構(gòu)成的圖形直線 y = -x3、| z + 3 + 4i | 2 ，則| z | 的最大值為（b）a3b7c9d53. 若 z c 且| z |= 1，則| z - 2 - 2i | 的最小值是（c）2a 2b 2+ 1c 2- 1d2223如果復(fù)數(shù) z 滿足|zi|zi|2，那么|z1i|的最小值是()a1b.2c2d.5解析|zi|zi|2，則點(diǎn) z 在以(0,1)和(0，1)為端點(diǎn)的線段上，|z1i|表示點(diǎn) z

5、 到(1，1)的距離由圖知最小值為 1.答案a3若 z= 2 且 z + i = z - 1 ，則復(fù)數(shù) z =z = 2 (1 - i) 或 z = -2 (1 - i)3如果 z c ，且 z = 1，則 z -1 - 2i 的最大值為【答案】5+13若 z c 且| z + 2 - 2i |= 1,則| z - 2 - 2i | 的最小值是（b）答案:a2b3c4d53. 已知復(fù)數(shù) z = x + yi( x, y r ， x 1 )，滿足 z -1 = x ，那么 z 在復(fù)平面上對(duì)2應(yīng)的點(diǎn)(x, y) 的軌跡是()a圓b橢圓c雙曲線d拋物線1解析 zxyi(x，yr，x2)，滿足|z1|

6、x，(x1)2y2x2，故 y22x1. 答案 d3、已知方程| z - 2 | - | z + 2 |= a 表示等軸雙曲線，則實(shí)數(shù)a 的值為（a）2a、2b、2c、d、2224. 已知復(fù)數(shù) z = -1+ i ，則z 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第幾象限()【答案】c a一b二c三d四4. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) 2 - i 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()【答案】d1 + ia.第一象限b.第二象限c.第三象限d.第四象限a第一象限1+ ib第二象限c第三象限d第四象限已知 i 為虛數(shù)單位，則 i 所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)() 【答a 第一象限1 + ib 第二象限c 第三象限d 第四象限4在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) i+ (

7、1+3i)2 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()【答案】b4案】a5、(m + i)3 r ，則實(shí)數(shù)m 的值為（b）a 、2b、333c 、 d、 3 235、若 x c ，則方程| x |= 1+ 3i - x 的解是（c）a 、 1 +3 ib 、 x = 4, x = -1c、-4 + 3id 、 1 -3 i2212225、復(fù)數(shù) z = 1+ cosa+ i sina,(pa 2p) 的模是（b）a2 cosab2-2 cosa2c2 sin ad2-2 tan a26 2 + i1 - 2i+ 2 - i1 + 2i的值是()【答案】caib2ic0d 4 56復(fù)數(shù) z = 1- 3i 的虛部是()【

8、答案】b1+ ia 2b - 2(1 + 2i)2 - (2 - i)2c 2id - 2i61 - i1 + i等于()【答案】ba 3 - 4ib - 3 + 4ic 3 + 4id - 3 - 4i6若復(fù)數(shù)1+ ai （i 是虛數(shù)單位）的實(shí)部和虛部相等，則實(shí)數(shù) a 等于()【答案】d2 + ia-1b - 1 3c 13d36. 已知復(fù)數(shù) z1= 3 - bi, z2= 1 - 2i, 若 z1 是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)b 的值為()【答案】az2a6b-6c0d 1 67. 對(duì)于兩個(gè)復(fù)數(shù)a = - 1 +3 i ， b = - 1 -3 i ，有下列四個(gè)結(jié)論： ab = 1；a = 1；b222

9、2ab= 1 ； a3 + b3 = 1 ，其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）【答案】ba 1b2c 3d47. 下面是關(guān)于復(fù)數(shù) z =21- i的四個(gè)命題:【答案】cp1 : z= 2 ,p : z2 = 2ip3 : z 的共軛復(fù)數(shù)為-1+ ip4 : z 的虛部為12其中真命題為()a. p2 , p3b. p1 , p2c. p2 , p4d. p3 , p422228. 若復(fù)數(shù) z 滿足方程 z 2 + 2 = 0 ，則 z 3 的值為（）【答案】ca. 2b. - 2c. 2id. - 2i12定義運(yùn)算|a b|adbc，則對(duì)復(fù)數(shù) zxyi(x，yr)符合條件|z 1 |32ic d的復(fù)數(shù)

10、 z 等于z 2i|解 析由 定 義 運(yùn) 算 ， 得 z 1 2zi z 3 2i， 則 z 32i (32i(12i(z 2i1812i i.(12i(12i(5518答案 i55二、填空題：1. 若復(fù)數(shù) z = 2t 2 - 3t - 2 + (t 2 - 4)i(t r) 為純虛數(shù)，則 t 的值為 【答案】- 122. 已知i 為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) z = 2 + i ，則 | z | .【答案】1 - i第 6 頁(yè) 共 11 頁(yè)1023. 若 i 為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù) 3 - i 1+ i【答案】1- 2i4. 已知2 - im1 + i= 1 - ni ，其中m, n 是實(shí)數(shù)， i 是虛數(shù)

11、單位，則m - ni =【答案】5. 若(a - 2i)i = b - i ，其中a, b r ， i 是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)a + bi = 【答案】-1+ 2ia + 3i6. 若復(fù)數(shù) 1 + 2i （ a r ， i 為虛數(shù)單位）是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)a 的值為 【答案】- 67、設(shè)w= - 1 +3 i ，則集合 a= x | x = wk +w-k (k z ) 中元素的個(gè)數(shù)是2 。228、已知復(fù)數(shù) z = 2 - i, z = 1- 3i ，則復(fù)數(shù)i + z2 =i z51211310 1- i 613 - 229、計(jì)算： - 2 +2 i - =答案： -+i22三、解答題：【復(fù)數(shù)的分類問(wèn)題

12、】1、實(shí)數(shù)m 取什么值時(shí)，復(fù)數(shù) z = m(m -1) + (m -1)i 是(）實(shí)數(shù)(）純虛數(shù)(）虛數(shù)【答案】(1）m=1(2）m=02、已知復(fù)數(shù) z = (2m2 + 3m - 2) + (m2 + m - 2)i ， (m r) 根據(jù)下列條件，求m 值.()z 是實(shí)數(shù)； ()z 是虛數(shù)；(） z 是純虛數(shù)；()z = 0 .【答案】 (1)當(dāng) m2+m2=0，即 m=2 或 m=1 時(shí)，z 為實(shí)數(shù)； (2)當(dāng) m2+m20，即 m2 且 m1 時(shí)，z 為虛數(shù)；2m2 + 3m - 2 = 0m = 1 或m = -2(3)當(dāng) m2 + m - 2 0，解得2，即m =m -2且m 11時(shí)

13、，z 為純虛數(shù)；22m2 + 3m - 2 = 0m = 1 或m = -2(4)當(dāng) m2 + m - 2 = 0，解得2，即 m=2 時(shí)，z=0.m2 - m - 6m = -2或m = 123、m 取何值時(shí)，復(fù)數(shù) z =+ (m m + 3- 2m -15)i()是實(shí)數(shù)；()是純虛數(shù).【答案】(1)(2)m2 - 2m - 15 0m + 3 0m2 - m - 6 = 0 m = 3或m = -2當(dāng)m = 3或m = -2時(shí)，z是純虛數(shù).4、設(shè)復(fù)數(shù) z = lg(m2 - 2m - 2)+ (m2 + 3m + 2)i ，當(dāng)m 取何實(shí)數(shù)時(shí)？() z 是純虛數(shù)；() z 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面

14、的第二象限。lg(m2 - 2m - 2) = 0【答案】（1） z 是純虛數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)m2，+ 3m + 2 0解得， m = 3lg(m2 - 2m - 2) 0- 1 m 1 -33, 或1 + m 3m -1所以當(dāng)- 1 m 1 -3或1 +3 m 3 時(shí)，z 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第二象限。第 7 頁(yè) 共 11 頁(yè)【求復(fù)數(shù)類型】1、設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足z =，且(1 + 2i) z ( i 是虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直10線 y = x 上，求 z .10【答案】設(shè) z = x + yi （ x、y r ）| z |=， x2 + y2 = 10而(1 + 2i)z = (1 + 2i

15、)(x + yi) = (x - 2 y) + (2x + y)i又 (1 + 2i ) z 在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線 y = x 上， x - 2 y = 2x + y x2 + y2 = 10x = 3x = -3即x = -3y， y = -1或 y = 1即 z = (3 - i)2、求虛數(shù) z ，使 z + 9 r ，且 z - 3 = 3 .z解：設(shè) z = a + bi(a, b z且b 0) ，則 ： z + 9 = a + bi +z9a + bi= (a +9aa 2 + b 2) + (b -9ba 2 + b 2)i ， 由 z + 9 r 得zb -9ba 2 + b

16、 2= 0 ，又b 0 ，故 a 2 + b 2 = 9 ；a = 3又由 z - 3 = 3 得：(a - 3) 2 + b 2= 3 ，由得2， 即 z = 3 +3323 3 i2或 z = 3 - 323 i 。2b = 23、把復(fù)數(shù) z 的共軛復(fù)數(shù)記作 z ，已知(1 + 2i)z = 4 + 3i ，求 z 及 z 。z解：設(shè) z = a + bi(a, b r) ，則 z = a - bi ，由已知得(1 + 2i)(a - bi) = 4 + 3i ，化簡(jiǎn)得： (a + 2b) + (2a - b)i = 4 + 3i ，所以 a + 2b = 4,2a - b = 3 ，解得

17、 a = 2, b = 1 ，所以 z = 2 + i ，z = 2 + i = 3 + 4 i 。 z2 - i554、設(shè)a, b 為共軛復(fù)數(shù)，且(a + b)2 - 3abi = 4 -12i，求a, b 的值?！窘處熡脮拷猓涸O(shè)a = x + yi, b = x - yi, (x, y r) 。帶入原方程得4x2 = 4,4x2 - 3(x2 + y2 )i = 4 -12i ，由復(fù)數(shù)相等的條件得3(x2 + y2 ) = 12.第 11 頁(yè) 共 11 頁(yè)解得x = 12 y = x = -133或 y = .對(duì)應(yīng)四組解略。5、已知 z,w為復(fù)數(shù)， (1+ 3i) z 為純虛數(shù)，w=求復(fù)

18、數(shù)w。（教師用書章末小結(jié)題）z2 + i，且|w|= 5。解法 1：設(shè) z = x + yi, (x, y r) ， 則 (1+ 3i) z = (x - 3y) + (3x + y)i 為純虛數(shù)， 所以x = 3y 0 ，因?yàn)閨w|=|z2 + i|= 5，所以| z |= 5 15 + 5i10；又 x = 3y 。2x2 + y2解得 x = 15, y = 5; x = -15, y = -5計(jì)算）所以w= = (7 - i) 。（還可以直接2 + i解法2：設(shè)wx+yi(x，yr)，w =z z = w(2 + i ) = (x + yi) (2 + i )2 + i2依題意得(1+

19、3i)(2+i)w(1+7i)w為實(shí)數(shù)，且|w|5，7x - y = 0 x2 + y2 = 50 ，x = 1x = -1解之得 y = 7 或 y = -7 ，w1+7i 或w17i。解法3：（提示：設(shè)復(fù)數(shù)z，直接按照已知計(jì)算，先純虛數(shù)得a = 3b ，再模長(zhǎng)得w=6、已知復(fù)數(shù)滿足| z - 4 |=| z - 4i |, 且 z + 14 - z 為實(shí)數(shù)，求。z -17b - bi）5解： z = x + yi, (x, y r) ，因?yàn)閨 z - 4 |=| z - 4i |, 帶入得 x = y ，所以 z = x + xi, x r又因?yàn)?z +14 - z z -114 - z為

20、實(shí)數(shù)，所以 z += z +z -114 - z，z -1化簡(jiǎn)得，所以有 z - z = 0 或| z -1|2 = 13由 z - z = 0 得 x = 0 ；由| z -1|2 = 13 得 x = -2,或x = 3 。所以 z = 0; z = -2 - 2i; z = 3 + 3i.（也可以直接用代數(shù)形式帶入運(yùn)算）7、求同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的所有復(fù)數(shù)；（1） z + 10 r ，且1 z + 10 6 ；（2）的實(shí)部與虛部都是整數(shù)。zz解：設(shè) z = x + yi, (x, y r)1010則 z += x + yi += x + yi +10(x - yi)= x(1+10) +

21、 y(1-10)izx + yix2 + y2x2 + y2x2 + y210因?yàn)?z + r ，所以 y(1-z10x2 + y2) = 0 。所以 y = 0或x2 + y2 = 10 。當(dāng) y = 0 時(shí)， z = x ，又1 6 ，所z以在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解。2210zz z1當(dāng) x + y = 10 時(shí)，則 z += z += z + z = 2x 。由1 2x 6 x 3zz2因?yàn)?x, y 為正整數(shù)，所以 x 的值為 1，或 2，或 3。當(dāng) x = 1時(shí), y = 3; 當(dāng) x = 2時(shí), y = 6(舍) ；當(dāng) x = 3時(shí), y = 1。則 z = 1 3i或, z = 3 i

22、?！靖膯?wèn)題】1、關(guān)于 x 的方程是 x 2 - (tanq+ i)x - (2 + i) = 0 ；若方程有實(shí)數(shù)根，求銳角q和實(shí)數(shù)根；解：設(shè)實(shí)數(shù)根是 a ，則 a 2 - (tanq+ i)x - (2 + i) = 0 ，a 2 - a tanq- 2 = 0,即 a 2 - a tanq- 2 - (a +1)i = 0 ， a 、 tanq r ， a + 1 = 0; a = -1, 且tanq= 1 ，又0 qp，q=2p, a = -1；42、若關(guān)于 x 的方程 x2 + (1+ 2i)x + 3m + i = 0 有實(shí)根，則實(shí)數(shù)m 等于()a. 1b. 1 ic - 1d -

23、1 i1212【答案】a【向量計(jì)算】12121、在復(fù)平面上，設(shè)點(diǎn) a、b、c ，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為i,1, 4 + 2i 。過(guò) a、b、c 做平行四邊形 abcd ，求此平行四邊形的對(duì)角線 bd 的長(zhǎng)。解：由題知平行四邊形三頂點(diǎn)坐標(biāo)為 a(0,1), b(1, 0), c(4, 2) ，設(shè) d 點(diǎn)的坐標(biāo)為 d(x, y)uuruuurx - 4 = -1,x = 3。因?yàn)?ba = cd ，得(-1,1) = (x - 4, y - 2) ，得 y - 2 = 1. 得 y = 3 ，即 d(3, 3)=uuur所以 bd(2, 3)， 則| bd |=。132、(本小題滿分 12 分) 在復(fù)平

24、面上，正方形 abcd 的兩個(gè)頂點(diǎn) a，b 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1+ 2i ， 3 - 5i 。求另外兩個(gè)頂點(diǎn) c，d 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)。uuur解：設(shè) d（x,y）ad = x + yi - (1+ 2i) = x -1+ ( y - 2)i = (x -1, y - 2)- -=uuuruuuradab(x 1) 27( y2)0(x -1)2 + ( y - 2)2uuur5353ad = ab =x = -6 或 x = 8 z = -6或z= 8 + 4i y = 0 y = 4ddbcad由 zuuur = zuuur zc - zb = zd - za zc = zd - za + zbz

25、d = -6或 zd = 8 + 4iz = -4 - 7iz = 10 - 3i c c3、 在 復(fù) 平 面 內(nèi) ，o 是 原 點(diǎn) ，uuuroa ，uuuroc ，uuurab 表 示 的 復(fù) 數(shù) 分 別 為-2 + i，3 + 2i，1 + 5i ，那么uuur bc 表示的復(fù)數(shù)為 4-4i4. 如圖在復(fù)平面上，一個(gè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1+ 2i ， -2 + i ,0，那么這個(gè)正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為()a3ib3ic13id13i解析ocoaob12i2i13i，所以 c 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為13i.答案d【雜亂】21、計(jì)算(1 + 2i) i100 + (1 - i )5 2 - (1 + i )201 + i解：(1 + 2i) i100 + (1 - i )5 2 -1 + i1 + i220()2、已知復(fù)數(shù) z= (1+ 2i) 1+ (-i)5 2 - i10= (1+ i )2 - i10 = 1+ 2i= m + (4 - m2 )i ， (m r) ， z= 2 cosq+ (l+ 3sinq)i ，