數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用畢業(yè)論文

1、16 題 目： 數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用 目 錄摘要3關(guān)鍵詞3前言41.數(shù)形結(jié)合在概念教學(xué)中的應(yīng)用51.1代數(shù)概念教學(xué)中的數(shù)形結(jié)合51.2幾何概念教學(xué)中的數(shù)形結(jié)合72.數(shù)形結(jié)合在解題教學(xué)中的應(yīng)用82.1數(shù)形結(jié)合解方程82.2數(shù)形結(jié)合解決不等式問題102.3數(shù)形結(jié)合解決數(shù)列問題102.4數(shù)形結(jié)合求參數(shù)112.5數(shù)形結(jié)合求概率122.6數(shù)形結(jié)合求解平面向量問題122.7數(shù)形結(jié)合求最值132.8數(shù)形結(jié)合解決復(fù)數(shù)問題132.9數(shù)形結(jié)合在集合問題中的應(yīng)用143.小結(jié)154.致謝155.參考文獻16數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用摘 要 ： 數(shù)形結(jié)合反映數(shù)學(xué)問題與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系。本文結(jié)合高中數(shù)學(xué)教

2、學(xué)，在數(shù)學(xué)概念與解題教學(xué)兩個方面對數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用進行了較為系統(tǒng)、深入的探討。關(guān)鍵詞： 數(shù)形結(jié)合；數(shù)學(xué)概念；解題教學(xué)Application of the Combination of Quantities and Spatial Forms in Mathematics Teaching Abstract: The combination of quantities and spatial forms reflects the intrinsic link between mathematical problems and conclusions. In this paper, we make

3、some discussions the use of combination of quantities and spatial forms in mathematics concept and the teaching of problem solving.Key words: combination of quantities and spatial forms; Mathematical concepts, problem solving instruction前言所謂數(shù)形結(jié)合是指數(shù)與形之間一一對應(yīng)的關(guān)系，根據(jù)數(shù)學(xué)問題的題設(shè)與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其數(shù)量關(guān)系又揭示其幾何直觀，將抽象

4、的數(shù)學(xué)語言和數(shù)量關(guān)系與直觀形象的幾何圖形結(jié)合起來，使復(fù)雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，從而優(yōu)化解決問題的途徑。數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的實質(zhì)在兩個方面，1、以數(shù)輔形，就是通過具體的數(shù)量關(guān)系來確定和規(guī)范幾何圖形；2、以形助數(shù)，通過形象直觀的圖形來反映精確的數(shù)量關(guān)系。因此，數(shù)形結(jié)合的研究對象很明了：數(shù)與形?？偠灾?，數(shù)形結(jié)合就是數(shù)與形之間的相互取長補短。數(shù)形結(jié)合思想作為一個重要的基本數(shù)學(xué)思想貫穿整個數(shù)學(xué)教育過程中，教師應(yīng)該從一開始的函數(shù)體系中的數(shù)形結(jié)合慢慢滲透，培養(yǎng)學(xué)生建立起這種思想，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。在運用數(shù)形結(jié)合的過程中我們應(yīng)當(dāng)注意：1，徹底了解一些概念和運算的幾何意義和圖形的數(shù)量特

5、征；2、正確使用參數(shù)，建立合理的關(guān)系，做好數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)換；3、精確確定參數(shù)的取值范圍?？傊?，要切實把握好等價性原則。我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說過，“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”。那么我們就從兩個方面來探究數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，也是對華羅庚先生的話的理解。1 數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用每一個新概念的形成都必須經(jīng)歷一個由具體的直觀形象思維逐步發(fā)展為抽象概括思維的過程。那么在教學(xué)中運用數(shù)形結(jié)合思想來揭示概念的內(nèi)涵，可加深學(xué)生對概念的理解，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)，接受新概念的主觀能動性。數(shù)學(xué)概念是對現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的概括反映，它是用數(shù)學(xué)語言和符號揭示事物本質(zhì)屬性的思維

6、形式， 因而更具有抽象性。通過數(shù)形結(jié)合，巧妙找尋學(xué)生現(xiàn)實起點；數(shù)形結(jié)合，促進學(xué)生理解概念的本質(zhì)； 數(shù)形結(jié)合， 讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)之美感. 從而為建構(gòu)數(shù)學(xué)概念奠定扎實的基礎(chǔ)。1.1 代數(shù)概念教學(xué)中的數(shù)形結(jié)合代數(shù)概念就有高度的抽象性，學(xué)生理解起來相當(dāng)?shù)挠欣щy，因此借助數(shù)形結(jié)合幫助學(xué)生理解，如下例：例1 數(shù)列極限的概念數(shù)列極限的概念抽象難懂，它是由有限過渡到無限的轉(zhuǎn)折點，學(xué)好它對于師范專科學(xué)生正確地建立無限的概念、導(dǎo)數(shù)的概念和今后進一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)有著極其重要的意義。教學(xué)時先復(fù)習(xí)數(shù)列的概念： 數(shù)列是按照一定順序排列的一列數(shù)。如：通過觀察分析前幾個典型數(shù)列（無窮數(shù)列）每一項的變化趨勢，得到第一感性認識（極

7、限的粗淺定義）觀察分析無窮數(shù)列、：當(dāng)項數(shù)n 越來越大時，數(shù)列中項的變化趨勢是越來越接近于0，0，1，（對于上述三個數(shù)列， 師生共同計算幾個具體的項，看它的變化趨勢）當(dāng)項數(shù)n 無限增大時，的變化趨勢又怎樣呢？ 通過觀察，學(xué)生會馬上說出： 無限地接近于0，0，1。抽象到一般：對于數(shù)列，當(dāng)項數(shù)n 無限大時， 數(shù)列中的項無限地趨近于一個常數(shù)A，稱A 是數(shù)列的極限。通過數(shù)軸上的點，理解數(shù)列中的項“無限地趨近于A”的意義。我們把數(shù)列、的前n 項對應(yīng)的點在數(shù)軸上形式表示出來，如圖：當(dāng)項數(shù)n 無限增大時，數(shù)列中的項無限地趨近于1， 在數(shù)軸上反映出來就是：對應(yīng)的點與1對應(yīng)點的距離可以無限地小或者說可以任意小。數(shù)

8、列、呢？ 那么這個距離怎樣的小才是“任意小”？ 能否用數(shù)學(xué)式子來表示，如何刻劃這個“任意小”呢？ 數(shù)列中的項對應(yīng)的點與A （這里A=0）的距離可以用| -A|來表示，師生列表計算| -0|的值，得出它們的距離可以任意小，也就是| -A|可以任意小。對于數(shù)列就是| -1|的值可以任意小。數(shù)列極限的準確定義：數(shù)列無限地趨近于常數(shù)A，就是對應(yīng)的點與常數(shù)A 對應(yīng)的點的距離可以任意小，用數(shù)學(xué)式子表達為| -A|， 于是我們可以得到課本中的準確定義：對于一個無窮數(shù)列，如果存在一個常數(shù)A，無論預(yù)先指定多么小的正數(shù)， 都能在數(shù)列中找到一項，使得這一項以后所有的項與A 的差的絕對值都小于， 則稱常數(shù)A 是數(shù)列的

9、極限。又如我們在講解“絕對值”這一概念時，教師會讓學(xué)生先在數(shù)軸上找出+1，-1所對應(yīng)的點，讀出兩點離原點的距離，這樣就引出為題：，則x=？于是可以引導(dǎo)出：有理數(shù)的絕對值是指數(shù)軸上有理數(shù)點到原點的距離。若距離為零，該有理數(shù)為零；若距離為正數(shù)，則包含了原點左右的距離相等的兩點；若距離為負數(shù)，則不存在。這樣就加深了絕對值概念的理解。再如：在講解高一數(shù)學(xué)第二章的“函數(shù)的單調(diào)性”這一概念時，首先應(yīng)借助前一節(jié)冪函數(shù)的內(nèi)容，列舉等函數(shù)的圖像，結(jié)合幾個函數(shù)的特征，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖像上升（下降）時，自變量x變化過程中，函數(shù)值y的變化情況，根據(jù)這些變化情況運用抽象的數(shù)學(xué)語言概括一下，就能得到“函數(shù)單調(diào)性”這一概念。

10、通過上述3個典型的代數(shù)概念的分析數(shù)形結(jié)合的運用，可總結(jié)為以形輔數(shù)。1.2 幾何概念教學(xué)中的數(shù)形結(jié)合例 2 拋物線的定義解析幾何中的概念復(fù)雜且難以記憶和理解，唯有通過圖形與數(shù)量關(guān)系的有效結(jié)合才能做出完整的詮釋，方便學(xué)生接受。在介紹“拋物線”概念的時候，教師應(yīng)該從直觀視覺上讓學(xué)生感受，認識拋物線，即畫出一個拋物線的圖像（如圖）。就這樣畫出個圖像能說明什么呢？學(xué)生只是初步的感知到：這就是拋物線？這樣的圖像只是個獨立的圖形，毫無意義。所以，需要教師賦予這個圖形以意義或者說是屬性；將拋物線的圖像納入坐標系中，通過圖形在坐標上的位置關(guān)系，來賦予圖形一些屬性。因此我們結(jié)合圖形給出拋物線的定義：平面內(nèi)，到一個

11、定點F和不過點F的一條定直線L距離相等的點的軌跡稱之為拋物線，且定點不再定直線上。這樣給這條曲線做了要求，拋物線的概念就被死死訂在這個抽象而又具體的思維范疇。根據(jù)上面的基本定義，我們還可以得到焦點，準線等等概念。這堪稱是數(shù)與形的完美結(jié)合，相輔相成。在講解幾何概念中的數(shù)形結(jié)合時，我們不得不引出向量這概念，向量既有數(shù)的運算又有形的運算，是數(shù)與形轉(zhuǎn)換的載體，其重要性，不言而喻。具體向量的作用我們將在具體解題教學(xué)中應(yīng)用介紹。幾何除了解析幾何還有個重要的部分立體幾何。例如在講解立體幾何中的線與面垂直的概念時，我們引入向量，利用向量來定義這一概念：講立體幾何圖形：線，面；納入到空間坐標系中，那么就是賦予圖

12、形代數(shù)意義。如何定義線面垂直呢？根據(jù)我們學(xué)過的平面向量的運算性質(zhì)：兩向量的乘積為零，則兩向量垂直即兩條向量所代表的一系列的直線垂直。同理，我們引入法向量，若直線的方向向量與平面的法向量成正比關(guān)系，我們稱該直線與平面垂直。通過上述二例可見數(shù)形結(jié)合的神奇，實在令人嘆為觀止。數(shù)形結(jié)合在幾何概念教學(xué)中的應(yīng)用可總結(jié)為：以數(shù)助形。綜上所述，在教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想，能夠直接影響到學(xué)生以后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時的分析思維，是概念學(xué)習(xí)的敲門磚。數(shù)形結(jié)合思想不僅僅在概念教學(xué)中擁有強大的功能，同樣在解題教學(xué)中發(fā)揮著其中流砥柱的作用，是學(xué)生解決問題之門的金鑰匙。我們就高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的具體實例來探究數(shù)形結(jié)合在解題教學(xué)中的

13、應(yīng)用。2 數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用數(shù)形結(jié)合解決數(shù)學(xué)問題的一個有力的工具，也是高中數(shù)學(xué)中極為重要的基本方法之一，通過數(shù)形結(jié)合可將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀圖形相結(jié)合，是抽象思維與形象思維相結(jié)合，縮短思維連，簡化思維過程。2.1 數(shù)形結(jié)合解方程（1）求方程的解的個數(shù)問題，主要是把方程的解的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點個數(shù)的問題，利用數(shù)形結(jié)合，將問題直觀化，具體化。例 3 試就實數(shù)m的取值情況，討論關(guān)于x的方程的解的個數(shù)。解析：如果去掉絕對值，直接從方程的角度很難入手，而如果利用兩個函數(shù)圖像交點的個數(shù)，結(jié)果便一目了然。令和，在同一坐標系中做出他們的函數(shù)圖像,如圖，由圖可知 當(dāng)或時，兩圖像只有一個交

14、點，原方程有唯一解；當(dāng)時，兩圖像有兩個交點，原方程有兩個解；當(dāng)時，兩圖像無交點，原方程無解。 （2）數(shù)形結(jié)合求方程所有根的和的問題，應(yīng)當(dāng)作出相應(yīng)的圖像，并根據(jù)圖像的對稱性來求解。 例 4 若滿足，滿足，則 ( ) A B 3 C D 4 解析：將所給兩個條件變形處理，利用函數(shù)圖像的對稱性求解。將已知條件變形為：，構(gòu)造函數(shù)，作出以上3個函數(shù)以及圖像，如圖：由題意知，函數(shù)與關(guān)于直線對稱，又直線與垂直且圖像交點橫坐標為，根據(jù)圖像對稱性知，。（3） 數(shù)形結(jié)合解決給出方程解的個數(shù)求相關(guān)參數(shù)取值范圍的問題，準確作出相應(yīng)函數(shù)的圖像，將圖形語言轉(zhuǎn)換為符號語言。例 5 已知以為周期的函數(shù)，其中，若方程恰有5個實

15、數(shù)解，則的取值范圍是_ .解析：將變形為問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖像有5個交點，根據(jù)題意作出兩個函數(shù)的大致圖像，要滿足兩個圖像恰有5個交點，只需與有兩個不同交點且與沒有交點。兩次聯(lián)立上述方程，根據(jù)的正負情況解得2.2 數(shù)形結(jié)合解決不等式問題例 6 設(shè)，求證：證明：如圖作單位正方形OPQR，令OA=a，OB=b于是問題轉(zhuǎn)化為OC+PC+QC+RC，這顯然是成立的，事實上，OC=，PC=，QC=，RC=，OQ=PR=，由OC+RC+PC+QCOQ+PR，故原不等式成立。例 7 不等式組的解集為則a的取值范圍是多少？解析：本題雖然難度不打，用代數(shù)方法也可解出來，但是出于一般性的原則，利用數(shù)形結(jié)合才是最佳選

16、擇。如圖：這兩種情況無解。這3中情況分別討論，可得出答案。2.3 數(shù)形結(jié)合解決數(shù)列問題數(shù)列的本質(zhì)是定義在自然數(shù)集上的函數(shù)，我們運用函數(shù)的觀點來認識數(shù)列，理解數(shù)列，用研究函數(shù)的方法研究數(shù)列，用數(shù)形結(jié)合方法解決數(shù)列問題。例 8 等差數(shù)列中，則（1）n=_時，取得最大值；（2）=_.解析：由于等差數(shù)列前n項和可寫成的形式。有已知可知對應(yīng)的二次函數(shù)的對稱軸應(yīng)是x=8，且公差小于零，開口向下，有最大值，于是可知n=8時，取得最大值。因為該二次函數(shù)圖像過原點，故過點（16，0），即=0。由本題我們可以得到一般性的結(jié)論：已知等差數(shù)列中，前n項和為，已知（p不等于q），則（1）（2）當(dāng)p+q為偶數(shù)，n=時，取

17、得最大值；當(dāng)p+q為奇數(shù)，n=時，取得最大值。2.4 數(shù)形結(jié)合求參數(shù)在處理有關(guān)含參數(shù)的問題時, 若注意應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想, ?？梢曰橄鬄橹庇^, 有利于抓住本質(zhì), 找到解題的突破口。例 9 已知函數(shù)當(dāng)時有最大值，求a的取值范圍。解析：經(jīng)配方得，故此拋物線的頂點為但是個動點，而定直線x=0和x=2將坐標平面分成3個區(qū)域，又因拋物線開口向下，所以頂點的縱坐標為最大值。如圖，只有頂點位于二定位直線間（包括兩條直線）時，才能保證拋物線在上取得最大值，所以。2.5 數(shù)形結(jié)合求概率許多概率問題, 若能借助于坐標平面或其他數(shù)學(xué)模型, 將數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為形的問題, 以形助數(shù), 不僅能迅速找到解題的切入點, 而且

18、還能優(yōu)化解題過程, 提高解題速度。例 10 在長度為a的線段上取兩點將其分成三段, 求這三段可以構(gòu)成一個三角形的三邊的概率。解析：設(shè)這三段可以構(gòu)成一個三角形的三邊的事件為A, 線段被分成三段的長度分別為x、y、a- x- y, 則樣本空間Q為0xa, 0ya, 0x+ya- x- y, x+( a- x- y) y, y+( a- x- y) x, 即0x , 0y , x+ya.滿足條件的圖形是圖中陰影部分CDE, 其面積= .故所求概率P( A) = = 。例 11 同時拋擲兩枚骰子, 則至少有一個5點或6點的概率為多少?解析如圖, 從圖中容易看出基本事件的全體構(gòu)成的集合與點集S=( x,

19、 y) xN,yN, 1x6, 1y6 中的元素一一對應(yīng), S 中點的總數(shù)是66=36 個, 所以基本事件的總數(shù)n=36.記“至少有一個5 點或6 點的事件為A”, 從圖中可看到事件A 包含的基本事件數(shù)共20 個, 故所求概率P( A) = = 。2.6 數(shù)形結(jié)合求解平面向量問題利用向量數(shù)量積可以解決有關(guān)角度、距離、位置關(guān)系等問題, 另一方面, 向量的運算都有它的幾何意義, 一些與向量有關(guān)的計算,用幾何方法也可以解決. 通常是利用向量數(shù)量積求解的, 但我們看到利用向量運算的幾何意義, 也可以在圖形中找到解決問題的方法。例 12 設(shè)向量a, b,c滿足a + b + c = 0, (a - b)

20、垂直于c, a 垂直于b, 若| a | = 1, 則| a |2 + | b |2 + | c |2 的值是_解 如圖所示, 在平面上任取一點O,作OA = a, OB = b, 以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OBCA, 則BA = a - b, CO = - ( a+ b) =c. 由( a - b)垂直于c, a垂直于b, 知平行四邊形OBCA是對角線互相垂直的矩形, 即正方形。2.7 數(shù)形結(jié)合求最值求最值是數(shù)學(xué)中一個重要的專題，而解析幾何中的一些概念和公式也被廣泛利用，方法簡潔實用。如：斜率，截距，點與點的距離公式，點到直線距離公式，以及直線與直線的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系等。例

21、13 如果實數(shù)x,y滿足，求的最大值。解析：條件中的方程在解析幾何中表示圓，而，即表示圓上點與原點的連線的斜率，如圖，易得此斜率的最值應(yīng)該是直線與圓相切時取得，易得最大值為。2.8 數(shù)形結(jié)合解決復(fù)數(shù)問題復(fù)數(shù)與形的關(guān)系是緊密聯(lián)系的, 這是因為復(fù)數(shù)集與復(fù)平面上的點集或向量OZ的集合構(gòu)成一一對應(yīng)的關(guān)系. 利用復(fù)數(shù)及其運算的幾何意義, 應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想, 可以使許多復(fù)數(shù)問題變得簡單、直觀。例 14 設(shè)，都是復(fù)數(shù)，且=3，=5，=7，求arg的值。解析：設(shè),在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別為,( 如圖) , 則在中, 由余弦定理得co s= =,從而，=,故arg（）= =。2.9 數(shù)形結(jié)合在集合問題中應(yīng)用例

22、 15 向50名學(xué)生調(diào)查對事件A,B的態(tài)度，有如下結(jié)果：贊成A的人數(shù)是全體人數(shù)的五分之三，其余的不贊成A；贊成B比贊成A的多三人，其余不贊成B；另外，對A,B都不贊成的學(xué)生數(shù)比對A,B都贊成的學(xué)生人數(shù)的三分之一多1人。問：對A,B都贊成的學(xué)生數(shù)和對A,B都不贊成的學(xué)生數(shù)各是多少？解析：本題根據(jù)題意，直接畫出韋恩圖，可以直觀形象的表示出數(shù)量關(guān)系。如圖所示：直接求出人數(shù)分別為：都贊成的人數(shù)21人，都不贊成的人數(shù)8人。間接性毋庸置疑。當(dāng)然數(shù)形結(jié)合在解題教學(xué)中還有很多很多方面，僅以上9個方面，也夠我們重視在教學(xué)中對數(shù)形結(jié)合思想的滲透。小結(jié) 數(shù)形結(jié)合的運用實質(zhì)：由數(shù)到形，利用形的直觀性開拓解題思路；由形

23、到數(shù)，利用數(shù)量關(guān)系快速解題。數(shù)形轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)中解決問題的有力杠桿, 通過它可以把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決，反過來, 也可以把代數(shù)問題、三角問題轉(zhuǎn)化為幾何問題而獲解。針對一些學(xué)生在解題過程中, 常常忽視“形” 對“ 數(shù)” 的反作用,即不能熟練利用幾何圖形, 幫助解決數(shù)量關(guān)系, 或?qū)?shù)量關(guān)系作出直觀的說明和準確的解釋。在進行數(shù)形結(jié)合時，一定要注意其等價性?！?幾何問題代數(shù)化, 代數(shù)問題幾何化” , 這是數(shù)學(xué)內(nèi)在的和諧統(tǒng)一的美。在教學(xué)過程中, 要有強烈的數(shù)形轉(zhuǎn)換的意識, 才能增強分析問題、解決問題的技能與技巧,才能使學(xué)生自由馳騁于神奇的數(shù)學(xué)天地。致謝感謝我的導(dǎo)師，他嚴謹細致、一絲不茍的作風(fēng)一直是我

24、工作、學(xué)習(xí)中的榜樣；他循循善誘的教導(dǎo)和不拘一格的思路給予我無盡的啟迪。感謝同小組的同學(xué)對我的幫助和指點。他們的熱心地幫助和提供資料，使我如期完成了畢業(yè)論文。在論文即將完成之際，我的心情無法平靜，從開始進入課題到論文的順利完成，有多少可敬的師長、同學(xué)、朋友給了我無言的幫助，在這里請接受我誠摯的謝意！感謝寢室里的患難兄弟，是你們4年來對我的關(guān)愛，才使我的意志品質(zhì)變的如此堅強，大學(xué)真鍛煉人呀。我相最應(yīng)該感謝就是自己的父母，一切盡在不言中。參考文獻：1.黃智華 數(shù)形結(jié)合函數(shù)教學(xué)之魂課堂J. 教學(xué)研究 2008（04）.2.鄧冬萍 利用數(shù)形的直觀性解不等式 文理導(dǎo)航J. 2010（05）3.李洪洋 數(shù)形

25、結(jié)合解方程 高考數(shù)學(xué)J. 2008（01）4.蔡有顏 數(shù)形結(jié)合求參數(shù)例談 青海教育J. 2007（05）5.劉慶齡 淺析數(shù)形轉(zhuǎn)換 連云港教學(xué)學(xué)院學(xué)報J. 1997（4）6.董文婷 數(shù)形結(jié)合走進數(shù)學(xué)概念課 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究J. 2010（12）7.李蕾 淺析數(shù)形結(jié)合法 解題技巧與方法J. 2011 (05)8.伍慶成 數(shù)形結(jié)合的意義 科技信息 2000J.（07）9.鐘健 數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)個案測評與分析研究J.廣西教育學(xué)院學(xué)報,2006（05）內(nèi)部資料請勿外傳9JWKffwvG#tYM*Jg&6a*CZ7H$dq8KqqfHVZFedswSyXTy#&QA9wkxFyeQ!djs#XuyUP2k

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