高中物理競賽教程(超詳細)第十四講固體和液體

1、第三講固體和液體 31 固體的有關(guān)性質(zhì)固體可以分為晶體和非晶體兩大類。巖鹽、水晶、明礬、云母、冰、金屬等都是晶體；玻璃、瀝清、橡膠、塑料等都是非晶體。(1)晶體和非晶體晶體又要分為單晶體和多晶體兩種。單晶體具有天然規(guī)則的幾何外形，如雪花的形狀總是六角形的。并且， 單晶體在各個不同的方向上具有不同的物理性質(zhì)， 即各向?qū)浴Ｈ缌W性質(zhì) (硬度、彈性模量等 )、熱性性質(zhì) (熱脹系數(shù)、導熱系數(shù)等 )、電學性質(zhì) (介電常數(shù)、電阻率等 ) 、光學性質(zhì) (吸收系數(shù)、 折射率等 )。如云母結(jié)晶薄片，在外力作用下很容易沿平行于薄片的平面裂開， 但在薄片上裂開則要困難得多； 在云母片上涂一層薄薄的石蠟， 然后用燒

2、熱的鋼針去接觸云母片的反面， 則石蠟將以接觸點為中心、 逐漸向四周熔化， 熔化了的石蠟成橢圓形， 如果用玻璃片做同樣的實驗， 熔化了的石蠟成圓形， 這說明非晶體玻璃在各方向的導熱系數(shù)相同，而晶體云母沿各方向的導熱系數(shù)不同。因多晶體是由大量粒 (小晶體 )無規(guī)則地排列組合而成，所以，多晶體不但沒有規(guī)則的外形，而且各方向的物理性質(zhì)也各向同性。常見的各種金屬材料就是多晶體。但不論是單晶體還是多晶體，都具有確定的熔點，例如不同的金屬存在著不同的熔點。非晶體沒有天然規(guī)則的幾何外形， 各個方向的物理性質(zhì)也相同， 即各向同性。 非晶體在加熱時，先逐漸變軟，接著由稠變稀，最后成為液體，因此，非晶體沒有一定的熔

3、點。晶體在加熱時， 溫度升高到熔點，晶體開始逐漸熔解直到全部融化，溫度保持不變，其后溫度才繼續(xù)上升。因此，晶體有一定的熔點。(2)空間點陣晶體與非晶體性質(zhì)的諸多不同， 是由于晶體內(nèi)部的物質(zhì)微粒 (分子、原子或離子 )依照一定的規(guī)律在空間中排列成整齊的后列，構(gòu)成所謂的空間點陣的結(jié)果。圖 3-1-1 是食鹽的空間點陣示意圖， 在相互垂直的三個空間方向上，每一行都相間的排列著正離子 (鈉離子 )和負離子 (氯離子 )。晶體外觀的天然規(guī)則形狀和各向異性特點都可以用物質(zhì)微粒的規(guī)則來排列來解釋。在圖 3-1-2 中表示在一個平面上晶體物質(zhì)微粒的排列情況。從圖上可以看出， 沿不同方向所畫的等長直線 ab 、

4、ac 、ad 上，物質(zhì)微粒的數(shù)目不同， 直線 ab 上物質(zhì)微粒較多， 直線 ad上較少，直線ac 上更少。正因為在不同方向上物質(zhì)微粒b排列情況不同，才引起晶體在不同方向上物理性質(zhì)的不圖 3-1-1a同。c組成晶體的粒子之所以能在空間構(gòu)成穩(wěn)定、周期性的d空間點陣，是由于晶體微粒之間存在著很強的相互作用圖 3-1-2力，晶體中粒子的熱運動不能破壞粒子之間的結(jié)合，粒子僅能在其平衡位置 (結(jié)點處 )附近做微小的熱振動。晶體熔解過程中達熔點時，它吸收的熱量都用來克服有規(guī)則排列的空間點陣結(jié)構(gòu)，所以，這段時間內(nèi)溫度就不會升高。例題 : nacl 的單位晶胞是棱長a=5.610 10m 的立方體，如圖 7-1

5、-3 。黑點表示 na位置，圓圈表示 cl 位置，食鹽的整體就是由這些單位晶胞重復而得到的。na 原子量 23，cl 原子量 35.5，食鹽密度2.22 103g/m3 。我們來確定氫原子的質(zhì)量。在一個單位晶胞里，中心有一個na，還有 12 個 na 位于大立方圖 3-1-3體的棱上，棱上的每一個na同時為另外三個晶胞共有，于是屬于一個晶胞的na數(shù)12n 1 =1+ 4 =4，cl數(shù) n 2 =4。晶胞的質(zhì)量 m=4(m 1 +m 2 )原子質(zhì)量單位。3a =4(23+35.5) m h ，得 m h =1.67 1027kg。 3 2 固體的熱膨脹幾乎所有的固體受熱溫度升高時， 都要膨脹。

6、在鋪設鐵路軌時， 兩節(jié)鋼軌之間要留有少許空隙，給鋼軌留出體脹的余地。一個物體受熱膨脹時，它會沿三個方向各自獨立地膨脹，我們先討論線膨脹。固體的溫度升高時，它的各個線度(如長、寬、高、半徑、周長等)都要增大，這種現(xiàn)象叫固體的線膨脹。我們把溫度升高 1所引起的線度增長跟它在 0時線度之比，稱為該物體的線脹系數(shù)。設一物體在某個方向的線度的長度為 l ，由于溫度的變化 t 所引起的長度的變化 l 。由實驗得知，如果 t 足夠小，則長度的變化 l 與溫度的變化成正比，并且也與原來的長度 l 成正比。 即 l =l t式中的比例常數(shù)稱作線膨脹系數(shù)。對于不同的物質(zhì)，具有all不同的數(shù)值。 將上式改寫為其線度

7、的相對變化。l.t 。所以， 線膨脹系數(shù) 的意義是溫度每改變 1k 時，al t l 0l 0 t即：式中 a 的單位是 1/， l 0為 0時固體的長度， l t 為 t 時固體的長度，一般金屬的線脹系數(shù)大約在 10 5/ 的數(shù)量級。上述線脹系數(shù)公式，也可以寫成下面形式l tl 0 (1at )如果不知道 0時的固體長度，但已知t1 時固體的長度，則t 2 時的固體長度l 2 為l1l0 (1al1 ),l 2l 0 (1al 2 )l 2l 1(1al 2 ) l1 1 a(t 2 t1 )(1at1 )于是，這是線膨脹有用的近似計算公式。對于各向同性的固體，當溫度升高時， 其體積的膨脹可

8、由其線膨脹很容易推導出。為簡單起見，我們研究一個邊長為l 的正方體，在每一個線度上均有：lalt(1l ) 3l 3 (1at )3l 3 (1 3at 3a 2t 2a 3t 3 ) 。因固體的 值很小，則3a 2 t 2 , a3t 3與3at相比非常小，可忽略不計，則(ll ) 3l 3 (13at )v3av t式中的 3 稱為固體的體膨脹系數(shù)。隨著每一個線度的膨脹，固體的表面積和體積也發(fā)生膨脹，其面膨脹和體膨脹規(guī)律分別是s ts 0 (1t )v tv 0 (1t )考慮各向同性的固體，其面脹系數(shù)、體脹系數(shù) 跟線脹系數(shù) 的關(guān)系為 =2， =3。例 1:某熱電偶的測溫計的一個觸點始終保

9、持為 0，另一個觸點與待測溫度的物體接觸。當待測溫度為 t時，測溫計中的熱電動勢力為att 2其中 a0.20mv -1,5.0 10 4mv ? -2。如果以電熱電偶的熱電動勢 為測溫屬性，規(guī)定下述線性關(guān)系來定義溫標t ，即 t ab 。并規(guī)定冰點的 t 00，汽點的t 1000 ，試畫出 t t 的曲線。分析 :溫標 t 以熱電動勢 為測溫屬性，并規(guī)定 t 與 成線性關(guān)系。又已知 與攝氏溫標溫度 t 之間的關(guān)系，故t 與 t 的關(guān)系即可求得。系數(shù)a 和 b 由規(guī)定的冰點和汽點的t 值求得。解 :已知 tab,att 2，得出 t與 t 的關(guān)系為 tata t 2b 。規(guī)定冰點的 t0 ，

10、t00tc規(guī)定汽點的 t=100， t100 0 代入，即可求得系400/3a 與 b 為a1200mv 1100b=0,a1003于是， t 和 t 的關(guān)系為t20at20t 24 t1t 20100200300 400 t333300t t 曲線如圖3-2-1 所示， t 與 t 之間并非一一對圖 3-2-1400應，且 t有極值3。例 2:有一擺鐘在 25時走時準確，它的周期是2s，擺桿為鋼質(zhì)的，其質(zhì)量與擺錘相比可以忽略不計，仍可認為是單擺。當氣溫降到5時，擺鐘每天走時如何變化？已知鋼的線脹系數(shù)a1.2 10 5 -1 。分析 : 鋼質(zhì)擺桿隨著溫度的降低而縮短，擺鐘走時變快。不管擺鐘走時

11、準確與否，在盤面上的相同指示時間，指針的振動次數(shù)是恒定不變的，這由擺鐘的機械結(jié)構(gòu)所決定，從而求出擺鐘每天走快的時間。解 : 設 25擺鐘的擺長 l1m ，周期 t12s ， 5時擺長為 l 2 m ，周期 t2 s ，則t12l1 ,t22l 2gg由于 l2l 1 ，因此 t2t1 ，說明在 5時擺鐘走時加快243600在一晝夜內(nèi) 5的擺鐘振動次數(shù)n2t2，這溫度下擺鐘指針n2 t1243600t1指示的時間是t2。這擺鐘與標準時間的差值為t，t 24 3600 t1 24 3600 t22l1 (112.410 4 )243600g10.37sl1212.410 4g 3 3液體性質(zhì)3 3

12、 1、液體的宏觀特性及微觀結(jié)構(gòu)液體的性質(zhì)介于固體與氣體之間，一方面，它像固體一樣具有一定的體積，不易壓縮；另一方面，它又像氣體一樣，沒有一定的形狀，具有流動性，在物理性質(zhì)上各向同性。液體分子排列的最大特點是遠程無序而短程有序， 即首先液體分子在短暫時間內(nèi)， 在很小的區(qū)域 (與分子距離同數(shù)量級 )作規(guī)則的排列，稱為短程有序；其次，液體中這種能近似保持規(guī)則排列的微小區(qū)域是由諸分子暫時形成的， 其邊界和大小隨時改變， 而且這些微小區(qū)域彼此之間的方位取向完全無序， 表現(xiàn)為遠程無序。 因而液體的物理性質(zhì)在宏觀上表現(xiàn)為各向同性。液體分子間的距離小， 相互作用力較強， 分子熱運動主要表現(xiàn)為在平衡位置附近做微

13、小振動，但其平衡位置又是在不斷變化的，因而，宏觀上表現(xiàn)為液體具有流動性。3 3 2、液體的熱膨脹液體沒有一定的形狀，只有一定的體積，因此對液體只有體膨脹才有意義。實驗證明，液體的體積跟溫度的關(guān)系和固體的相同，也可以用下面的公式表示：vtv0 (1t )式中 v0 是在 0時的體積， vt 是液體在 t 時的體積， 是液體的體脹系數(shù)，一般液體的體脹系數(shù)比固體大1 2 個數(shù)量級，并且隨溫度升高有比較明顯的增大。液體除正常的熱膨脹外，還有反常膨脹的現(xiàn)象，例如水的反常膨脹，水在4時體積最小，密度最大，而4以下體積反而變大，密度變小，直到0時結(jié)冰為止，正是由于水的這一奇特的性質(zhì)， 使得湖水總是從湖面開始

14、結(jié)備，隨著氣溫下降， 冰層從湖面逐漸向下加厚，也虧得這一點，水中的生物才安然地度過嚴冬。3 3 3、物質(zhì)的密度和溫度的關(guān)系固體和液體的體積隨溫度而變化，這將引起物體的密度變化，設某物體的質(zhì)量為m，它m在 0時的體積為 v0 ，則 0時該物體的密度是0t ，體積 vt ，v0。設物體在 t 時密度則tmvt。又有 vtv0 (1t) ，式中 是固體或液體的體膨脹系數(shù)，代入t 表達式得tm0v0(1t)1 t 。例 1一支水銀溫度計， 它的石英泡的容積是0.300cm3，指示管的內(nèi)徑是0.0100cm，如果溫度從 30.0 升高至40.0 ，溫度計的水銀指示線要移動多遠？( 水銀的體脹系數(shù)3-4-

15、11.8210 4/ )解：查表可得石英的線脹系數(shù)a 0.410 6/ ，則其體脹系數(shù)為 3a 1.210 6/ 。與水銀的體脹系數(shù)1.8210 4/ 相比很小可忽略不計，所以當溫度升高時，可以認為石英泡的容積不變，只考慮水銀的膨脹，水銀體積的增量vv t1.8210 40.300105.4610 4 cm3水銀體積的增量，這是在水銀指示管中水銀上升的體積，所謂水銀指示線移動的長v度，就是水銀上升的高度，即hv /r 25.4610 47.0cm3.140.00050 2說明有些儀器，例如液體溫度計，就是利用液體體積的熱膨脹特性作為測量依據(jù)的。由于體脹系數(shù) 與測量物質(zhì)的種類有關(guān)， 而且即使是同

16、種物質(zhì)， 還與溫度及壓強有關(guān)，因此在使用這些儀器時，應考慮到由于 的變化而引起的測量誤差。例如一支水銀溫度計，在冰點校準為0，在水的沸點校準為100，然后將二者間均分100 份，刻上均勻刻度。嚴格地說，這種刻度是不準確的。 由于 值隨溫度的升而增大， 所以在高溫處刻度應該稀一些，在低溫處應該密一些；如果均勻刻度，則在測高溫時讀數(shù)會偏高，而在低溫時讀數(shù)會偏低。不過這種差別并不大，一般可以忽略。 34 液體的表面張力3 4 1、表面張力和表面張力系數(shù)液體下厚度為分子作用半徑的一層液體，叫做液體的表面層。 表面層內(nèi)的分子， 一方面受到液體內(nèi)部分子的作用，另一方面受到氣體分子的作用，由于cb這兩個作用

17、力的不同，使液體表面層的分子分布比液體內(nèi)部的分子分布稀疏，分子的平均間距較大，所以表面層內(nèi)液體分子的作f外用力主要表現(xiàn)為引力，正是分子間的這種引力作用，使表面層具有收縮的趨勢。da液體表面的各部分相互吸引的力稱為表面張力，表面張力的圖 3-4-1方向與液面相切，作用在任何一部分液面上的表面張力總是與這部分液面的分界線垂直。表面張力的大小與所研究液面和其他部分的分界線長度l 成正比，因此可寫成fl式中稱為表面張力系數(shù)，在國際單位制中，其單位是n/m，表面張力系數(shù)的數(shù)值與液體的種類和溫度有關(guān)。3 4 2 表面能我們再從能量角度研究張力現(xiàn)象，由于液面有自動收縮的趨勢， 所以增大液體表面積需要克服表面

18、張力做功，由圖可以看出， 設想使ab邊向右移動距離x，則此過程中外界克服表面張力所做的功為wf外x2 f x2ab xs式中 s 表示 ab邊移動 x 時液膜的兩個表面所增加的總面積。若去掉外力，ab邊會向左運動， 消耗表面自由能而轉(zhuǎn)化為機械能，所以表面自由能相當于勢能，凡勢能都有減小的趨勢，而 e s ，所以液體表面具有收縮的趨勢，例如體積相同的物體以球體的表面積最小，所以若無其他作用力的影響，液滴等均應為球體。132b圖 3-4-2例將端點相連的三根細線擲在水面上，如圖3-4-2 所示，其中1、2 線各長1.5cm，3線長 1cm，若在圖中 a 點滴下某種雜質(zhì)，使表面張力系數(shù)減小到原來的0

19、.4 ，求每根線的張力。然后又把該雜質(zhì)滴在b 點，求每根線的張力：已知水的面表張力系數(shù)=0.07n/m 。a 滴入雜質(zhì)后，形成圖3-4-3形狀，取圓心角為 的一小段圓弧，該線段在線兩側(cè)張力at sin(a 0.4a) rsin, r2.5 cm和表面張力共同作用下平衡，則有212212，式中代入后得 t2t3 t1.67 10 4 n ,t10 。b 中也滴入雜質(zhì)后，線3 松弛即 t30 ，形成圓產(chǎn)半徑tr232 10 4 n 。22cm，仿上面解法得 t1t20.6ar21f2f13 4 3、表面張力產(chǎn)生的附加壓強表面張力的存在，造成彎曲液面的內(nèi)、外的壓強差，稱為附加壓t強，其中最簡單的就是

20、球形液面的附加壓強，如圖3-4-4 所示，在半圖 3-4-3徑為 r 的球形液滴上任取一球冠小液塊來分析( 小液塊與空氣的分界面的面積是 s ，底面積是 s，底面上的 a 點極靠近球面 ) ，此球冠形小液體的受力情況為：在 s 面上處處受與球面垂直的大氣壓力作用，由對稱性易知， 大氣壓的合力方向垂直于s 面，大小可表示為fp0 s。在分界線上 ( 圖中的虛線處 ) 處處受到與球面相切的表面張力的作用，這些表面張力的水平分力相互抵消，故合力也與s面垂直，大小為fff sin2sin2 rsin 2球冠形液塊的重力mg，但因 a 點極鄰近液面，所以截塊很小，mg的數(shù)值可忽略。根據(jù)小液塊的力學平衡條

21、件可得psff將 sr 2 sin 2及 r、 f 的表示式代入上式可得s a2pp0rr應該指出是上式是在凸液面條件下導出的，但對凹液面也成立，但凹球形液面 ( 如液體中氣泡的表面) 內(nèi)的壓強 p 小于外部壓強 p0 ，另外， 對球形液泡 ( 如肥皂泡 ) 由于其液膜很薄， 液圖 3-4-4膜的內(nèi)外兩個表面的半徑可看成相等，易得球形液泡內(nèi)部壓強4比外部壓強大r 數(shù)值。r1例當兩個相接觸的肥皂泡融合前，常有一個中間階段， 在兩個肥皂泡之間產(chǎn)生一層薄膜，見圖3-4-5 所示。r 2(1) 曲率半徑 r1 和 r2 已知，求把肥皂泡分開的薄膜的曲率半徑。(2) 考慮 r1 r2r 的特殊情況，在中

22、間狀態(tài)形成前，肥皂圖 3-4-5泡的半徑是什么？在中間膜消失后，肥皂泡的半徑是什么？我們假定， 肥皂泡里的超壓只與表面張力及半徑有關(guān)，而且比大氣壓小得多， 因此泡內(nèi)的氣體體積不會改變。p4解 ：(1)設肥皂液的表面張力系數(shù)為，則液泡內(nèi)的超壓為r，因此半徑小的液泡內(nèi)的超壓大， 泡內(nèi)氣體的壓強也就比較大， 所以連體過渡泡的中間隔膜應向半徑較大的泡一邊凸出。p設中間隔膜的曲率半徑為r12 ，則該曲面產(chǎn)生的附加壓強為的隔膜保持平衡，應有444r1r12r2r12r1r2r1r2 。即(2) 當 r1r2 時，隔膜的曲率半徑r12，即是一個平面，在界線上任取一點 a，它受到兩個球面及薄膜的表面張力f1

23、、 f2 、f12 均跟各面相切， 如圖 3-4-6 所示。由于是同一種液體，故三力大小 f1f 2f 12 ，平衡時它們的方向彼此夾120o角，o1o2 a應組成等邊三角行， “球幅”的高度d=r/2 ，所以每過過渡泡的體積為v4r 312r 3( r )33r 2 r9r 3334228pp0r而壓強設生成過渡泡前的肥皂泡半徑為r，則v14 r 3 , p1p043r ，則r生成大泡半徑為v24 r 3 , p2p043r依據(jù)玻意耳定律有4r12 ，為了使中間狀態(tài)f1f 2ar2r1 o1f 12 o2圖 3-4-6p049r 3p044r3r8r3p049r 3p044r 3r8r34若

24、考慮到p0 r ，則泡內(nèi)氣體總體積可認為不變，故可近似得出3r3rr4, r22323p 比大氣壓小得多時，氣體的總體積保持說明 對本題，比較有意思的是，泡內(nèi)超壓不變。3 4 4、浸潤和不浸潤液體與固體接觸的表面， 厚度等于分子作用半徑的一層液體稱為附著層。在附著層中的液體分子與附著層外液體中的分子不同。若固體分子對附著層內(nèi)的分子作用力附著力，大于液體分子對附著層的分子作用力內(nèi)聚力時，則附著層內(nèi)的分子所受的合力垂直于附著層表面，指向固體，此時若將液體內(nèi)的分子移到附著層時，分子力做正功，該分子勢能減小。固一個系統(tǒng)處于穩(wěn)定平衡時，應具有最小的勢能，因水水銀（a）（ b）圖 3-4-7此液體的內(nèi)部分

25、子就要盡量擠入附著層，使附著層有伸長的趨勢， 這時我們稱液體浸潤固體。反之，我們稱液體不浸潤固體。在液體與固體接觸處， 分別作液體表面的切線與固體表面的切線，在液體內(nèi)部這兩條切線的夾角 ，稱為接觸角。圖3-4-7中，液體與固體浸潤時， 為銳角；液體與固體不浸潤時， 為鈍角。兩種理想情況是 =0 時，稱為完全浸潤； = 時，稱為完全不浸潤。例如：水和酒精對玻璃的接觸角 0o，是完全浸潤；水銀對玻璃的接觸角 140o，幾乎完全不浸潤。由于液體對固體有浸潤和不浸潤的情況，所以細管內(nèi)的液體自由表面呈現(xiàn)不同的彎曲面，叫做彎月面。若液體能浸潤管壁，管內(nèi)液面呈凹彎月面；若液體不能浸潤管壁，管內(nèi)液面呈凸彎月面

26、。 液體完全浸潤管壁，則 =0，彎月面是以管徑為直徑的凹半球面；液體完全不浸潤管壁，則 = ，彎月面是以管徑為直徑的凸半球面。例 在航天飛機中原有兩個圓柱形潔凈玻璃容器，其中分別裝有一定量的水和水銀，如圖 3-4-7(a) 和 (b) 。當航天飛機處于失重狀態(tài)時，試分別畫出這兩個容器中液體的形狀。分析：在失重情況下， 液體的形狀取決于表面張力和與玻璃浸潤情況。解：由于水銀對玻璃是不浸潤的，附著層面積要盡量小，水對玻璃是浸潤的， 附著層面積要盡量大， 因此將形成如圖7-4-8 所示的形狀。3 4 5、毛細現(xiàn)象管徑很細的管子叫做毛細管。將毛細管插入液體內(nèi)時，圖 3-4-8管內(nèi)、外液面會產(chǎn)生高度差。

27、如果液體浸潤管壁，管內(nèi)液面高于管外液面； 如果液體不浸潤管壁，管內(nèi)液面低于管外液面。這種現(xiàn)象叫毛細現(xiàn)象。如圖3-4-9 所示為浸潤液體的情形。設毛細管的半徑為 r ，液體的表面張力系數(shù)為 ，接觸角 ，管內(nèi)液面比管外液面高h。則凹形液面產(chǎn)生的向上的表面張力是f2 rcos，管內(nèi) h2cos高的液柱的重力是 gg r 2 h ，固液注平衡，則：hgr對于液面不浸潤管壁的情況，上式仍正確，此時是鈍角， h 是負值，表示管內(nèi)液面低于管外液面。如果液體完全浸潤管壁=0，為凹半球彎月面，表面張力沿管壁身上，h2gr 。例 在兩端開口， 半徑 1mm的玻璃毛細管內(nèi)裝滿水，然后把它豎直放置，水柱有多長？水的表

28、面張力系數(shù)7.3 10 2 牛 米 。解：水能完全浸潤管壁，留在管內(nèi)的水柱重量應與上下兩個彎月面的表面張力相平衡。注意：上彎月面 =0，下彎月面 = 。這時留在管中h于是 r 2 hg4 r447.310 22.94 102米h10 39.810 3gr圖 3-4-9 3 5 典型例題分析例 1、繃緊的肥皂薄膜有兩個平行的邊界，線ab 將薄膜分隔成兩部分(如圖 3-5-1)。為了演示液體的表面張力現(xiàn)象，刺破左邊的膜，線ab 受到表面張力作用被拉緊，試求此時線的張力。兩平行邊之間的距離為d，線 ab 的長度為l(l d/2) ，肥皂液的表面張力系數(shù)為。解：刺破左邊的膜以后， 線會在右邊膜的作用下

29、形狀相應發(fā)生a變化 (兩側(cè)都有膜時，線的形狀不確定)，不難推測，在ld/2 的x1d / 2)(ld情況下，線會形成長度為2的兩條直線段和半徑為d/2 的半圓，如圖 3-5-2 所示。線在、cd 兩處的拉力及各處都垂直于該弧線的表面張力的共同作用下處于平衡狀態(tài)，顯然b薄膜2tfi圖 3-5-1式中為在弧線上任取一小段所受的表面張力，fi 指各小atc段所受表面張力的合力，如圖3-5-2 所示，在弧線上取對稱的兩小段，長度均為 r ，與 x 軸的夾角均為方 ，顯然f1f 22r而這兩個力的合力必定沿x 軸方向， (他們垂直 x 軸方向分力的合力為零 )，這樣bdf1xf 2 x 2rcost所以

30、圖 3-5-2f i2 rcos4 r2d因此td說明 對本題要注意薄膜有上下兩層表面層，都會受到表面張力的作用。例 2、在水平放置的平玻璃板上倒一些水銀，由于重力和表面張力的影響，水銀近似呈圓餅形狀 (側(cè)面向外凸出 ) ，過圓盤軸線的豎直截面如圖3-5-3 所示。為了計算方便，水銀和玻璃的接觸角可按180o計算，已知水銀密度13.6103 kg m3，水銀的表面張力系數(shù)a 0.49 n m 。當圓餅的半徑很大時， 試估算厚度 h 的數(shù)值大約是多少 (取一位有效數(shù)字 )？分析：取圓餅側(cè)面處寬度為 x，高為 h 的面元 s，圖 3-5-3所示。由于重力而產(chǎn)生的水銀對 s 側(cè)壓力 f，由 f 作用

31、使圓餅外凸。但是在水銀與空氣接觸的表面層中，由于表面張力的作用使水銀表面有收縮到盡可能小的趨勢。上下f1兩層表面張力的合力的水平分量必與f 反向，且大小相xf 4等。 s 兩側(cè)表面張力f3 , f 4 可認為等值反向的。f1p s1 gh 2 xhf2hf3f解：2f1 cosf 2fa x(1cos)1 gh 2 x圖 3-5-322a(1cos)hg由于 0 90o, 有310 3 m h410 3 m例 3、在連通器的兩端吹出兩個相同的球形肥皂泡a 和 b 后，如圖 3-5-4，關(guān)閉活栓 k ，活栓 k a 和 k b 則依舊打開，兩泡內(nèi)的空氣經(jīng)管相通，兩泡相對平k衡。 (1)若 a 泡

32、和 b 泡的形狀小于半球，試證明a 泡和 b 泡之間的平衡是穩(wěn)定的。若 a 泡和 b 泡的形狀大于半球，試證明a 泡和b 泡之間的平衡是不穩(wěn)定的。(2)若 a 泡和 b 泡的形狀大于半球，k akbba圖 3 54設兩管口的半徑均為r12.00cm ，a 泡和 b 泡的半徑均為 r22.50cm。試問當 a 泡和 b泡分別變化成何種形狀時，兩泡能再次達到平衡，設空氣因壓縮或膨脹所引起的密度變化可以忽略。分析：開始時， a 泡 b 泡均小于半球，泡半徑應大于管半徑。若因擾動使a 泡縮小，則泡半徑增大，表面張力應減小，a 泡內(nèi)壓強變小，這時b 泡內(nèi)氣體過來補充，使a 泡恢復擾動前的形狀，重新達到平

33、衡。對于a 泡因擾動稍增大，或b 泡因擾動稍增大或縮小的情形可作同樣分析。若 a 、 b 泡形狀相同，均大于半球。因擾動使a 泡縮小，則泡半徑變小，表面張力相應增加， a 泡內(nèi)壓強變大，使氣體從a 泡到 b 泡， a 泡縮小和 b 泡增大后，擾動將持續(xù)發(fā)展?？傊?，當a 泡和 br1泡的形狀大于半球時，其間的平衡是不穩(wěn)定的。值得注意的是，當 a 泡縮小到半球形狀時，即當r2r1 時， a 泡半r1徑最小。 若再收縮使形狀小于半球時，a 泡半徑再度增大，rv0根據(jù)上面的分析， a 泡內(nèi)的壓強將再度下降。當a 泡小于hr1半球， b 泡大于半球，而兩者的半徑相同時，兩泡內(nèi)的壓強再次相同，這又是一個新

34、的平衡狀態(tài)。解： (1)見上面的分析。圖 3 5 5(2)新的平衡狀態(tài)為a 泡小于半球， b 泡大于半球，兩者半徑均為r，圖 3-5-5 ，有4r 32v 0h3h ), 且 hvh2 ( r2r2r2r20321解得 r=3.04cm例 4、在相互平行的石墨晶格上，原子排ab成正六角形柵格， 即“蜂窩結(jié)構(gòu)” 如圖 1-5-6(a)所示，平面上原子間距為1.4210 10m，若圖 3-5-6石墨的密度為 2270 kgm3，求兩層平面間的距離。 (碳原子量為 12)解：顯然應根據(jù)晶格模型進行研究，把晶格平面適當平移，使上下層原子正好對齊，這時原子系統(tǒng)可看成如圖3-5-6(b) 那樣，每個原子屬于6 個不同晶胞，因此一個晶胞中12/6=2個原子，1m3 石墨中的原子數(shù)是n 16.0210232.2710 6 / 12 1.141029個。晶胞數(shù)是上述原子數(shù)的一半，故一個晶胞的體積是v5.711.75610 29 m31028晶胞的底面積是s3a 23 25.23910 20 m2hv s3.3510 10 m說明在晶格模型的計算中，初學者往往把晶胞所包含的原子數(shù)搞錯，誤認為石墨晶胞包含了 12 個原子。這里的關(guān)鍵是要分析其中每一個原子是哪幾個晶胞所共有，那么每個晶胞僅只能算其 1/n 個原子。例 5、用圓柱形的杯子做“覆杯”實驗，杯子的