專題突破練(五)解析幾何綜合

1、專題突破練 (五)解析幾何綜合x2y211(2017 淄博模擬 )橢圓 C：a2 b21(ab0)的離心率為 2，其左焦點到點 P(2,1)的距離為10.(1)求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)若直線 l：y kxm 與橢圓 C 相交于 A，B 兩點 (A，B 不是左、右頂點 )，且以 AB 為直徑的圓過橢圓 C 的右頂點求證：直線 l 過定點，并求出該定點的坐標(biāo)解析： (1)因為左焦點 ( c,0)到點 P(2,1)的距離為10，所以2 c 21 10，解得 c1.c 1又 ea 2，解得 a 2，所以 b2 a2c23.x2y2所以所求橢圓 C 的方程為 4 3 1.(2)證明：設(shè) A(x1，y

2、1)， B(x2，y2)，ykxm，由 x2 y24 31，消去 y 得(3 4k2)x28mkx4(m2 3)0，64m2k216(34k2)(m23)0，化為 34k2m2.8mk4 m23所以 x1 x234k2，x1x234k2 .y1y2 (kx1 m)(kx2 m)k2x1x2 mk(x1x2) m23 m24k23 4k2 .因為以 AB 為直徑的圓過橢圓右頂點D(2,0)， kADkBD 1，所以y1 y2 1，x1 2 x2 2所以 y1y2 x1x22(x1x2)40，3 m2 4k24 m2 316mk所以24k2 240.34k334k化為 7m2 16mk 4k2 0

3、，2k解得 m1 2k， m2 7 .且滿足 3 4k2 m20.當(dāng) m 2k 時， l：y k(x2)，直線過定點 (2,0)與已知矛盾；2k22當(dāng) m 7 時， l ：yk x7，直線過定點7，0 .2綜上可知，直線l 過定點 7，0 .2已知點 F1(0， 3)，F(xiàn)2(0， 3)，曲線 上任意一點 P 滿足 |PF1| |PF2|4，拋物線 x22py(p0)(1)若拋物線的焦點在曲線上，求曲線 的標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)拋物線的焦點是 F0，1，在拋物線上是否存在點M，使得以點 M 為切點2的切線與曲線 相交于 A，B 兩點，且以 AB 為直徑的圓過坐標(biāo)原點 O？若存在，求

4、出點 M 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由解析： (1)因為 |PF1 2 12 ，所以P的軌跡是以4為長軸長，為焦| |PF | 4|FF |2 3y2距的橢圓，標(biāo)準(zhǔn)方程是：4 x21.又拋物線焦點在 y 軸的正半軸上，所以焦點F(0,2)，所以 x2 8y.(2)由題意可得拋物線方程： x2 2y.1 21 2假設(shè)存在點 M，設(shè)坐標(biāo)為 a，2a，由 y2x，得 yx，1 2所以切線方程： y2a a(xa)，1 2即： y ax 2a .設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)，1 2yax2a2231 4由，得 (a 4)xa x4a40，y24x24a6 4(a24)1 44a 4 4(a44

5、a216)(*) ，31 444a416由根與系數(shù)的關(guān)系，得： x1 x2 2a， x1x2 a22，a 4a44 a 4由題意可得： OAOB0，即： x1x2y1y2 0，所以12121 2 1 2 1 2 ax1 aax2 ax x y yx x222a314(1a )x1 x2 2 (x1 x2)4a1a2 a416a6a44 a2 42 a24 45a4 16a2160.4 a2 4解得： a2 4，帶入 * 式，得：0，綜上，存在點 M( 2,2)3已知曲線 上的點到點 F(0,1)的距離比它到直線y 3 的距離小 2.(1)求曲線 的方程；(2)曲線 在點 P 處的切線 l 與

6、x 軸交于點 A，直線 y 3 分別與直線 l 及 y 軸交于點 M，N.以 MN 為直徑作圓 C，過點 A 作圓 C 的切線，切點為 B.試探究：當(dāng)點 P在曲線 上運動 (點 P 與原點不重合 )時，線段 AB 的長度是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論解析： (1)設(shè) S(x，y)為曲線 上任意一點，依題意，點 S 到 F(0,1)的距離與它到直線y 1 的距離相等，所以曲線 是以點 F(0,1)為焦點、直線 y 1 為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線 的方程為 x24y.(2)當(dāng)點 P 在曲線 上運動時，線段AB 的長度不變證明如下：1 2由 (1)知拋物線 的方程為 y4x ，1 2設(shè) P(x0，y0)(

7、x0 0)，則 y04x0，11由 y2x，得切線 l 的斜率 ky |xx02x0，1所以切線 l 的方程為 yy02x0(xx0)，11 2即 y2x0x4x0.112y2x0x4x0，1由得 Ax0，0 .2y011 2y2x0x4x0，由y31 6得 M 2x0 x0，3 .1 3又 N(0,3)，所以圓心 C 4x0 x0，3 ，113半徑 r 2|MN| 4x0x0 ，|AB|AC|2r 21132213 2x04x0x03 x0 024x 6.所以點 P 在曲線 上運動時，線段 AB 的長度不變x2y22234已知橢圓 C： a b21(ab0)的長軸長為圓 xy4的直徑，離心率為2，右焦點為 F.(1)求橢圓 C 的方程；(2)直線 l 與橢圓 C 相切于點 P(不為橢圓 C 的左、右頂點 )，直線 l 與直線 x2交于點 A，直線 l 與直線 x 2 交于點 B，試證明直線 AFBF.c 3解析： (1)2a4，即 a2，e a 2 ，所以 c3，ba2 c21，x22所以橢圓方程為： 4 y 1.(2)證明：當(dāng) l 的斜率為 0 時，AFB 為直角，則AFB 為