知識講解數(shù)學歸納法(提高)(理

1、數(shù)學歸納法編稿：趙雷審稿：李霞【學習目標】1理解數(shù)學歸納法的原理及適用范圍掌握數(shù)學歸納法證題的思路和特點。2能夠利用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的命題?！疽c梳理】知識點一、數(shù)學歸納法的原理1. 數(shù)學歸納法定義 :對于某些與自然數(shù)n 有關(guān)的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：先證明當n 取第一個值 n 時命題成立；然后假設當n=k(k N* ， kn時命題成立，證明當n=k+1 時命題也成立這種證00)明方法就叫做數(shù)學歸納法要點詮釋：即先驗證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù) n0，如果當 n=n 0 時，命題成立，再假設當 n=k(k n0，k N* ) 時，命題成立 .( 這時命題是否成立不是確

2、定的 )，根據(jù)這個假設， 如能推出當 n=k+1 時，命題也成立，那么就可以遞推出對所有不小于n0 的正整數(shù)n0 +1， n0+2，命題都成立 .2. 數(shù)學歸納法的原理：數(shù)學歸納法是專門證明與正整數(shù)集有關(guān)的命題的一種方法，它是一種完全歸納法。它的證明共分兩步： 證明了第一步，就獲得了遞推的基礎(chǔ)。但僅靠這一步還不能說明結(jié)論的普遍性.在第一步中， 考察結(jié)論成立的最小正整數(shù)就足夠了，沒有必要再考察幾個正整數(shù)，即使命題對這幾個正整數(shù)都成立，也不能保證命題對其他正整數(shù)也成立； 證明了第二步，就獲得了遞推的依據(jù)。但沒有第一步就失去了遞推的基礎(chǔ).只有把第一步和第二步結(jié)合在一起，才能獲得普遍性的結(jié)論。其中第一

3、步是命題成立的基礎(chǔ)，稱為性問題（又稱傳遞性問題） 。“歸納基礎(chǔ) ”（或稱特殊性） ，第二步是遞推的證據(jù)，解決的是延續(xù)3.數(shù)學歸納法的功能和適用范圍1.數(shù)學歸納法具有證明的功能，它將無窮的歸納過程根據(jù)歸納公理轉(zhuǎn)化為有限的特殊演繹（直接驗證和演繹推理相結(jié)合）過程 .2. 數(shù)學歸納法一般被用于證明某些與正整數(shù) n（ n 取無限多個值）有關(guān)的數(shù)學命題。但是，并不能簡單地說所有與正整數(shù) n 有關(guān)的數(shù)學命題都可使用數(shù)學歸納法證明。知識點二、運用數(shù)學歸納法的步驟與技巧1 用數(shù)學歸納法證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟：(1)證明：當 n 取第一個值 n0 結(jié)論正確；(2)假設當 n=k(k N *，且 kn0

4、)時結(jié)論正確，證明當n=k+1 時結(jié)論也正確由 (1)， (2)可知，命題對于從 n0 開始的所有正整數(shù)n 都正確2用數(shù)學歸納法證題的注意事項（ 1）弄錯起始n0 n0 不一定恒為1，也可能n0=2 或 3（即起點問題） （ 2）對項數(shù)估算錯誤特別是當尋找n=k 與 n=k+1 的關(guān)系時，項數(shù)的變化易出現(xiàn)錯誤（即跨度問題）（ 3）沒有利用歸納假設歸納假設是必須要用的，假設是起橋梁作用的，橋梁斷了就過不去了，整個證明過程也就不正確了（即偽證問題） （ 4）關(guān)鍵步驟含糊不清“假設 n=k 時結(jié)論成立，利用此假設證明n=k+1 時結(jié)論也成立 ”是數(shù)學歸納法的關(guān)鍵一步，也是證明問題最重要的環(huán)節(jié)，推導的

5、過程中要把步驟寫完整，另外要注意證明過程的嚴謹性、規(guī)范性（即規(guī)范問題） 3. 用數(shù)學歸納法證題的關(guān)鍵：運用數(shù)學歸納法由n=k 到 n=k+l 的證明是證明的難點，突破難點的關(guān)鍵是掌握由n=k 到 n=k+1 的推證方法在運用歸納假設時，應分析由n=k 到 n=k+1 的差異與聯(lián)系，利用拆、添、并、放、縮等手段，或從歸納假設出發(fā)，或從n=k+1 時分離出n=k 時的式子，再進行局部調(diào)整；也可以考慮二者的結(jié)合點，以便順利過渡知識點三、用數(shù)學歸納法證題的類型：1.用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)n 有關(guān)的恒等式；對于證明恒等的問題，在由證等式也成立時，應及時把結(jié)論和推導過程對比，也就是我們通常所說的兩邊湊的

6、方法，以減小計算的復雜程度，從而發(fā)現(xiàn)所要證明的式子，使問題的證明有目的性2.用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)n 有關(guān)的整除性問題；用數(shù)學歸納法證明整除問題時，由到時，首先要從要證的式子中拼湊出假設成立的式子，然后證明剩余的式子也能被某式（數(shù)）整除，這是數(shù)學歸納法證明問題的一大技巧。3.用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)n 有關(guān)的幾何問題；數(shù)學歸納法在高考試題中常與數(shù)列、平面幾何、解析幾何等知識相結(jié)合來考查，對于此類問題解決的關(guān)鍵往往在于抓住對問題的所劃分標準，例如在平面幾何中要抓住線段、平面、空間的個數(shù)與交點、交線間的關(guān)系等用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)n 有關(guān)的不等式.4.用數(shù)學歸納法證明一些與n 有關(guān)的不等式時，

7、 推導 “n k1”時成立， 有時要進行一些簡單的放縮，有時還要用到一些其他的證明不等式的方法，如比較法、綜合法、分析法、反證法等等5.用數(shù)學歸納法證明與數(shù)列有關(guān)的命題.由有限個特殊事例進行歸納、猜想、 ，從而得出一般性的結(jié)論，然后加以證明是科學研究的重要思想方法在研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題中，此思想方法尤其重要【典型例題】類型一、對數(shù)學歸納法的兩個步驟的認識例 1.對一切 nN* ，試比較 2n 與 n2 的大小【思路點撥】在證明與正整數(shù)有關(guān)的命題時，主要側(cè)重考查“起點 ”是否為 1 這個易誤點?！窘馕觥慨?n=1 時， 21 12，即 2nn2；當 n=2 時， 22=22，即 2n=n2

8、；當 n=3 時， 23 32，即 2n n2；當 n=4 時， 24=42，即 2n=n2；當 n=5 時， 25 52，即 2n n2；當 n=6 時， 26 62，即 2n n2；n2猜想：當n5， 2 n 下面用數(shù)學歸納法證明猜想成立（ 2 ）假設當n=k （ k5）時，命題成立，即n2那么當k+1k 2k2 222 nn=k+1 時， 2=22=k +kk2 +(2k+1)=(k+1) 2，即當 n=k+1 時，猜想成立根據(jù)（ 1）、（ 2）可知，當n5時， 2n n2 都成立所以 n=2 或 4 時， 2n=n2； n=3 時， 2n n2； n=1 或 n5時， 2n n2【總結(jié)

9、升華】本例是先用歸納推理設出猜想，再用數(shù)學歸納法證明猜想在用數(shù)學歸納法證明時，要注意 2n 與 n2 的大小關(guān)系只有在n5時才穩(wěn)定下來，故起點n=5另一個易錯點在假設 n=k 時要帶上限制條件 k5舉一反三：【變式】利用數(shù)學歸納法證明：“凸多邊形的對角線的條數(shù)是1 n( n 3) ”時， n 的第一個取值n0 應當是2_【答案】 3【高清課堂： 數(shù)學歸納法 401473 例題 3】例 2.用數(shù)學歸納法證明等式：1 n 2 n 1 3 n 2n 2 3 n 1 2 n 11 n n 1 n 26【思路點撥】本題是一個與正整數(shù)n（ n 取無限多個值）有關(guān)的數(shù)學命題，故可考慮用數(shù)學歸納法進行證明 .

10、【解析】(1)當 n1時，1=1123，結(jié)論成立 .6(2)假設 nk 時結(jié)論成立，即1 k 2 k 1 3 k 2k 2 3 k 1 2 k 11 kk1k26當 nk1 時，則1 k 1 2 k 3 k 1k 1 3 k 2 k 1 11 k 2 k 1k 1 2 k 1 1 2 3k k 111k1k 1k 2k k2621k1k2 k 36說明當 n k 1 時結(jié)論也成立 .綜合上述，可知結(jié)論對一切nN都成立 .【總結(jié)升華】 在利用歸納假設論證n=k+1 時等式也成立時，應注意分析n=k 和 n=k+1 時兩個等式的差別。舉一反三：【變式 1】 已知 n 是正偶數(shù)，用數(shù)學歸納法證明時，

11、若已假設n=k（ k2 且為偶數(shù)）時命題為真， ，則還需證明（）A.n=k+1時命題成立B. n=k+2 時命題成立C. n=2k+2 時命題成立D. n=2 （ k+2）時命題成立【答案】因 n 是正偶數(shù)，故只需證等式對所有偶數(shù)都成立，因k 的下一個偶數(shù)是 k+2 ，故選 B【高清課堂： 數(shù)學歸納法 401473 例題 1（2）】【變式 2】用數(shù)學歸納法證明“1+1+1+ +1 n（ n N* ，n 1） ”時，由 n=k（ k 1）不等式成立，n2321推證 n=k+1 時，左邊應增加的項數(shù)是（）A 2k1B 2k 1C 2kD 2k+1【答案】 C 。左邊的特點：分母逐漸增加1 ，末項為

12、11到 n=k+1，末項為; 由 n=k ，末項為2k2n111=2 k1，應增加的項數(shù)為2k2k 1112 k【變式 3】（ 2016汕頭模擬改編） 用數(shù)學歸納法證明：（ n+1）（ n+2） （n+n ）= 2n 1（32n 1）（ n N* ）【答案】（ 1）當 n=1 時，左邊 =1+1=2 ，右邊 =211=2，等式成立（ 2）假設 n=k 時，（ k+1 ）（ k+2 ） （k+k ） =2k 1 3 （2n 1）成立則當 n=k+1 時，左邊 = ( k1)( k2)(kk )(2 k1)(2 k12)k 1(k 1)(k 2)(kk )2(2k1)2k1 3(2 k1)2(2

13、k 1)2k 1 1 32( k1)1 所以當 n=k+1 時等式成立根據(jù)（ 1）、（ 2）可知，等式對任意的n N* 都成立類型二、利用數(shù)學歸納法證明等式例 3 用數(shù)學歸納法證明：當 n2， n N* 時，1111111n2 49161 n22n【解析】（ 1）當 n=2 時，左邊113，右邊213 ，44224 n=2 時等式成立（ 2）假設當 n=k（ n2， n N* ）時等式成立，即 1 11 11111k 1 4916k 22k那么當 n=k+1 時，1111111111k 2( k1)24916k 111(k 1)2 1k 2(k 1) 12k(k1)22k( k1) 2( k1

14、)2( k1)當 n=k+1 時，等式也成立根據(jù)（ 1）和（ 2）知，對任意n2， n N* 等式都成立【總結(jié)升華】數(shù)學歸納法常常用來證明與非零自然數(shù)有關(guān)的命題；在證明過程中，應用歸納假設，只有通過歸納假設的使用，才達到由n=k 的情況遞推到n=k+1 的情況，保證了命題的傳遞性；用數(shù)學歸納法證明時，要注意從nk 時的情形到nk1時的情形是怎樣過渡的，即要證明n k 1 時等式成立，應如何利用 n k 時等式成立這一假設 .顯然，分清等式兩邊的構(gòu)成情況是解決這一問題的關(guān)鍵；舉一反三：【變式】用數(shù)學歸納法證明：2222+(2n-1)22n N )1-2 +3 -4-(2n)= -n(2n+1)(

15、【答案】(1) 當 n=1 時，左 12 22 3，右 -1 (2 1+1)=-3 ，命題成立 .(2) 假設 n=k( k N )時命題成立即2222221 -2 +3 -4 +(2k-1) -(2k) =-k(2k+1)左邊12-22+3 2-42+(2k-1) 2-(2k) 2+(2k+1) 2-(2k+2) 2 -k(2k+1)+(2k+1) 2 -(2k+2) 2 -(2k 2 +5k+3) -(k+1)(2k+3) -(k+1)2(k+1)+1當 n=k+1 時命題成立 .綜上由 (1)(2)命題對 nN 都成立.例 4.對任意正偶數(shù) n，求證： 11111121112 3 4n

16、1 nn 2 n 42n【思路點撥】注意由n=k 到 n=k+1時，等式的兩邊會增加多少項，增加怎樣的項【解析】（ 1）當 n=2 時，等式左邊111，等式右邊2121 ，2222左邊 =右邊，等式成立（ 2）假設 n=2k （k N* ）時等式成立，即111111122k1141成立2342k2k22k2(2k )當 n=2k+2 （ kN* ）時，111112112 3 42k 1 2k 2k 1 2k 22111112k 2 2k 44k2k 1 2k 2211111222112k 4 2k 64k 4k 2 4k 42k 2 4k 2 4k 4 2k 1 2k 22111(2k2)2(

17、2k2)42(2k2)對 n=2k+2 （ n N* ）等式成立由（ 1）、（ 2）知，對一切正偶數(shù)n=2k （ kN* ）等式成立【總結(jié)升華】（1）此題為用數(shù)學歸納法證明問題的一種新題型，傳統(tǒng)問題都是論證對連續(xù)的正整數(shù)成立，而這里變成對連續(xù)的正偶數(shù)成立歸納假設為 n=2k ，與它連續(xù)的是n=2k+2 ，相當于由 n=k 到 n=k+1 ，應注意體會數(shù)學歸納法的這種變形使用，并把它用活（ 2）本題亦可假設n=k （k 為正偶數(shù)）時等式成立，證明n=k+2 時等式成立舉一反三：【變式】用數(shù)學歸納法證明：對任意的nN*,1- 1 +1 - 1+ + 1-1 =1+1+ +1 .2 3 42n 1

18、2n n 1 n 22n【答案】（ 1）當 n=1 時，左邊 =1- 1 = 1 =1=右邊，等式成立 .2211（ 2）假設當 n=k(k 1,k N* ) 時，等式成立，即1-1+1-1+ + 1- 1=1+1+ +1 .2 3 42k 12kk 1 k 22k則當 n=k+1 時 ,1- 1+1-1+ + 1- 1+11-12= 1 +1+ +1+1-122342k 12k2k2kk1k22k2k12k= k1+ k111+( k11111111 11 2 + + 2k+2k11-2k2 )= k1 1 + k12+ +2k+2k1+2(k1),即當 n=k+1時，等式也成立，所以由（1

19、）（ 2）知對任意的n N* 等式成立 .類型三、用數(shù)學歸納法證明不等式例 5.用數(shù)學歸納法證明不等式：【解析】21442n1242nn 1 當 n=1 時，左式32 ，右式2左式右式，所以結(jié)論成立假設 n=k 時結(jié)論成立，即 2 1442k1k1 ，242k則當 n=k+1 時，21442k 1 2k3k 1 2k 32k 3 242k2( k1)2( k1)2k1要證當 n=k+1 時結(jié)論成立，只需證2k3k2 ，即證2k3(k1)(k2)2 k12由均值不等式知，2k 3 (k1)( k2)(k1)(k2) 成立，222k3k2 成立，故12 k所以，當 n=k+l 時，結(jié)論成立由可知，

20、對任意的nN* ，不等式b1 1 b2 1bn1b1b2bnn 1 成立【總結(jié)升華】（ 1）數(shù)學歸納法證明命題，格式嚴謹，必須嚴格按步驟進行；（ 2）歸納遞推是證明的難點，應看準“目標 ”進行變形；（ 3）由 k 推導到 k+1 時，有時可以 “套 ”用其它證明方法，如：比較法、分析法、放縮法等，表現(xiàn)出數(shù)學歸納法 “靈活 ”的一面舉一反三：【高清課堂： 數(shù)學歸納法401473 例題 4】【變式1】用數(shù)學歸納法證明不等式1 223n( n1)1 (n1)22【答案】（ 1）當 n=1 時，左 =2 ，右 =2 ，不等式成立（ 2）假設當 n=k 時等式成立，即1223k (k1)1 ( k1)

21、21 (k2則 1 22 3k (k 1)(k 1)(k 2)1)2(k1)(k2)21 (k1)2(k 1)( k2)( k2) 2(k1)(k2)(k1)(k2)0222122 3k (k1)(k1)( k2)1 ( k1)1 22當 n=k+1 時， 不等式也成立綜合（ 1）（2），等式對所有正整數(shù)都成立【變式2】已知 f ( n) 11111 (nN ) ，求證： n1 時， f ( 2n )n 2.234n2【答案】（ 1) n=2 時，左式 = f ( 22 )f (4)111125, 右式=222 ， 252341222 ， 左式 右式，不等式成立，121111n=3 時，左式

22、= f ( 23 )f (8)1,2348右式=325 ， 左式-右式 =1110 ，左式 右式，不等式成立 .22578（ 2)假設 n=k( k N , k 時3)不等式成立，即 f (2k ) 11111k 2 ，2342k2當 n=k+1 時，f (2 k 1 ) 11 1 112k1122k112 3 42k1 2k22k 1f (2k )2k111212k2k 12 k 項k211122k12k12k 12k 項k22 kk3(k1)222k122即 n=k+1 時，不等式也成立 .由（ 1）（ 2）可知， n1, n N 時，都有 f ( 2n )n2.2【變式 3】設數(shù)列 a

23、n 滿足 a1=2，an+1 =an+1（n=1 ，2， ） .an證明 an 2n1 對一切正整數(shù)n 都成立；【答案】證法一：當 n=1 時， a1=2211 ，不等式成立 .假設 n=k 時， ak 2k1成立，當 n=k+1 時， ak+12=ak2+12+2 2k+3+1 2（ k+1） +1，akak2當 n=k+1 時， ak+12 (k1)1成立 .綜上，由數(shù)學歸納法可知，an2n1 對一切正整數(shù)成立 .證法二：當 n=1 時， a13=211結(jié)論成立.=2假設 n=k 時結(jié)論成立，即ak2k1 ，當 n=k+1 時，由函數(shù) f（ x）=x+ 1 （ x1）的單調(diào)遞增性和歸納假設

24、有xak+1 =ak+12k1 +12k112k24k 28k4a k2k1=2k=2k=2k111(2k 3)( 2k1)2k 3 .2k1=當 n=k+1 時，結(jié)論成立 .因此， an2n1 對一切正整數(shù)n 均成立 .類型三：用數(shù)學歸納法證明與數(shù)列有關(guān)的命題例 6.已知數(shù)列an中， a11， Snn2 annN .2( )求 a2 , a3 , a4 的值；( )推測數(shù)列an 的通項公式，并證明.【思路點撥】觀察、歸納、猜想、證明，是經(jīng)常應用的綜合性數(shù)學方法；觀察是解決問題的前提條件，合理的實驗和歸納，提出合理的猜想，然后證明.() a111a24a2 ,a21【解析】， S24a2，22

25、6S39a3，即 1 + 1 + a3 9a3 ,a31 ，2612S411116a4 ，a4116a4 ，即+ + a4，261220( )猜想 an1.證明如下：n(n1)（ 1）當 n 1 時， a11，結(jié)論成立 .2假設 nk 時成立，即ak1.k(k 1)即 Ska1a2ak1k11 k 1k由 Sk 12Skak 12k 1 ak 1k 1 ak 1得 ak 1Sk=1，k22k1)(k(k2)說明當 nk1 時，結(jié)論也成立 .1綜合上述，可知對一切n N ，都有 ann(n 1)【總結(jié)升華】 用數(shù)學歸納法證明與遞推關(guān)系有關(guān)的命題時依歸納假設證明n k 1 時命題也成立時， 除了用

26、上假設外，一定還得用上遞推關(guān)系，否則假設也沒法用.這是用數(shù)學歸納法證明遞推關(guān)系時值得注意的地方 .舉一反三：【變式 1】在數(shù)列 a n 中 ,a1=1,Sn 是它的前 n 項和 ,當 n2時, 2Sn22an Snan(1) 求 a2 , a3 , a4 的值 ,并推測 a n 的通項公式 .(2) 用數(shù)學歸納法證明所得的結(jié)論 . 【答案】（ 1） S2=a1 a2=1 a2 , 2(1 a2)2=2a2(1 a2) a2,解得 a22.1111 a3) a3,解得32這時 S2=,S3=S2a3= a3, 2( a3)2=2a3(a3.333315這時 S3=1,S4=S3a4=1 a4,

27、2(1 a4)2=2a4(1 a4) a4,解得a42.555535由 a22, a332, a41 ，猜想：13557n2時 , an2,(2 n3)(2 n1)1( n1)數(shù)列 a n 的通項公式是 an2(n2)(2n3)(2n1)下面用數(shù)學歸納法證明：1)當 n=1 ， n=2 時結(jié)論成立 .2)假設當 n=k(k 2)時結(jié)論成立 ,即 ak2,(2 k3)(2 k1)這時 Sk=a1 a2 ak=122233 5(2k 3)(2 k 1)111111111,3 3 512k 3 2k 1 2k 1Sk 1Skak 1ak 12k1當 n=k 1 時 ,由2Sk212ak 1Sk 1a

28、k1 得2(11ak 1 )22ak 1 (1ak 1)ak 1得 2k 1 ak 121)2 ,2k2k 12k 1(2k ak 12,(2 k1)(2k1) n=k 1 時結(jié)論成立 .由 1)、 2)可知對 nN 時結(jié)論都成立 .類型四：用數(shù)學歸納法證明整除性問題例 7. 是否存在正整數(shù) m，使得 f （n） =（ 2n+7） 3n+9 對任意自然數(shù) n 都能被 m 整除 ?若存在，求出最大的 m 值，并證明你的結(jié)論 ;若不存在，請說明理由 .【思路點撥】，證明一個多項式或指數(shù)冪形式能被某數(shù)或某式子整除，也屬于與正整數(shù)n 有關(guān)的命題常用數(shù)學歸納法【解析】由 f（ n）=（2n+7）3n+9

29、，得 f（1）=36， f （2）=336， f（3）=10 36， f（ 4）= 3436，由此猜想 m=36.下面用數(shù)學歸納法證明：（ 1）當 n=1 時，顯然成立 .（ 2）假設 n=k 時， f（ k）能被 36 整除，即 f（ k）=（ 2k+7）3k+9 能被 36 整除 ;當 n=k+1 時， 2（ k+1 ）+7 3k+1 +9=3 （ 2k+7 ） 3k+9 +18（3k 1 1），k11 是 2 的倍數(shù)，故k1n=k+1 時， f（ n）也能被 36由于 318（ 3 1）能被 36 整除 .這就是說，當整除 .由（ 1）（ 2）可知對一切正整數(shù)n 都有 f （ n） =（

30、 2n+7 ）3n+9 能被 36 整除， m 的最大值為 36.【總結(jié)升華】用數(shù)學歸納法證明整除問題時，關(guān)鍵是把n=k+1 時的式子分成兩部分，其中一部分應用歸納假設，另一部分經(jīng)過變形處理，確定其能被某數(shù)（某式）整除.舉一反三：【變式 1】（ 2015 春淮安校級期末）當n 為正奇數(shù)時，求證 xn+yn 被 x+y 整除，當?shù)诙郊僭O n=2k 1 時命題為真，進而需驗證_，命題為真。解：當 n 為正奇數(shù)時，求證xn+yn 被 x+y 整除【答案】當 n 為正奇數(shù)時，求證 xn+yn 被 x+y 整除用數(shù)學歸納法證明時候，第二步假設n=2k1 時命題為真，進而需要驗證n=2k+1。故答案為 2k+1?！咀兪?2】用數(shù)學歸納法證明 34n252n1(n N) 能被 14 整除 .【答案】(1) 當 n=0 時， 34n252 n 1325114 能被 14 整除命題成立(2) 假設 n=k （ k0）時命題成立，即34k 252k 1（ k0）能被 14 整除則當 n=k+1 時，34 (k1 ) 2 5 k 2 (1 ) 134k2345k212525(3 4k2525(3 4k25k2)1253k2)1563k 42813 k 4 2k 42 34k252k 1能被 14