數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)畢業(yè)論文方差分析與應(yīng)用

1、第一章 前言方差分析(analysis of variance, 簡(jiǎn)稱(chēng)anova)有英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)歇爾創(chuàng)立。早先用于生物和農(nóng)業(yè)，其后在許多科學(xué)研究方面都得到了廣泛應(yīng)用。在科學(xué)實(shí)驗(yàn)或生產(chǎn)生活實(shí)踐中，任何事物總是受很多因素影響，例如，工業(yè)產(chǎn)品的質(zhì)量受原料、機(jī)器、人工等因素的影響。農(nóng)作物的產(chǎn)量受種子、肥料、土壤、水分、天氣等因素的影響。利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，分析各個(gè)因素對(duì)該事物的影響是否顯著，數(shù)理統(tǒng)計(jì)中所采用的一種有效方法就是方差分析。當(dāng)方差分析需要進(jìn)行實(shí)驗(yàn)來(lái)獲得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作為分析的對(duì)象時(shí)，將要考察的指標(biāo)稱(chēng)為實(shí)驗(yàn)指標(biāo)、影響實(shí)驗(yàn)指標(biāo)的條件稱(chēng)為因素、因素所處的狀態(tài)稱(chēng)為該因素的水平。如果在實(shí)驗(yàn)中只有一個(gè)因素在改變，

2、則稱(chēng)為單因素實(shí)驗(yàn)，否則稱(chēng)為多因素實(shí)驗(yàn)，本文討論單因素實(shí)驗(yàn)和雙因素實(shí)驗(yàn)。在文章中excel軟件在方差分析中的應(yīng)用也得到了充分的體現(xiàn)，為我們進(jìn)行分析提供了很大的方便,我們就他在農(nóng)業(yè)和飼養(yǎng)業(yè)中的有效應(yīng)用展開(kāi)論述。在農(nóng)業(yè)科學(xué)研究中，通常會(huì)獲取大量的數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)雖然凌亂且復(fù)雜，但其中蘊(yùn)含的信息量往往較大，只有通過(guò)正確的處理和統(tǒng)計(jì)分析，才能發(fā)現(xiàn)其中的內(nèi)部規(guī)律,從而總結(jié)規(guī)律得出結(jié)論。方差分析是統(tǒng)計(jì)分析中常用的分析方法，也是一種比較有效的分析方法,以前農(nóng)業(yè)科研工作者在進(jìn)行方差分析時(shí)主要是借助簡(jiǎn)單的計(jì)算器用手算進(jìn)行，導(dǎo)致數(shù)據(jù)處理效率低且容易出錯(cuò)。利用微軟公司研發(fā)的excel軟件進(jìn)行方差分析不僅操作簡(jiǎn)便，而且可

3、同時(shí)生成優(yōu)美的電子表格，可有效地解決農(nóng)業(yè)科研工作者進(jìn)行方差分析時(shí)的繁瑣計(jì)算問(wèn)題,很大程度的提高了工作效率,在準(zhǔn)確性方面也比較可信。 在飼養(yǎng)業(yè)中，通過(guò)進(jìn)行飼養(yǎng)實(shí)驗(yàn)后,我們對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行方差分析,以確定最有效的飼養(yǎng)方法,可對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行分析是件煩瑣的工作，需要大量的工作,花費(fèi)不少時(shí)間。在這里我們也可以利用 excel應(yīng)用軟件快速、準(zhǔn)確解決飼養(yǎng)試驗(yàn)中的方差分析計(jì)算任務(wù)。excel提供了一組數(shù)據(jù)分析工具，稱(chēng)為“分析工具庫(kù)”，可以在進(jìn)行復(fù)雜的統(tǒng)計(jì)或工程分析時(shí)節(jié)省寶貴的時(shí)間。只需為每一個(gè)分析工具提供必要的數(shù)據(jù)和參數(shù),該工具就會(huì)使用適宜的統(tǒng)計(jì)和工程函數(shù),在輸出表格中顯示相應(yīng)的結(jié)果,把分析結(jié)果很直觀的擺在我們

4、面前,省時(shí)有省力,具體應(yīng)用過(guò)程我們將在下文進(jìn)行詳細(xì)的分析。第二章 預(yù)備知識(shí)2.1 單因素試驗(yàn)的方差分析2.1.1單因素試驗(yàn)的概念為了分析某一個(gè)因素a對(duì)所考察的隨機(jī)變量的影響,我們可以在試驗(yàn)時(shí)讓其它因素保持不變,而只讓因素a改變,這樣的試驗(yàn)叫做單因素試驗(yàn),因素a所處的狀態(tài)叫做水平。2.1.2單因素試驗(yàn)的方差分析原理設(shè)因素a有不同水平,各水平對(duì)應(yīng)的總體服從正態(tài)分布,()； 這里我們假定各有相同的標(biāo)準(zhǔn)差,但各總體均值可能不同.例如,可以是用種不同工藝生產(chǎn)的電燈泡的使用壽命,或者是個(gè)不同品種的小麥的單位面積產(chǎn)量,等等。在水平進(jìn)行次試驗(yàn)；,我們假定所有的試驗(yàn)都是獨(dú)立的.設(shè)得到樣本觀測(cè)值j如下表: 表2-

5、1水平a1a2al觀察值因?yàn)樵谒较碌臉颖居^測(cè)值與總體服從相同的分布,所以有,（） (1.1)我們的任務(wù)就是根據(jù)這l組觀測(cè)值來(lái)檢驗(yàn)因素a對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響是否顯著.如果因素a的影響不顯著,則所有樣本觀測(cè)值就可以看作是來(lái)自同一總體,因此要檢驗(yàn)的原假設(shè)是； (1.2)令. 當(dāng)(1.2)成立時(shí)，各則原假設(shè)(1.2)等價(jià)于. 方差分析問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是一個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題，下面探討如何構(gòu)造合適的統(tǒng)計(jì)2.1.3方差分析統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造1定義組內(nèi)平均值總平均值，總離差平方和，組間平方和誤差平方和sa反映各組樣本之間的差異程度，即由于因素a的不同水平所引起的系統(tǒng)差異；se反映各種隨機(jī)因素引起的試驗(yàn)誤差。2幾個(gè)重要結(jié)論我們可

6、以導(dǎo)出如下結(jié)論：; sa與se是相互獨(dú)立的； 若h0成立，則，.3構(gòu)造f統(tǒng)計(jì)量利用以上結(jié)論，定義:組間平均平方和；誤差平均平方和 考察統(tǒng)計(jì)量，它服從什么分布？因?yàn)?，利用上面的結(jié)論及f分布的定義可知2.1.4 方差分析的方法如果因素a的各個(gè)水平對(duì)總體的影響差不多,則組間平方和sa較小,因而f也較小;反之,如果因素a的各個(gè)水平對(duì)總體的影響顯著不同,則組間平方和sa較大,因而f也較大.由此可見(jiàn),我們可以根據(jù)值的大小來(lái)檢驗(yàn)上述原假設(shè)h對(duì)于給定的顯著性水平,由f分布表5查得相應(yīng)的分位數(shù)。如果由樣本觀測(cè)值計(jì)算得到的f的值大于，則在水平下拒絕原假設(shè),即認(rèn)為因素a的不同水平對(duì)總體有顯著影響；如果的值不大于,則

7、接受，即認(rèn)為因素a的不同水平對(duì)總體無(wú)顯著影響。通常分別取=0.05和=0.01,按f所滿(mǎn)足的不同條件作出不同的判斷：表2-2條 件顯 著 性ff0.05不顯著f0.05 f0.01高度顯著（可用“*”表示）通常還根據(jù)計(jì)算結(jié)果，列出如下方差分析表： 表2-3方差來(lái)源平方和自由度均方和f值臨界值顯著性組 間誤 差sasel-1n-lf0.05f0.01 總 和s n-1 注：有時(shí)為了簡(jiǎn)化計(jì)算，可把全部觀察值減去或加上一個(gè)常數(shù)c,并不影響離差平方和的計(jì)算結(jié)果。2.2 雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)的方差分析2.2.1雙因素試驗(yàn)的方差分析原理如果我們要同時(shí)考慮兩個(gè)因素a與b對(duì)所考察的隨機(jī)變量是否有影響的問(wèn)題，則應(yīng)討

8、論雙因素試驗(yàn)的方差分析，設(shè)因素a有不同水平,因素b有不同水平，在它們的每一種搭配(ai，)下的總體服從正態(tài)分布,（；）。這里我們假定各有相同的標(biāo)準(zhǔn)差,但各總體均值可能不同. 所謂無(wú)重復(fù)試驗(yàn)就是因素a和b的每一種水平搭配(ai，bj)下僅取一個(gè)觀察值xij， 我們假定所有的試驗(yàn)都是獨(dú)立的. 全部樣本觀測(cè)值xij可用下表表示: 表2-4因素b因素ab1b2bma1a2al因?yàn)橛^測(cè)值與總體服從相同的分布,所以有,() (1.3)我們的任務(wù)就是根據(jù)這些觀測(cè)值來(lái)檢驗(yàn)因素a和b對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響是否顯著.令 （總均值）（在因素a的水平下的均值）（在因素b的 水平下的均值），（因素a的水平的效應(yīng)），（因素b的

9、水平的效應(yīng)）顯然有，因此可表示為 若因素a或b的影響不顯著，則其各水平的效應(yīng)為零.要檢驗(yàn)的原假設(shè)可分別設(shè)為 ， （1.4）， （1.5）2.2.2方差分析統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造1.定義第行平均值第列平均值總平均值，總離差平方和，因素a的離差平方和，因素b的離差平方和,誤差平方和sa與sb分別反映因素a和b的不同水平所引起的系統(tǒng)差異；而se則反映各種隨機(jī)因素引起的試驗(yàn)誤差。2.幾個(gè)重要結(jié)論我們可以導(dǎo)出如下結(jié)論：; 是相互獨(dú)立的； 若h01成立，則， 若h02成立，則.3.構(gòu)造f統(tǒng)計(jì)量利用以上結(jié)論，定義:因素a的平均平方和；因素b的平均平方和；誤差平均平方和. 考察統(tǒng)計(jì)量和，利用上面的結(jié)論及f分布的定義可知

10、當(dāng)h01成立時(shí)，當(dāng)h02成立時(shí)，2.2.3方差分析的方法與單因素試驗(yàn)方差分析方法相仿，我們可以根據(jù)fa與fb的值的大小來(lái)檢驗(yàn)上述原假設(shè)h01與h02。對(duì)于給定的顯著性水平,由f分布表查得相應(yīng)的分位數(shù)，如果由樣本觀測(cè)值計(jì)算得到的f的值大于,則在水平下拒絕原假設(shè),即認(rèn)為該因素的不同水平對(duì)總體有顯著影響；如果f的值不大于,則接受原假設(shè),即認(rèn)為該因素不同水平對(duì)總體無(wú)顯著影響。通常分別取=0.05和=0.01,按f所滿(mǎn)足的不同條件作出不同的判斷： 表2-5條 件顯 著 性ff0.05不顯著f0.05 f0.01高度顯著（可用“*”表示）通常還根據(jù)計(jì)算結(jié)果，列出如下方差分析表： 表2-6方差來(lái)源平方和自由

11、度均方和f值臨界值顯著性因素asal-1fa0.05fa0.01 因素bsbm-1fb0.05fb0.01 誤 差se(l-1)(m-1) 總 和slm-1 注：有時(shí)為了簡(jiǎn)化計(jì)算，可把全部觀察值xij減去或加上一個(gè)常數(shù)c,并不影響離差平方和的計(jì)算結(jié)果。2.3雙因素等重復(fù)實(shí)驗(yàn)的方差分析2.3.1交互作用的概念交互作用-兩個(gè)因素a與b的各個(gè)水平之間的不同搭配對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響. 例1 某化工廠為了掌握不同的催化劑量（毫升）、不同的聚合時(shí)間（小時(shí)）和不同的聚合溫度（oc）對(duì)合成橡膠生產(chǎn)中轉(zhuǎn)化率（%）的影響規(guī)律，做了兩批試驗(yàn)，結(jié)果如下: 表2-7聚合時(shí)間催化劑量0.51聚合溫度催化劑量30502484.

12、2089.3488.8394.252487.684.875.596.2從表2-7可見(jiàn)，催化劑量對(duì)轉(zhuǎn)化率的影響與聚合時(shí)間長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，聚合時(shí)間對(duì)轉(zhuǎn)化率的影響也與催化劑量大小無(wú)關(guān)，從而催化劑量與聚合時(shí)間之間不存在交互作用。從表2-7可見(jiàn)，當(dāng)催化劑量為2毫升時(shí)，聚合溫度低則轉(zhuǎn)化率就高，而當(dāng)催化劑量為4毫升時(shí)，聚合溫度高就轉(zhuǎn)化率高。這說(shuō)明催化劑量對(duì)轉(zhuǎn)化率的影響與聚合溫度有關(guān)。同理,聚合溫度對(duì)轉(zhuǎn)化率的影響也與催化劑量有關(guān)，從而催化劑量與聚合溫度之間存在交互作用。2.3.2考慮交互作用時(shí)的雙因素等重復(fù)試驗(yàn)的方差分析原理因素a和因素b的交互作用記為或簡(jiǎn)記為i為了分析這種交互作用，對(duì)于它們的每一種搭配(ai，bj

13、)（）需要分別進(jìn)行r2次重復(fù)試驗(yàn)，即共需進(jìn)行次試驗(yàn)。設(shè)搭配(ai，bj)下的總體服從布 ,() 這里,我們假定各有相同的標(biāo)準(zhǔn)差,但各總體均值可能不同。我們假定所有的試驗(yàn)都是獨(dú)立的。全部樣本觀測(cè)值xijk（）可用下表表示: 表2-8因素b因素ab1b2bma1al因?yàn)橛^測(cè)值xijk與總體服從相同的分布,所以有,() (1.6)我們的任務(wù)就是根據(jù)這些觀測(cè)值來(lái)檢驗(yàn)因素a、b及其交互作用對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響是否顯著我們?nèi)匝赜玫诙?jié)的符號(hào)，再定義ai和bj對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的交互效應(yīng)為 ，() 則，()且易證.,我們要檢驗(yàn)因素a、b及其交互作用對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響是否顯著。相當(dāng)于檢驗(yàn)原假設(shè)： ，()2.3.3 方差分析

14、統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造1.定義 總平均值，總離差平方和，因素a的離差平方和，因素b的離差平方和,交互作用的離差平方和，誤差平方和。sa與sb分別反映因素a和b的不同水平所引起的系統(tǒng)差異；si反映因素a和b的不同水平搭配所引起的系統(tǒng)差異；而se則反映各種隨機(jī)因素引起的試驗(yàn)誤差。2.幾個(gè)重要結(jié)論 我們可以導(dǎo)出如下結(jié)論：; sa、sb、si、se是相互獨(dú)立的； 若h01成立，則 若h02成立，則 若h03成立，則3.構(gòu)造f統(tǒng)計(jì)量利用以上結(jié)論，定義:因素a的均方和；因素b的均方和；交互作用均方和；誤差均方和考察統(tǒng)計(jì)量，利用上面的結(jié)論及f分布的定義可知當(dāng)h01成立時(shí)， ; 當(dāng)h02成立時(shí)，當(dāng)h03成立時(shí)，; 2.

15、3.4 方差分析的方法我們可以根據(jù)fa、fb與fi的值的大小來(lái)檢驗(yàn)上述原假設(shè)h01 、h02與h03,對(duì)于給定的顯著性水平,由f分布表查得相應(yīng)的分位數(shù)， 通過(guò)比較f的值與的大小，判斷該因素的不同水平對(duì)總體有沒(méi)有顯著影響。通常分別取=0.05和=0.01,按f所滿(mǎn)足的不同條件做出不同的判斷： 表2-9條 件顯 著 性ff0.05不顯著f0.05 f0.01高度顯著（可用“*”表示）通常還根據(jù)計(jì)算結(jié)果，列出如下方差分析表： 表2-10方差來(lái)源平方和自由度均方和f值臨界值顯著性因素asafa0.05fa0.01 因素bsbfb0.05fb0.01 交互作用isifi0.05fi0.01 誤 差se

16、總 和s 第三章 應(yīng)用3.1 microsoft excel 方差分析功能介紹microsoft excel 是一個(gè)十分通用的計(jì)算機(jī)軟件，它含有方差分析的功能。方差分析方法能判斷各因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響是否顯著，并找出較好的水平組合。3.1.1 單因素方差分析若要考慮一個(gè)因素對(duì)某項(xiàng)試驗(yàn)指標(biāo)的影響是否顯著,則可通過(guò)對(duì)此因素的多個(gè)水平進(jìn)行比較,找到最優(yōu)水平,這時(shí)可采用單因素方差分析方法。例2 為提高合成纖維的抗拉強(qiáng)度,考慮合成纖維中棉花百分比這一因素a對(duì)其抗拉強(qiáng)度y的影響。選定因素a的5個(gè)水平:a1=15%,a2=20%,a3=25%,a4=30%,a5=35%.各水平重復(fù)試驗(yàn)5次。希望通過(guò)試驗(yàn)分析

17、找出最優(yōu)工藝條件(引自劉朝榮試驗(yàn)的設(shè)計(jì)與分析第26頁(yè))。用excel軟件解決此題的步驟如下：（1） 在某工作簿的電子表格中輸入試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下 圖3-1（2）用鼠標(biāo)單擊主菜單的“工具”，然后單擊下拉菜單的“數(shù)據(jù)分析”，再在彈出的窗口中選擇“單因素方差分析”并單擊“確定”按鈕.。這時(shí)彈出“方差分析：?jiǎn)我蛩胤讲罘治觥睂?duì)話(huà)框，選擇各選項(xiàng)如圖3-2后,單擊“確定”按鈕。 圖3-2這時(shí)得到單因素方差分析的結(jié)果如圖3-3所示, 圖3-3 其中“f crit”欄中的2.866081為臨界f0.05（4，20）；“p-value”欄表示f分布的截尾概率。現(xiàn)在f=14.7572.866081說(shuō)明合成纖維中棉花百分比

18、對(duì)其抗拉強(qiáng)度的影響是顯著的，當(dāng)然，若選=0.01，則臨界值f0.01（4，20）=4.43說(shuō)明其影響還是高度顯著的。再?gòu)膕ummary表中可見(jiàn)，a4的平均值21.6最大，方差也較小，因此，合成纖維中棉花百分比取30%時(shí)，其抗拉強(qiáng)度最高。注：每行數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)也可以不等。3.1.2雙因素方差分析通過(guò)例子來(lái)說(shuō)明：例3用excel軟件解決此題的步驟如下：（1）在某工作簿的電子表格中輸入試驗(yàn)數(shù)據(jù)如圖3-4，把a(bǔ)i和bj同一搭配的重復(fù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)放在不同行； 圖3-4（2）用鼠標(biāo)單擊主菜單的“工具”，然后單擊下拉菜單的“數(shù)據(jù)分析”，在彈出的窗口中選擇“可重復(fù)雙因素方差分析”并單擊“確定”按鈕。這時(shí)彈出“方差分析：

19、可重復(fù)雙因素方差分析”對(duì)話(huà)框，選擇各選項(xiàng)如圖3-5后,單擊“確定”按鈕。 圖3-5這時(shí)得到可重復(fù)雙因素方差分析的結(jié)果如圖3-6所示，關(guān)鍵是看第2934行的方差分析表。其中“fcrit”欄為臨界值?！皹颖尽睂?duì)應(yīng)因素a；“列”對(duì)應(yīng)因素b；“內(nèi)部”對(duì)應(yīng)誤差?，F(xiàn)fa=3.473.4903=fa0.05(3,12),fb=1.472.99612=fi0.05(6,12), 圖3-6說(shuō)明工人與機(jī)器的交互作用對(duì)產(chǎn)量的影響是顯著的。對(duì)于無(wú)重復(fù)的方差分析，也可模仿此方法操作，我們不再贅述。3.2 方差分析在農(nóng)業(yè)中的應(yīng)用在農(nóng)業(yè)科研中，不管試驗(yàn)設(shè)計(jì)如何完善、測(cè)量?jī)x器 如何精確，試驗(yàn)數(shù)據(jù)之間總會(huì)存在差異，這種差異是由

20、試驗(yàn)中采用不同的處理方法、試驗(yàn)過(guò)程中的不可控制因素、試驗(yàn)中出現(xiàn)的偶然因素共同作用造成的，是不可避免的。為了解這些數(shù)據(jù)間差異的程度，通常要對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行方差分析。方差分析就是根據(jù)試驗(yàn)處理平均數(shù)的方差與試驗(yàn)誤差的方差之間的比值(f值)的大小來(lái)判斷各試驗(yàn)處理對(duì)試驗(yàn)均數(shù)有無(wú)顯著的影響。通常將主要計(jì)算結(jié)果列成如表 3-1所示的方差分析表。 表3- 1 方差分析表變異來(lái)源自由度平方和均方檢驗(yàn)臨界值dfssms=ss/df處理間aa-1誤差ear-a總變異ar-13.2.1 在excel中安裝分析工具庫(kù) 利用 excel進(jìn)行方差分析首先要求其中有數(shù)據(jù)分析工具。打開(kāi)excel，選擇“工具”菜單，察看是否有“數(shù)

21、據(jù)分析”選項(xiàng)，若沒(méi)有，則在“工具”菜單的下拉菜單中選擇“加載宏”選項(xiàng)，在“加載宏”選項(xiàng)中選擇“分析工具庫(kù)”子選項(xiàng)，按“確定”按鈕即可。在安裝了“數(shù)據(jù)分析”工具之后，就可以利用excel方便地進(jìn)行方差分析了。3.2.2 單因素方差分析 在單因素方差分析中，影響總體均值的因素僅有一個(gè)，單因素方差分析是方差分析最簡(jiǎn)單的形式。單因素方差分析假定總體均值服從正態(tài)分布，且方差相等。 例 4 設(shè)有5種治療麻疹的藥，要比較它們的療效。為此，將30個(gè)病人隨機(jī)分成5組，每組6人，令同組的病人使用同一種藥，并記錄下病人從使用藥開(kāi)始到痊愈所需天數(shù)(表3-2)。試檢驗(yàn)5種藥物的療效有無(wú)顯著差異。 表3-2 5種治療麻疹

22、藥治愈病人天數(shù)表藥物 治愈所需天數(shù)a6877108b466356c644532d746635e945776應(yīng)用 excel進(jìn)行單因素方差分析的操作步驟如下： (1)新建一excel工作表，分別單擊a1：g5單元格，輸入表3-2中對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)； (2)單擊“工具”菜單中的“數(shù)據(jù)分析”選項(xiàng)，單擊其中的“方差分析；單因素方差分析”選項(xiàng)，單擊“確定”按鈕； (3)在出現(xiàn)的“方差分析；單因素方差分析”對(duì)話(huà)框中，在“輸入?yún)^(qū)域”中輸入“$a$1：$g$5”，在“分組方式中選擇“行”，在“a”中輸入“0.05”與“0.01”，在“輸出區(qū)域”中輸入“$a$6”，單擊“確定”按鈕。方差分析的最終結(jié)果如表3-3所示:

23、 表3-3 單因素方差分析結(jié)果表差異源ssdfmsff crit組間47.47411.875.55=2.76誤差53.50252.14=4.18總計(jì)100.9729從表3-3可知，f值大于fnn5=276與 i=418，說(shuō)明5種治療麻疹的藥物的療效在5水平上顯著，在l水平上極顯著。 3.2.3 雙因素方差分析 在實(shí)際問(wèn)題中，可能不只一個(gè)因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生影響。如果同時(shí)研究?jī)煞N因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響，則要進(jìn)行雙因素方差分析。 根據(jù)兩種因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有無(wú)交互影響，方差分析又可分為無(wú)重復(fù)雙因素方差分析和可重復(fù)雙因素方差分析。 1. 無(wú)重復(fù)雙因素方差分析 例 5 土壤因素(a)有砂土、壤土和粘土三個(gè)水平

24、，施肥因素(b)有對(duì)照(不施)、施 n肥、施p肥、施n肥和p肥，進(jìn)行育苗試驗(yàn)，秋后落葉后調(diào)查樹(shù)苗高度(表3-4)。試分析土壤、施肥和它們的交互作用對(duì)苗高生長(zhǎng)的影響。應(yīng)用 excel進(jìn)行無(wú)重復(fù)雙因素方差分析的操作步驟如下： (1) 新建一excel工作表，分別單擊a1：e4單元格，輸入表3-4中對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù) 表3-4 不同土質(zhì)、施肥條件下苗高資料表土壤因素 施肥因素b1(對(duì)照)b2(n)b3(n+k)b4(n+p)a1(砂土)32457462a2(壤土)52639073a3(粘土)43548570 (2)單擊“工具”菜單中的“數(shù)據(jù)分析”選項(xiàng)，單擊其中的“方差分析；無(wú)重復(fù)雙因素方差分析”選項(xiàng) ，單擊

25、“確定”按鈕； (3)在出現(xiàn)的“方差分析；無(wú)重復(fù)雙因素方差分析對(duì)話(huà)框中，在“輸入?yún)^(qū)域”中輸人“口a口1：口e口4”，在“a”中輸入“005”，在“輸出區(qū)域”中輸入“口a口5”，單擊“確定”按鈕。方差分析的最終結(jié)果如表3-5所示。由表3-5可知，不同的土壤和不同的施肥方法對(duì)育苗的高度在5水平上有顯著的差異。 表3-5 無(wú)重復(fù)雙因素方差分析結(jié)果差異源ssdfmsff crit行520.172260.0848.01=5.14列53.532.14171.26=4.76誤差32.565.42總計(jì)3335.67112. 可重復(fù)雙因素方差分析 例 6 小表有3個(gè)不育系(a1、a2、a3)與4個(gè)恢復(fù)系(b1、

26、b2、b3、b4)雜交，配成12個(gè)f1，重復(fù)3次，記載各fl的產(chǎn)量(表3-6)。試作方差分析。應(yīng)用 excel進(jìn)行有重復(fù)雙因素方差分析的操作步驟如下： 表3-6 個(gè)f1的產(chǎn)量表不育系 回復(fù)系b1b2b3b4a15.05.35.65.35.15.45.75.24.95.25.45.4a24.65.65.85.64.65.45.95.14.85.25.95.0a34.65.97.45.44.45.26.25.44.86.07.04.6(1)新建一excel工作表，分別單擊 a1：el0單元格，輸入表3-6中對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)； (2)單擊“工具”菜單中的“數(shù)據(jù)分析”選項(xiàng)，單擊其中的“方差分析；可重復(fù)雙因素

27、方差分析”選項(xiàng)，單擊“確定”按鈕； (3)在出現(xiàn)的“方差分析；單因素方差分析”對(duì)話(huà)框中，在“輸入?yún)^(qū)域”中輸入“$a$1：$e $io”，在“每一樣本行數(shù)”中輸入“3”，在“a”中輸入“005”，在“輸出區(qū)域”中輸入“$a$11”，單擊“確定”按鈕。方差分析的最終結(jié)果如表3-7所示。 表3-7 有重復(fù)雙因素方差分析結(jié)果差異源ssdfmsff crit樣0.6520.323.88=3.40列8.4732.8233.75=3.01交互2.7660.465.51=2.51誤差32.5245.42總計(jì)13.8835由表3-7可知，不育系、恢復(fù)系及它們間的交互作用對(duì)fl的產(chǎn)量在5水平上均有顯著的差異。3.

28、3 方差分析生物中的應(yīng)用本文結(jié)合經(jīng)常使用的飼養(yǎng)試驗(yàn)設(shè)計(jì)資料來(lái)說(shuō)明利用excel進(jìn)行飼養(yǎng)試驗(yàn)方差分析的具體用法 。3.3.1 單因素隨機(jī)分組實(shí)例 1 .材料與結(jié)果 選用15頭健康體重?zé)o顯著差異的仔豬隨機(jī)分為3組，用于研究3種飼養(yǎng)標(biāo)準(zhǔn)的飼養(yǎng)試驗(yàn)試驗(yàn)1組按飼養(yǎng)標(biāo)準(zhǔn)飼喂試驗(yàn)2組前期按比標(biāo)準(zhǔn)低 20飼喂后期按比標(biāo)準(zhǔn)低15飼喂，試驗(yàn)3組自由采食。經(jīng)56d試驗(yàn)取得增重結(jié)果如表3-8 表3-8 仔豬56d增重結(jié)果 ( kg)組別 56d增重試驗(yàn)1組3934353536試驗(yàn)2組1820191920試驗(yàn)3組35294235262 .用excel進(jìn)行方差分析 (1) 輸入原始數(shù)據(jù) 進(jìn)入 exce1單擊“文件”菜單再

29、單擊“新建”命令創(chuàng)建一個(gè)新工作簿。選定一個(gè)工作表，并命名為“單因素分析”。在 a1、b1、c1單元格中分別輸入“試驗(yàn)1組”、“試驗(yàn)2組”和“試驗(yàn)3組”。在a2：a6單元格區(qū)域中分別輸入試驗(yàn)1組增重?cái)?shù)據(jù)。同理在 b2、b6、c2、c6單元格區(qū)域中分別輸入試驗(yàn)2組、試驗(yàn)3組的增重?cái)?shù)據(jù) 。 （2） 實(shí)現(xiàn)自動(dòng)計(jì)算 得出方差分析結(jié)果單擊“工具”菜單中的“數(shù)據(jù)分析”命令(如果“數(shù)據(jù)分析”命令沒(méi)有出現(xiàn)在“工具”菜單上，請(qǐng)運(yùn)行“安裝”程序來(lái)加載“分析工具庫(kù)”。安裝完畢， 通過(guò)“工具”菜單中的“加載宏”命令，在“加載宏”問(wèn)內(nèi)計(jì)對(duì)話(huà)框中選擇并啟動(dòng)它)。在“數(shù)據(jù)分析”對(duì)話(huà)框中，單擊“單因素方差分析”按“確定”。再在

30、出現(xiàn)的“方差分析：?jiǎn)我蛩胤治觥睂?duì)話(huà)框“輸入?yún)^(qū)域”輸入ai：c6。在“or(a)”框中輸入需要用來(lái)計(jì)算f統(tǒng)計(jì)臨界值的置信度 (005或 001)，本例輸入 001。在“輸出選項(xiàng)”中 ，選定要計(jì)算結(jié)果的位置。本例在“輸出區(qū)域”中選定為a8單元格。單擊“確定”，就得到增重分析結(jié)果報(bào)告表(表3-9)。 表3-9 單因素方差分析結(jié)果（部分）差異源ssdfmsfp-valuef crit時(shí)間694.6 2345.8016.810.00036.93組內(nèi)246.8 1220.57總計(jì)938.4 14（3）分析討論 由表3-9知；f=1681fcrit=693。所以 pfcrit=6.99，所 以 p0.01；

31、 fb=i260.01。這說(shuō)明：不同飼料對(duì)仔豬增重效應(yīng)有非常顯著的差異，而窩組問(wèn)的差異不顯著。3.3.3 有重復(fù)雙因素分析實(shí)例 1. 材料與結(jié)果 用能量分為高、低兩個(gè)水平 (用 a1、a2表示)，蛋白質(zhì)也分為高、低兩個(gè)水平(用 bl、b2表示 )的飼料，組成a1b1(高能量高蛋白質(zhì))、a1b2 (高能量低蛋白質(zhì))、a2b1 (低能量高蛋白質(zhì))、a2b2(低能量低蛋白質(zhì))4種日糧。隨機(jī)抽取試驗(yàn)用仔豬28頭，隨機(jī)分置于4個(gè)試驗(yàn)組，分別飼喂上述4種日糧，每組7頭，28頭仔豬分別單圈喂飼。記錄試驗(yàn)開(kāi)始與結(jié)束時(shí)體重。試驗(yàn)結(jié)束時(shí)取得的仔豬增重?cái)?shù)據(jù)列入表3-12。2. 用excel進(jìn)行方差分析(1) 輸入原

32、始數(shù)據(jù) 選定一個(gè)工作表，并命名為“可重復(fù)雙因素”。在 a2、a9、bl、cl單元格中輸入 a1、a2、bl、b2，在 b2：b8單元格區(qū)域中依次輸入表 3-12中albl列增重?cái)?shù)據(jù)。同理，在c2：c8、b9：b15、c9：cl5單元格區(qū)域中依次輸入表 3-12中 a1：b2、a2、b1、a2：b2列增重?cái)?shù)據(jù)。 表3-12仔豬增重?cái)?shù)據(jù)日糧能量（a） 高 低日糧能量（b） 高 低 高 低日糧符號(hào) a1b1 a1b2 a2b1 a2b2增重/kg34.527.520.228.235.133.524.811.933.831.620.623.440.334.722.320.942.540.116.524

33、.924.627.620.414.616.822.425.513.5（2） 實(shí)現(xiàn)自動(dòng)計(jì)算 ，得出方差分析結(jié)果 單擊“工具”菜單中的“數(shù)據(jù)分析”命令，在“數(shù)據(jù)分析”對(duì)話(huà)框中，單擊“可重復(fù)雙因素分析”，按“確定”。在“輸入?yún)^(qū)域”中輸入 ai：c15，“每一個(gè)樣本的行數(shù)”中輸入“7”，在“在僅(a)”中 、輸入0.0l，在“輸出區(qū)域”中輸入a8，單擊“確定”得到日糧中含量不同的能量、蛋白質(zhì)效應(yīng)方差分析結(jié)果(表3-13)。 表3-13 有重復(fù)雙因素方差分析結(jié)果（部分）差異源ssdfmsfp-valuef crit樣本893.831893.8321.540.00017.82列17.60117.600.4

34、20.52117.82互交0.4610.460.010.91687.82內(nèi)部995.932441.50總計(jì)1907.8227（3） 分析討論 由表3-13知 ：f能量=21.54fcrit=7.82，p0.01，表明能量效應(yīng)差異極顯著；f蛋白質(zhì)=0.420.01；f交互=0.010.01，表明蛋白質(zhì)效應(yīng)、交互作用差異不顯著 。第4章 總結(jié) 在科學(xué)試驗(yàn)和生產(chǎn)實(shí)踐中，影響結(jié)果的因素往往有多個(gè)，有些因素影響較大，有些影響較小。這就有必要尋找出對(duì)結(jié)果有顯著影響的因素。方差分析就是根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果作出分析，判斷各因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果影響程度的一種常用科學(xué)方法。 本文主要介紹了單因素方差分析和雙因素方差分析，并通過(guò)

35、microsoft excel應(yīng)用軟件使得方差分析更加的完美。在此利用excel進(jìn)行的農(nóng)業(yè)統(tǒng)計(jì)和飼養(yǎng)試驗(yàn)就使他們的優(yōu)勢(shì)的到了充分的體現(xiàn)。利用excel進(jìn)行方差分析不僅操作非常簡(jiǎn)單，而且避免了用簡(jiǎn)單計(jì)算器手算的繁瑣，大大提高了計(jì)算的效率和準(zhǔn)確性，同時(shí)還自動(dòng)生成電子表格。使其反應(yīng)的更直觀更明確，需注意的是在輸入原始數(shù)據(jù)時(shí)要按照excel要求的格式輸入，否則會(huì)出錯(cuò)。人類(lèi)已經(jīng)邁進(jìn)了21世紀(jì)，由于科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，數(shù)量分析已滲透到各個(gè)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)的重要性已被整個(gè)社會(huì)所公認(rèn)，由于計(jì)算機(jī)技術(shù)的廣泛普及和提高，許多繁難的計(jì)算和抽象的推理已不再是高不可攀，以前為了計(jì)算數(shù)據(jù)浪費(fèi)大量時(shí)間不說(shuō)還很難保證精確度，或者為

36、了實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)的某個(gè)應(yīng)用但是由于缺乏數(shù)學(xué)原理和邏輯思維而難以前進(jìn)。這些都隨著計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)的滲透越來(lái)越深入而變得越來(lái)越容易，用計(jì)算機(jī)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題大大提高了工作效率，而且為數(shù)據(jù)增加了準(zhǔn)確性，為我們的科研和生產(chǎn)實(shí)踐帶來(lái)的很大方便。相信計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)的結(jié)合以后會(huì)應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域，為我們實(shí)現(xiàn)現(xiàn)代化、邁進(jìn)先進(jìn)國(guó)家的行列打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)！馬,陪f?lm嫄w壙獑?n?)?0?q?3拞屓?p勌m:b5a漬璺1疆lv0瘩艌v?2屘b瘌tq 妋4uk袢,疀薤,a6玭$? $徤?|?罪=t?g駁op1尚懇袹戦疈u圻?賡o?a?*p懡0l)w懱拽?e?/扢?9镃/潺hr烞b蔔ye嚁劑bb?捚?慳曥t?ufuz!醋mm蘇g壺鰷伸

37、?qfg%厧1t? 戯憤焿驆罳騙萡p?躀cp縮蒕?np砫 ?c?z豸值?橒忋喏曚ni耔nenb峢mt鸏s眑+?該|紖?!汩?膾f抙氄宨澻s箔xm竴玐訨?v?腡?,b衹絵2n吞輷匽e馬e馬,陪f?lm嫄w壙獑?n?)?0?q?3拞屓?p勌m:b5a漬璺1疆lv0瘩艌v?2屘b瘌tq 妋4uk袢,疀薤,a6玭$? $徤?|?罪=t?g駁op1尚懇袹戦疈u圻?賡o?a?*p懡0l)w懱拽?e?/扢?9镃/潺hr烞b蔔ye嚁劑bb?捚?慳曥t羈8?p蟇7硏楓pg裋.1瑡2陹?泝z祘?$賕?諑矽?|d蚈/盰#,vdle嵮禋t?ni耔nenb峢mt鸏s眑+?該|紖?!汩?膾f抙氄宨澻s箔xm竴玐訨?v?腡

38、?,b衹絵2n吞輷匽之銻蚗v枉h5di:t詮i?懣忋忑殆#懛嗕!v汁 赸l偎蠽mn?鈹舤y?忩efhga厏a堳膷q?h芛vf?瘐?c+粂鰌q惦ez 赸l偎蠽mn?鈹舤y?忩efhga厏a堳膷q?h芛vf?瘐?c+粂鰌q惦e摭f訥,#ru?遴?eyk?窅脆?_躵y膠?宗卝?xa蛋?h7曮z- e馬,陪f?lm嫄w壙獑?n?)?0?q?3拞屓?p勌m:b5a漬璺1疆lv0vb瘌tq 妋4uk袢,疀薤,a6玭$? $徤?|?罪=t?g駁op1尚懇袹戦疈u圻?賡o?a?*p懡0l)w懱拽?e?/扢?9镃/潺hr烞b蔔ye嚁劑bb?捚?慳曥t?ufuz!醋mm蘇g壺鰷伸?qfg%厧1t? 戯憤焿驆罳騙萡

39、p?躀cp縮蒕?np砫 ?c?z豸值?橒忋喏曚ni耔nenb?%?*h?棐鑉濤3峽z乙v徻3?珄 餖朮爟?w圐葴逑辢鈁e?籋鰫.僂?p蟇7硏楓pg裋.1瑡2陹?泝z祘?$賕?諑矽?|d蚈/盰#,vdle嵮禋t羈8?p蟇7硏楓pg裋.1瑡2陹?泝z祘?$賕?諑矽?|d蚈/盰#,vdle嵮禋t?ni耔nenb峢mt鸏s眑+?該|紖?!汩?膾f抙氄宨澻s箔xm竴玐訨?v?腡?,b衹絵2n吞輷匽之銻蚗v枉h5di:t詮i?懣忋忑殆#懛嗕寒絫 赸l偎蠽mn?鈹舤y?忩efhga厏a堳膷q?h芛vf?瘐?c+粂鰌q惦ez 赸l偎蠽mn?鈹舤y?忩efhga厏a堳膷q?h芛vf?瘐?c+粂鰌q惦e摭f訥,#

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