右手螺旋定則判定

1、1 (1) 質(zhì)點(diǎn)對通過參考點(diǎn) O 的任意軸線Oz 的角動量lz , 是 質(zhì)點(diǎn)相對于同一參考點(diǎn)的角動量 l 沿該軸線的分量。 ?cosll z ? (2) 如果質(zhì)點(diǎn)始終在Oxy平面上運(yùn)動, 質(zhì)點(diǎn)對Oz 軸的角動量與對參考點(diǎn) O 的角動量的大小是相等的 ,即 ?sinvmrll z ?x y z p ? o ? r ? l ? vm ? lz 注意 面對 z 軸觀察, 由方向沿逆時針轉(zhuǎn)向 mv 的方 向所形成的角才是?角。 r ? 2 (3) 在直角坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)角動量可以表示為 zyx mvmvmv zyx kji vmrl ? ? ? ? kymvxmvjxmvzmvizmvymv xyzxyz

2、 ? )()()(? kljlil zyx ? ? 其Z軸分量為： )( xyZ ymvxmvl? 3 (4)作圓周運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)的角動量 例1：一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)沿著一條空間曲線運(yùn)動， 該曲線在直角坐標(biāo)下的矢徑為： j tbi tar ? ? ?sincos? ，其中a、b、 ? 皆為常數(shù)，求該質(zhì)點(diǎn)對原點(diǎn)的角動量。 l=m r v j tbi ta t r v ? ? ? ? cossin d d ? j tbi tar ? ? ? sincos? 解：已知 or ? p ? l ? 4 vmrl ? ? ? ktmabktmab ? ? 22 sincos? kmab ? ? 二、角動量定理(t

3、heorem of angular momentum) t p rp t r pr tt l d d d d )( d d d d ? ? ? ? ? ? prl ? ? ? 角動量，兩邊求導(dǎo) 角動量 5 Fr vm v t l ? ? ? ? d d vmp ? ?v t r ? ? ? d d F t p ? ? ? d d 其中 令 FrM ? ? ? ? 為合外力對同一固定點(diǎn)的力矩。 大?。籑 rFsin ?(?為矢徑與力之間的夾角) 方向：右手螺旋定則。 單位： Nm 量綱： ML 2 T -2 m o ? M ? r ? F ? 6 角動量定理： 質(zhì)點(diǎn)所受的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)角動量的增

4、量 。 如果質(zhì)點(diǎn)始終在Oxy平面上運(yùn)動,可得到Mz )sin( d d ?mvr t M z ? 0?vmv ? ? MFr t l ? ? ? ? d d t l M d d ? ? ? 0 0 lldtM t ? ? ? 7 若作用于質(zhì)點(diǎn)的合力對參考點(diǎn)的力矩 , 0?M ? t l M d d ? ? 由，得 0? t l d d ? 恒矢量即?l ? 若作用于質(zhì)點(diǎn)的合力對參考點(diǎn)的力矩始終為零 , 則質(zhì)點(diǎn)對同一參考點(diǎn)的角動量將保持恒定。 三、質(zhì)點(diǎn)角動量守恒定律 注意：1. 這也是自然界普遍適用的一條基本規(guī)律。 2. = 0 ，可以是 = 0,也可以是= 0, 還可能是 與 同向或反向，例如

5、有心力情況。 M ? r ? F ? F ? r ? 8 3.3.如果作用于質(zhì)點(diǎn)的合力矩不為零如果作用于質(zhì)點(diǎn)的合力矩不為零 , , 而合力矩沿而合力矩沿Oz 軸的分量為零,則 恒量恒量( ( 當(dāng)當(dāng)Mz= 0時時 ) ) l z ? 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)所受對Oz軸的力矩為零時,質(zhì)點(diǎn)對該軸的 角動量保持不變。此結(jié)論稱為角動量保持不變。此結(jié)論稱為 質(zhì)點(diǎn)對軸的角動量守質(zhì)點(diǎn)對軸的角動量守 恒定律。 例2：行星運(yùn)動的開普勒第二定律認(rèn)為行星運(yùn)動的開普勒第二定律認(rèn)為 , , 對于任一對于任一 行星, 由太陽到行星的徑矢在相等的時間內(nèi)掃過相等 的面積。試用角動量守恒定律證明之。的面積。試用角動量守恒定律證明之。 9 解解:

6、 :將行星看為質(zhì)點(diǎn), ,在在dt 時間內(nèi)以速度完成的完成的 位移為,矢徑在d t時間內(nèi)掃過的面積為 dS （圖中陰影）。 v ? t vd ? r ? tvrSd 2 1 d ? ? 根據(jù)質(zhì)點(diǎn)角動量的定義 )(vrmvmrl ? ? ? 則則t m l Sd 2 d? f ? r ? r ? o m dtv ? 10 矢徑在單位時間內(nèi)掃過的面積（稱為矢徑在單位時間內(nèi)掃過的面積（稱為 掠面速度掠面速度） m l t S 2d d ? 萬有引力屬于有心力 , 行星相對于太陽所在處的 點(diǎn)點(diǎn)O的角動量是守恒的 , 即即= 恒矢量, ,故有l(wèi) ? ? m l t S 2d d 恒量 行星對太陽所在點(diǎn) O

7、 的角動量守恒,不僅角動量的 大小不隨時間變化大小不隨時間變化, 即掠面速度恒定, , 而且角動量 的方向也是不隨時間變化的 , 即行星的軌道平面在 空間的取向是恒定的。 11 例例3：質(zhì)量為m的小球系于細(xì)繩的一端,繩的另一 端縛在一根豎直放置的細(xì)棒上 , 小球被約束在水平面 內(nèi)繞細(xì)棒旋轉(zhuǎn), 某時刻角速度為? 1，細(xì)繩的長度為 r 1 。 當(dāng)旋轉(zhuǎn)了若干圈后 , 由于細(xì)繩纏繞在細(xì)棒上 , 繩長變 為r 2 , 求此時小球繞細(xì)棒旋轉(zhuǎn)的角速度? 2 。 2 r 1 r 解：小球受力 繩子的張力,指向細(xì)棒； 重力，豎直向下；支撐力,豎直向上。 與繩子平行, 不產(chǎn)生力矩；與 平衡，力矩始終為零。所以 ,

8、 作用于小 球的力對細(xì)棒的力矩始終等于零 , 故小 球?qū)?xì)棒的角動量必定是守恒的。 T ? T ? W ? W ? N ? N ? 12 根據(jù)質(zhì)點(diǎn)對軸的角動量守恒定律 2211 rmvrmv? 式中v 1 是半徑為r 1 時小球的線速度, v 2 是半徑為 r 2 時小球的線速度。 代入上式得 2 2 21 2 1 ?mrmr? 解得 1 2 2 1 2 )(? r r ? 可見, 由于細(xì)繩越轉(zhuǎn)越短 , , 小球的角速度 必定越轉(zhuǎn)越大, 即。 rr 21 ? ? 21 ? 222111 ,rvrv? 而 13 例例4：半徑為R的光滑圓環(huán)上A 點(diǎn)有一質(zhì)量為m的小球，從靜止 開始下滑，若不計(jì)摩擦力，求小 球到達(dá)B點(diǎn)時的角動量和角速度。 解解：小球受重力矩作用，由角動量定理 ： t l mgRM d d cos? td d? ? 2 ,mRmRvl? l mR t ? d d 2 ? A B P R n F ? v ? 14 利用初始條件對上式積分利用初