高中數(shù)學(xué) 第三章不等式34基本不等式教案 新人教A版必修5

1、 a?b : 3.4基本不等式課題 ?ab 2 1課時(shí)第授課類型：新授課 【教學(xué)目標(biāo)】 1知識(shí)與技能：學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解這個(gè)基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號(hào)“”取等號(hào)的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等； 2過(guò)程與方法：通過(guò)實(shí)例探究抽象基本不等式； 3情態(tài)與價(jià)值：通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣 【教學(xué)重點(diǎn)】 a?b ?ab的證明過(guò)程； 應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式 2 【教學(xué)難點(diǎn)】a?b ?ab等號(hào)成立條件基本不等式 2 【教學(xué)過(guò)程】 1.課題導(dǎo)入b?a ?ab 基本不等式的幾何背景： 2會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)界國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)

2、標(biāo)，如圖是在北京召開(kāi)的第24代表中國(guó)人民熱情好客。顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車，家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的， 你能在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？ 的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系。教師引導(dǎo)學(xué)生從面積 講授新課2. 探究圖形中的不等關(guān)系1中右個(gè)全等的直角三角形。設(shè)直角三角形ABCD將圖中的“風(fēng)車”抽象成如圖，在正方形 22b?a個(gè)直角三角形的面積的和是那么正方形的邊長(zhǎng)為4的兩條直角邊長(zhǎng)為a,b。這樣，22b?a我們就得到了個(gè)直角三角形的面積小于正方形的面積，。，2ab正方形的面積為由于422ab2b?a? 。一個(gè)不等式：22aba?b?2 。EFGH當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即a=b時(shí)，

3、正方形縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有22)號(hào)?aba?b?2(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取?a,bR,那么 得到結(jié)論：一般的，如果2 思考證明：你能給出它的證明嗎？3 222)ba?ba?2ab( 證明：因?yàn)?當(dāng)220,?b)?,(aa,(?b)?0,當(dāng)?b時(shí)a時(shí)?ab 222.?a(?b)2ab0?a(?b) ，即所以， ba? ?ab）1 4從幾何圖形的面積關(guān)系認(rèn)識(shí)基本不等式 2 aba?b?2 ，可得b 特別的，如果a0,b0,我們用分別代替a、ba? ?(a0,b0)ab通常我們把上式寫作： 2b?a ?ab） 2 從不等式的性質(zhì)推導(dǎo)基本不等式 2 用分析法證明：ba? ab? 要證 (1) 2? (2)

4、a+b只要證 ? ）（，只要證 a+b- 30 要證（2） 2 4），只要證 （ - ） （要證（3） ）中的等號(hào)成立。（4）是成立的。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，（4顯然，ba? ?ab）3 的幾何意義理解基本不等式 2 110頁(yè)的“探究”探究：課本第作垂直于CC是AB上的一點(diǎn)，AC=a,BC=b。過(guò)點(diǎn)是圓的直徑，點(diǎn)在右圖中，AB ba? ?ab的幾AB的弦DE，連接AD、BD。你能利用這個(gè)圖形得出基本不等式 2 何解釋嗎？ 2B AtDBDtAD，那么易證abD. 即ba?b?aab?CCD與圓，其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)這個(gè)圓的半徑為，顯然，它大于或等于，即 22ba. 心重合，即時(shí)，等號(hào)成立ba? ?ab因

5、此：基本不等式 幾何意義是“半徑不小于半弦” 2ba?abbaab的等比中項(xiàng)，那評(píng)述：1.如果把的等差中項(xiàng)，看作是正數(shù)看作是正數(shù)、 2. 么該定理可以敘述為：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng)ba?abbaab在數(shù)學(xué)中，我們稱、的幾何平均數(shù).的算術(shù)平均數(shù)，稱為本節(jié)、2.為 2. 定理還可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù) 補(bǔ)充例題yx 、都是正數(shù)，求證：例1 已知xy? (1)2； yx332233xyxyxyxy. ）（）（）（(2) ba?ab?ba把時(shí)，注意條件均為正數(shù)，結(jié)合不等式的性質(zhì)分析：在運(yùn)用定理：、( 2. ，進(jìn)行變形握好每條性質(zhì)成立的條件)xy3322yxy

6、xxy00 ，都是正數(shù)，解：，00，0 0 yxyxyxyx?2?2. (1)2即 xyxyxy32233322yyxxxyyxyxxy0 20 2(2)0 23223322333yyxxxyyxyxxyyx （2）（）（2）2322333yyxxyxyx. ）（即（） 3.隨堂練習(xí)cab 都是正數(shù)，求證1.已知、abcccaabb ）（）（ba?ab?ba. 0（分析：對(duì)于此類題目，選擇定理：0，）靈活變形，可求得結(jié)果 2cba ，解：，都是正數(shù)abba0 2bccb0 2acac0 2acbcababcabaccb （22）（2）（）abccbcaab. ）（）即（）（ 4.課時(shí)小結(jié)ba?22bbabaa，幾；兩正數(shù)）、本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了重要不等式的算術(shù)平均數(shù)（2 2ba?ababab、何平均數(shù)（）及它們的關(guān)系（它們成立的條件不同，前者只要求）. 2ab都是正數(shù).、它們既是不等式變形的基本工具，又是求函數(shù)最值的