初中數(shù)學(xué)：《精彩拼圖》教案

1、精彩拼圖一節(jié)凸顯“類比、轉(zhuǎn)化”等數(shù)學(xué)思想方法的活動(dòng)課。 1 教學(xué)目標(biāo)：（1）掌握處理拼圖的必要策略，通過利用面積不變獲取必要信息。（2）經(jīng)歷拼圖過程，感受類比、從特殊到一般、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，提升分析、解決綜合性問題的能力。教學(xué)重點(diǎn)：經(jīng)歷拼圖過程，提升分析、解決綜合性問題的能力。教學(xué)難點(diǎn)：挑戰(zhàn)題和合作學(xué)習(xí)具有一定的難度，是本節(jié)教學(xué)的難點(diǎn)。2 課堂實(shí)錄2.1 課堂引入 同學(xué)們，見過這個(gè)圖形嗎？它是由21個(gè)小正方形拼成的正方形，稱為“完美正方形”！你知道它是怎么拼出來的嗎？老師今天就想和同學(xué)們一起來探索拼圖問題。（出示課題）首先，讓我們來看這樣一個(gè)簡(jiǎn)單的問題：2.2 出示問題1如圖，把兩個(gè)11的

2、小正方形剪拼成一個(gè)大正方形.(要求剪拼時(shí)不留空隙又不重疊)師：請(qǐng)問如何分割？生：沿對(duì)角線分割。師：請(qǐng)問你為什么沿對(duì)角線分割？生：這樣能分成4個(gè)等腰直角三角形，而四個(gè)等腰直角三角形可以拼成一個(gè)正方形。師：很好，這位同學(xué)通過直觀觀察發(fā)現(xiàn)四個(gè)等腰直角三角形可以拼成一個(gè)正方形。在此過程中，形狀發(fā)生了改變，同學(xué)們有沒有發(fā)現(xiàn)不變的量。生：面積師：太棒了！面積不變。那面積多少呢?生：2師：知道了面積，那正方形的邊長(zhǎng)多少呢？生：師：邊長(zhǎng)，那小正方形對(duì)角線長(zhǎng)度多少？生：師：很好，所以在拼圖前，先別急著畫圖，而是可以利用面積不變，先計(jì)算出邊長(zhǎng)為，再在原圖中找到的線段。這樣我們就可以有目的的沿對(duì)角線進(jìn)行分割。板書：

3、方法：1.求邊長(zhǎng)（面積不變）；2.找邊長(zhǎng)。師：現(xiàn)在，我們已經(jīng)知道兩個(gè)大小相等的正方形能拼成一個(gè)正方形，那如果兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)不一樣時(shí)，它們還能拼成正方形嗎？請(qǐng)看：變式1如圖，正方形abcd的邊cd在正方形ecgf的邊ce上，b、c、g三點(diǎn)在一條直線上，且邊長(zhǎng)分別為 5 和 12 .把這圖形剪拼成一個(gè)正方形.adfecgbabcdfge請(qǐng)學(xué)生在黑板上畫圖。教師：請(qǐng)問你是怎么想的？生：面積先計(jì)算出來是25+144=169，所以新正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)該是13，而cd=5,cg=12,所以dg=13.師:很好，聯(lián)想剛才的拼圖，先計(jì)算邊長(zhǎng)，再找出邊長(zhǎng)，進(jìn)行了很好的類比,這就是類比的數(shù)學(xué)思想。（板書：類比思想）

4、老師在看大家畫圖的過程中發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)和以下圖形其中的一個(gè)相同。abdegcfadfegcbhadfebgckabcdgefabcdefg現(xiàn)在我們來研究一下是通過怎樣的變換拼成正方形。我們發(fā)現(xiàn)四個(gè)圖都可以看成先把小正方形平移到虛線的位置，然后延長(zhǎng)較大正方形其中一邊，然后再平移兩個(gè)直角邊為5和12的直角三角形就能拼成需要的正方形。由此，我們也可以直接在原圖中延長(zhǎng)ce至h，使得eh=5，連結(jié)ah,hf,在cg上截取點(diǎn)k，使得kg=5，連結(jié)ak，可以證明adhhefkgfabk,也可以證明四邊形akfh是正方形。那么，任意兩個(gè)正方形都能拼成一個(gè)正方形嗎？學(xué)生4：只需要設(shè)兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為、，后面拼

5、圖的過程和前面一樣。教師：非常好，又一次進(jìn)行類比！看來，只要給定兩個(gè)正方形，就一定能拼成一個(gè)正方形！那么，如果給你一個(gè)正方形，一個(gè)矩形，它們能拼成一個(gè)正方形嗎？請(qǐng)看：變式2cdemhkbanfg如圖，正方形abcd的邊cd在矩形ecgf的邊ce上，b、c、g三點(diǎn)在一條直線上，且ab=5,ce=6，cg=24，把這圖形剪拼成一個(gè)正方形。efdgacb生：我只能算出拼成的正方形的邊長(zhǎng)為13，怎么操作還不知道。師：請(qǐng)繼續(xù)思考。生：先沿著矩形中間切一刀，把它拼成一個(gè)正方形，這樣就跟剛才情況一樣了。師：（激動(dòng)地）噢，可以轉(zhuǎn)化成兩個(gè)正方形！好主意！把不會(huì)的轉(zhuǎn)化為會(huì)的，把陌生的轉(zhuǎn)化為熟悉的，這就是轉(zhuǎn)化思想（

6、 板書：轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。）請(qǐng)繼續(xù)挑戰(zhàn)：變式3cdefgbnahmefbadc如圖，正方形abcd的邊長(zhǎng)為12，等腰rtafe的斜邊ae=10，且邊ad和ae在同一直線上把這圖形剪拼成一個(gè)正方形。生：作ae邊上的高fg，把等腰直角三角形拼成正方形，后面拼圖的過程和前面一樣。師：又是轉(zhuǎn)化！一路走來：兩個(gè)正方形可拼成一個(gè)正方形；一個(gè)矩形、一個(gè)正方形也可以拼成一個(gè)正方形！一個(gè)正方形、一個(gè)等腰直角三角形也能拼成一個(gè)正方形。那么，你還能找到兩個(gè)圖形，它們也能拼成正方形嗎？請(qǐng)你畫一畫。生8：兩個(gè)等腰直角三角形。（也許學(xué)生可能會(huì)提出兩個(gè)矩形）我找的圖形emgcbhfna如圖，等腰rtafe的斜邊ae=10 ，

7、等腰rtabc的斜邊ac=24，且邊ae和ac在同一直線上把這圖形剪拼成一個(gè)正方形.cefba師：怎么拼？生：把兩個(gè)等腰直角三角形先轉(zhuǎn)化成正方形，再類比前面的方法，可以拼成一個(gè)正方形。師：非常好！類比、轉(zhuǎn)化，我們就能解決了！師：通過一些圖形的剪拼，我們學(xué)到了解決此類問題的方法是什么？生：先利用面積求出邊長(zhǎng)，再找到這樣的邊長(zhǎng)。師：好，哪些數(shù)學(xué)思想給了我們很大的幫助？生：類比、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。師：好，帶著這些方法和數(shù)學(xué)思想，我們繼續(xù)挑戰(zhàn)：2.2 問題2abcde如圖,把這張由三個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正三角形組成的等腰梯形紙片裁2刀拼成一個(gè)等邊三角形.生：我只能算出拼成的等邊三角形的邊長(zhǎng)為，怎么拼還在想。師

8、：請(qǐng)問你是如何得到等邊三角形的邊長(zhǎng)為。生：利用面積不變，先計(jì)算出等腰梯形的面積為，從而得到等邊三角形的邊長(zhǎng)為師：很好，在這里我們還是利用面積不變，先計(jì)算出等邊三角形的邊長(zhǎng)為。那么在這圖中，哪兩個(gè)點(diǎn)的距離是？生：a、c兩點(diǎn)的距離是。師：ok，那么請(qǐng)你繼續(xù)思考該如何分割？生：小等邊三角形的高為，所以可以先沿著等腰梯形的對(duì)角線分割，再沿著等腰梯形的一條高分割，操作如圖：師：非常好，那如下3個(gè)等腰梯形，你們認(rèn)為可以拼成一個(gè)等邊三角形嗎？abcde1112abcdf11e21abcd1112生：可以，仍然可以把這圖形轉(zhuǎn)化為剛才的等腰梯形。師：非常好，“殊圖同歸”！可見，學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)鍵是思想和方法！那我們繼續(xù)

9、挑戰(zhàn)。2.3 問題3（合作學(xué)習(xí)）圖1如圖1是被減去了四分之一圓弧的一部分圓，（1）把圖1剪拼成一個(gè)正方形。（2）若這樣的圖形有兩塊，把這兩個(gè)圖形剪拼成一個(gè)正方形.（3）若只裁2刀，把這兩個(gè)圖形剪拼成一個(gè)正方形。圖1生：第（1）題學(xué)生黑板操作如下：生：第（2）題學(xué)生描述操作如下：再把這兩個(gè)正方形按照前面的操作剪拼成一個(gè)正方形。師：非常好，通過轉(zhuǎn)化思想，先拼出兩個(gè)正方形，再把這兩個(gè)正方形拼成一個(gè)大的正方形。那假如圓的直徑為2，你能得出圖1的面積嗎？為什么？生：面積為2，因?yàn)樵瓐D的面積和正方形的面積一樣。而正方形面積算出來是2。師：你很棒，我們同樣給點(diǎn)掌聲。在這里我們發(fā)現(xiàn)，計(jì)算一個(gè)不規(guī)則圖形的面積時(shí)，也可以先通過拼成一個(gè)規(guī)則圖形再計(jì)算面積，當(dāng)然，有個(gè)前提，是比較直觀的能拼出規(guī)則圖形。那第3個(gè)問題顯然不是那么容易一下子拼出來，那么你們應(yīng)該怎么思考呢？生：第（3）題描述操作如下：師：你們這組為什么想到沿著直徑進(jìn)行分割？生：假如圓的直徑為2，我們先算出兩個(gè)圖形的面積和為4，所以拼成的正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)該為2，所以應(yīng)該沿著直徑分割。師：你們非常棒，又是通過面積不變，求邊長(zhǎng)，找邊長(zhǎng)。別的組還有不同的分割方法嗎