教師培訓(xùn)課件：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的理論探討

1、 20世紀(jì)80年代以來，教師教育出現(xiàn)了 一種“反思性轉(zhuǎn)向”。以美國為開端，關(guān)于 反思的討論迅速在教師教育界興起。這種討 論的結(jié)果就是形成了“教師即研究者”（ elliott， 1990）的理念，也就是說，教師不 應(yīng)只是別人研究成果的消費(fèi)者，更應(yīng)是研究 者。 教師即技師（教師即技師（teacher as technician） 教師即研究者（教師即研究者（teacher as researcher） 陳鳳潔、黃毅英和蕭文強(qiáng)（陳鳳潔、黃毅英和蕭文強(qiáng)（1994）提出了）提出了“學(xué)學(xué) 者教師者教師”（scholar teacher）的想法，這種教師勇）的想法，這種教師勇 于迎接時代挑戰(zhàn)，于迎接時代挑戰(zhàn)

2、，“無論對數(shù)學(xué)、教育及學(xué)生特點(diǎn)無論對數(shù)學(xué)、教育及學(xué)生特點(diǎn) 均能掌握，本身也須為思考者、研究者與課程設(shè)計均能掌握，本身也須為思考者、研究者與課程設(shè)計 者者”。 蕭文強(qiáng)（蕭文強(qiáng)（2007）認(rèn)為，要成為一位）認(rèn)為，要成為一位“學(xué)者教師學(xué)者教師”， 應(yīng)該有應(yīng)該有“處處留心皆學(xué)問處處留心皆學(xué)問”的情懷，因此，數(shù)學(xué)教的情懷，因此，數(shù)學(xué)教 師需要進(jìn)行數(shù)學(xué)研究，但這種數(shù)學(xué)研究與一位數(shù)學(xué)師需要進(jìn)行數(shù)學(xué)研究，但這種數(shù)學(xué)研究與一位數(shù)學(xué) 工作者通常進(jìn)行的研究雖然精神相同，內(nèi)容與性質(zhì)工作者通常進(jìn)行的研究雖然精神相同，內(nèi)容與性質(zhì) 都有別。因為教師必須運(yùn)用學(xué)生懂得的語言去解釋都有別。因為教師必須運(yùn)用學(xué)生懂得的語言去解釋 ，

3、也要照顧到學(xué)生的學(xué)業(yè)程度和知識背景。，也要照顧到學(xué)生的學(xué)業(yè)程度和知識背景。 數(shù)學(xué)工作者中小學(xué)數(shù)學(xué)教師 l問題處于學(xué)術(shù)領(lǐng)域的前沿 l在文獻(xiàn)上通常找不到答案 l盡量把問題表述成一般形 式 l盡量尋找一般的解答 l設(shè)法運(yùn)用任何數(shù)學(xué)知識、 方法與技巧 l優(yōu)美解答是追求的準(zhǔn)則 l問題源自教學(xué)上的需要 l在文獻(xiàn)上可能找到也可能 找不到答案 l往往只著意問題的特殊情 況 l有時對尋找具體的解答更 感興趣 l只能運(yùn)用某些范圍內(nèi)的數(shù) 學(xué)知識、方法和技巧 l優(yōu)美解答不一定是追求的 準(zhǔn)則，有時貌似“笨拙” 的解答反而更派用場 “教師成為研究者教師成為研究者”有利于教師去發(fā)現(xiàn)和解決發(fā)生在自己有利于教師去發(fā)現(xiàn)和解決發(fā)生

4、在自己 課室中的教學(xué)問題，或是教育上的問題，進(jìn)而改進(jìn)教學(xué)以課室中的教學(xué)問題，或是教育上的問題，進(jìn)而改進(jìn)教學(xué)以 及提升教育質(zhì)量。及提升教育質(zhì)量。 “研究者研究者”與與“教師教師”看問題的視角往往是不一樣的，看問題的視角往往是不一樣的，“ 教師成為研究者教師成為研究者”有利于促進(jìn)教師對學(xué)生學(xué)習(xí)的理解。有利于促進(jìn)教師對學(xué)生學(xué)習(xí)的理解?！?學(xué)學(xué)”是是“教教”的前提，只有理解了學(xué)生是怎么學(xué)的，教學(xué)的前提，只有理解了學(xué)生是怎么學(xué)的，教學(xué) 才能對癥下藥。在理解學(xué)生的學(xué)習(xí)方面，教師的經(jīng)驗固然才能對癥下藥。在理解學(xué)生的學(xué)習(xí)方面，教師的經(jīng)驗固然 重要，但由于學(xué)習(xí)行為是一種復(fù)雜的心理活動，因此，單重要，但由于學(xué)習(xí)行

5、為是一種復(fù)雜的心理活動，因此，單 純的經(jīng)驗有時也會將教學(xué)引入歧途。純的經(jīng)驗有時也會將教學(xué)引入歧途。 “教師成為研究者教師成為研究者”有助于促進(jìn)教師之間、教師與專業(yè)研有助于促進(jìn)教師之間、教師與專業(yè)研 究人員之間、以及教師與其它行業(yè)之間的合作與交流。教究人員之間、以及教師與其它行業(yè)之間的合作與交流。教 師的經(jīng)驗由于帶有太多的個性，一旦脫離了具體的情境，師的經(jīng)驗由于帶有太多的個性，一旦脫離了具體的情境， 就難以被別人理解與借鑒，只有通過研究，將經(jīng)驗提升為就難以被別人理解與借鑒，只有通過研究，將經(jīng)驗提升為 一種帶有共性的東西，才可能跨越時空和行業(yè)的界線。一種帶有共性的東西，才可能跨越時空和行業(yè)的界線。

6、 職初教師職初教師 專家教師專家教師 合格教師合格教師 模仿學(xué)習(xí)模仿學(xué)習(xí) 實(shí)踐實(shí)踐+反思反思 問問 題題 觀觀 點(diǎn)點(diǎn) 理理 論論 視頻案例視頻案例 1.自上而下（自上而下（演繹法演繹法）自下而上（自下而上（歸納法歸納法） 2.定性研究定性研究定量研究定量研究定性研究（定性研究（質(zhì)的研究質(zhì)的研究） 3.教育學(xué)方法（教育學(xué)方法（望遠(yuǎn)鏡望遠(yuǎn)鏡） 心理學(xué)方法（心理學(xué)方法（顯微鏡顯微鏡） 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 教育研究方法（教育研究方法（？） 4.理論研究（理論研究（改變理論改變理論） 實(shí)證研究（實(shí)證研究（檢驗假設(shè)檢驗假設(shè)） 行動行動 研究（研究（改變行為改變行為） 5.象牙塔（象牙塔（獨(dú)立研究獨(dú)立研究） 課堂（課

7、堂（合作研究合作研究） 6.基于書面資料（基于書面資料（博覽群書博覽群書）基于因特網(wǎng)（基于因特網(wǎng)（搜索與鑒別搜索與鑒別） 案例研究成為教師研究的主要途徑！案例研究成為教師研究的主要途徑！ 數(shù)學(xué)新課程的實(shí)施，帶來了許多新的東西，如：新的數(shù)學(xué)新課程的實(shí)施，帶來了許多新的東西，如：新的 教學(xué)理念，新的教學(xué)方法，新的教學(xué)內(nèi)容，以及傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi)教學(xué)理念，新的教學(xué)方法，新的教學(xué)內(nèi)容，以及傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi) 容的新的處理。隨之而來的則是一些新的問題和老師們的種容的新的處理。隨之而來的則是一些新的問題和老師們的種 種困惑：如何看待我國的雙基教學(xué)？傳統(tǒng)的教學(xué)經(jīng)驗是不是種困惑：如何看待我國的雙基教學(xué)？傳統(tǒng)的教學(xué)經(jīng)驗是不是

8、不適用啦？什么是數(shù)學(xué)探究？如何評價教學(xué)的有效性？等等不適用啦？什么是數(shù)學(xué)探究？如何評價教學(xué)的有效性？等等 。為了解除困惑，老師們常常把目光轉(zhuǎn)向?qū)＜液屠碚?，而他。為了解除困惑，老師們常常把目光轉(zhuǎn)向?qū)＜液屠碚?，而?們常常又會發(fā)現(xiàn)，專家們的觀點(diǎn)似乎并不一致，理論也似乎們常常又會發(fā)現(xiàn)，專家們的觀點(diǎn)似乎并不一致，理論也似乎 沒有定論。于是，又形成了新的困惑。無怪乎，臺灣的報紙沒有定論。于是，又形成了新的困惑。無怪乎，臺灣的報紙 用三個字來概括實(shí)施（臺灣地區(qū)）新課程后老師們的心情，用三個字來概括實(shí)施（臺灣地區(qū)）新課程后老師們的心情， 那就是：那就是：“忙、盲、茫忙、盲、茫”。 要改變這種現(xiàn)象，要改變這種

9、現(xiàn)象，“教師成為研究者教師成為研究者”至關(guān)重要。因至關(guān)重要。因 為面對新的情境，老的經(jīng)驗往往并不適用。只有采取研究的為面對新的情境，老的經(jīng)驗往往并不適用。只有采取研究的 態(tài)度，才能透過表面的現(xiàn)象看清本質(zhì)的東西，從而提高教師態(tài)度，才能透過表面的現(xiàn)象看清本質(zhì)的東西，從而提高教師 的洞察力和鑒別力，而不至于像墻頭草那樣，風(fēng)吹兩面倒。的洞察力和鑒別力，而不至于像墻頭草那樣，風(fēng)吹兩面倒。 漢森（漢森（henson, 1996）曾將教師參與研究的程度分為三級：）曾將教師參與研究的程度分為三級： 1. 第一級為第一級為“協(xié)助者協(xié)助者”（helper）的角色，即僅提供教）的角色，即僅提供教 室與學(xué)生給外來的研

10、究者使用；室與學(xué)生給外來的研究者使用； 2. 第二級為第二級為“初級研究者初級研究者”（junior partner）的角色，）的角色， 即雖共同參與研究，但并不參與任何研究上的決策；即雖共同參與研究，但并不參與任何研究上的決策； 3. 第三級為第三級為“實(shí)質(zhì)研究者實(shí)質(zhì)研究者”（researcher）的角色，即）的角色，即 不論單獨(dú)進(jìn)行或與他人合作研究，皆處于主導(dǎo)研究的不論單獨(dú)進(jìn)行或與他人合作研究，皆處于主導(dǎo)研究的 地位。地位。 研究表明，唯有位于第三級的教師，才能確實(shí)利用研究來改研究表明，唯有位于第三級的教師，才能確實(shí)利用研究來改 進(jìn)自身的教學(xué)。進(jìn)自身的教學(xué)。 數(shù)學(xué)教育涉及的研究領(lǐng)域和方向很

11、多，教師的數(shù)學(xué)教育涉及的研究領(lǐng)域和方向很多，教師的 工作又比較繁忙，不可能關(guān)注數(shù)學(xué)教育研究的方方面工作又比較繁忙，不可能關(guān)注數(shù)學(xué)教育研究的方方面 面，因此，首先要選擇一個適合自己的研究方向，作面，因此，首先要選擇一個適合自己的研究方向，作 為自己的立足之地，然后安營扎寨，踏踏實(shí)實(shí)地做一為自己的立足之地，然后安營扎寨，踏踏實(shí)實(shí)地做一 點(diǎn)自己的東西?，F(xiàn)在學(xué)術(shù)界的新觀點(diǎn)、新口號很多，點(diǎn)自己的東西?，F(xiàn)在學(xué)術(shù)界的新觀點(diǎn)、新口號很多， 但筆者以為，做研究不能趕潮流，因為引領(lǐng)潮流的畢但筆者以為，做研究不能趕潮流，因為引領(lǐng)潮流的畢 竟只有極少數(shù)的人，大多數(shù)只能隨波逐流，容易迷失竟只有極少數(shù)的人，大多數(shù)只能隨波

12、逐流，容易迷失 方向。大約在方向。大約在7年前，筆者因為出國訪學(xué)的事，羅列年前，筆者因為出國訪學(xué)的事，羅列 了自己的一些研究成果去拜訪張奠宙先生。先生的評了自己的一些研究成果去拜訪張奠宙先生。先生的評 價是：你的研究只是東一榔頭、西一榔頭，看不出自價是：你的研究只是東一榔頭、西一榔頭，看不出自 己的研究特長。這讓我很是振動。從此，我就在努力己的研究特長。這讓我很是振動。從此，我就在努力 尋找適合自己的研究領(lǐng)域。尋找適合自己的研究領(lǐng)域。 喜歡做大做空，是我國傳統(tǒng)教育研究的一個通喜歡做大做空，是我國傳統(tǒng)教育研究的一個通 病，為此，張奠宙先生曾多次呼吁要改一改我們的文病，為此，張奠宙先生曾多次呼吁要

13、改一改我們的文 風(fēng)。從研究角度來看，大體上有兩種：一種是風(fēng)。從研究角度來看，大體上有兩種：一種是“望遠(yuǎn)望遠(yuǎn) 鏡鏡”式的，高瞻遠(yuǎn)矚，整體把握；另一種是式的，高瞻遠(yuǎn)矚，整體把握；另一種是“顯微鏡顯微鏡 ”式的，選一個小的切入點(diǎn)，逐步深入。從目前的國式的，選一個小的切入點(diǎn)，逐步深入。從目前的國 際趨勢來看，更喜歡后一種方式；而從我們教師的實(shí)際趨勢來看，更喜歡后一種方式；而從我們教師的實(shí) 際情況看，比較合適的也是后一種。際情況看，比較合適的也是后一種。 本刊的老主編唐復(fù)蘇教授經(jīng)常掛在嘴上的一句本刊的老主編唐復(fù)蘇教授經(jīng)常掛在嘴上的一句 話是：文章不在長短，有一得之見即可。這一得之見話是：文章不在長短，有

14、一得之見即可。這一得之見 指的是自己的獨(dú)到見解，而不是泛泛而談。我們不能指的是自己的獨(dú)到見解，而不是泛泛而談。我們不能 期望一篇短文能夠講出許多的大道理。期望一篇短文能夠講出許多的大道理。 做研究不能靠拍腦袋。雖然論點(diǎn)的選擇可以來自經(jīng)驗，做研究不能靠拍腦袋。雖然論點(diǎn)的選擇可以來自經(jīng)驗， 但經(jīng)驗不能代替有效的論據(jù)。在一些學(xué)術(shù)期刊的文章中，我們但經(jīng)驗不能代替有效的論據(jù)。在一些學(xué)術(shù)期刊的文章中，我們 仍然可以看到：仍然可以看到：“我認(rèn)為我認(rèn)為”這類比較隨意的斷言，卻始終沒有這類比較隨意的斷言，卻始終沒有 給出為什么可以這樣認(rèn)為的證據(jù)，則不是研究的態(tài)度。當(dāng)然，給出為什么可以這樣認(rèn)為的證據(jù)，則不是研究的

15、態(tài)度。當(dāng)然， 像像中學(xué)數(shù)學(xué)月刊中學(xué)數(shù)學(xué)月刊這樣兼顧學(xué)術(shù)性和實(shí)用性的刊物，并不排這樣兼顧學(xué)術(shù)性和實(shí)用性的刊物，并不排 斥有效教學(xué)經(jīng)驗的分享，但要成為一個研究者，就不能僅僅是斥有效教學(xué)經(jīng)驗的分享，但要成為一個研究者，就不能僅僅是 經(jīng)驗之談。經(jīng)驗之談。 提高研究水平的一條具體措施就是注意相關(guān)文獻(xiàn)的搜集提高研究水平的一條具體措施就是注意相關(guān)文獻(xiàn)的搜集 與積累，也就是要理清楚在自己的研究方向上，別人已經(jīng)做了與積累，也就是要理清楚在自己的研究方向上，別人已經(jīng)做了 哪些工作。這樣才不會原地踏步，或者做重復(fù)勞動。我國老一哪些工作。這樣才不會原地踏步，或者做重復(fù)勞動。我國老一 代數(shù)學(xué)教育研究者戴再平教授在這方面

16、可以說是一個典范，他代數(shù)學(xué)教育研究者戴再平教授在這方面可以說是一個典范，他 不僅自費(fèi)訂閱幾乎全部的中小學(xué)數(shù)學(xué)類期刊，而且制作了大量不僅自費(fèi)訂閱幾乎全部的中小學(xué)數(shù)學(xué)類期刊，而且制作了大量 的學(xué)術(shù)卡片。正是這種勤奮，使得他幾乎可以著作等身。雖然的學(xué)術(shù)卡片。正是這種勤奮，使得他幾乎可以著作等身。雖然 在網(wǎng)絡(luò)時代，研究資料的搜集更為便捷，但也同樣需要日積月在網(wǎng)絡(luò)時代，研究資料的搜集更為便捷，但也同樣需要日積月 累。累。 長期以來，學(xué)科教育研究常常受到學(xué)科專家長期以來，學(xué)科教育研究常常受到學(xué)科專家 的質(zhì)疑，其根本原因就是研究方法的科學(xué)性。與的質(zhì)疑，其根本原因就是研究方法的科學(xué)性。與 自然科學(xué)不同的是，教

17、學(xué)假設(shè)是不能用純邏輯的自然科學(xué)不同的是，教學(xué)假設(shè)是不能用純邏輯的 方法來論證的，教學(xué)實(shí)驗也通常是不可復(fù)制的。方法來論證的，教學(xué)實(shí)驗也通常是不可復(fù)制的。 因此，研究方法的適用性及信度和效度就成為關(guān)因此，研究方法的適用性及信度和效度就成為關(guān) 鍵的因素。近年來流行的教學(xué)研究方法包括：案鍵的因素。近年來流行的教學(xué)研究方法包括：案 例研究，問卷調(diào)查，深度訪談，出聲思維，錄像例研究，問卷調(diào)查，深度訪談，出聲思維，錄像 帶分析，教學(xué)實(shí)驗等等。這些方法并不需要高深帶分析，教學(xué)實(shí)驗等等。這些方法并不需要高深 的理論知識，用幾次就熟悉了。的理論知識，用幾次就熟悉了。 現(xiàn)代社會越來越強(qiáng)調(diào)人與人的合作交流，數(shù)現(xiàn)代社會

18、越來越強(qiáng)調(diào)人與人的合作交流，數(shù) 學(xué)教育研究也是一樣。這里的合作交流不僅僅指學(xué)教育研究也是一樣。這里的合作交流不僅僅指 研究結(jié)果的呈現(xiàn)，更在于研究過程的開放性。近研究結(jié)果的呈現(xiàn)，更在于研究過程的開放性。近 年來，國外的一些研究人員往往從選題開始就在年來，國外的一些研究人員往往從選題開始就在 網(wǎng)絡(luò)上公布，并毫無保留地展現(xiàn)自己的研究過程網(wǎng)絡(luò)上公布，并毫無保留地展現(xiàn)自己的研究過程 ，包括其中的困惑，希望引起別人的關(guān)注與介入，包括其中的困惑，希望引起別人的關(guān)注與介入 。這種做法，于人于己都有益處。這種做法，于人于己都有益處。 i.前言前言 ii. 范希爾的幾何思維水平范希爾的幾何思維水平 iii. 克魯

19、切茨基的數(shù)學(xué)能力心理學(xué)克魯切茨基的數(shù)學(xué)能力心理學(xué) iv. 韜爾的高等數(shù)學(xué)思維研究韜爾的高等數(shù)學(xué)思維研究 v. 安德森的安德森的act-r理論理論 vi. 杜賓斯基的杜賓斯基的apos理論理論 呼喚數(shù)學(xué)領(lǐng)域自身的學(xué)習(xí)理論！呼喚數(shù)學(xué)領(lǐng)域自身的學(xué)習(xí)理論！ 1. 支持預(yù)測；支持預(yù)測； 2. 為研究提供框架；為研究提供框架； 3. 具有解釋的能力；具有解釋的能力； 4. 能夠應(yīng)用于廣泛的現(xiàn)象；能夠應(yīng)用于廣泛的現(xiàn)象； 5. 有助于組織對復(fù)雜的相關(guān)現(xiàn)象的思考；有助于組織對復(fù)雜的相關(guān)現(xiàn)象的思考； 6. 作為數(shù)據(jù)分析的工具；作為數(shù)據(jù)分析的工具； 7. 提供一種深層次的交流觀點(diǎn)的語言。提供一種深層次的交流觀點(diǎn)的語

20、言。 兩條途徑：兩條途徑： 第一條途徑是第一條途徑是“一般學(xué)習(xí)理論一般學(xué)習(xí)理論 + 數(shù)學(xué)例子數(shù)學(xué)例子”，也就，也就 是將一般的學(xué)習(xí)原理應(yīng)用于具體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境，是將一般的學(xué)習(xí)原理應(yīng)用于具體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境， 然后根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)修正原來的理論，或者提然后根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)修正原來的理論，或者提 出新的假設(shè)去尋找更合適的理論依據(jù)。出新的假設(shè)去尋找更合適的理論依據(jù)。 1. 另外一條途徑則另外一條途徑則源自數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的問題與經(jīng)驗源自數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的問題與經(jīng)驗, 通通 過建立模型去解釋數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理過程過建立模型去解釋數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理過程。這一類研。這一類研 究人員通常是數(shù)學(xué)專業(yè)出生，對數(shù)學(xué)有較為深入的究人

21、員通常是數(shù)學(xué)專業(yè)出生，對數(shù)學(xué)有較為深入的 理解，但在教育學(xué)和心理學(xué)的理論功底上有所欠缺理解，但在教育學(xué)和心理學(xué)的理論功底上有所欠缺 ，其研究的重點(diǎn)主要在于大學(xué)生和中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)，其研究的重點(diǎn)主要在于大學(xué)生和中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué) 習(xí)。相比之下，心理學(xué)界對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的討論主要集習(xí)。相比之下，心理學(xué)界對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的討論主要集 中在小學(xué)階段。中在小學(xué)階段。 三十年前三十年前, 教育工作者們很少關(guān)注認(rèn)知科學(xué)家教育工作者們很少關(guān)注認(rèn)知科學(xué)家 的工作的工作, 在認(rèn)知科學(xué)研究的初期在認(rèn)知科學(xué)研究的初期, 研究者們的工作是研究者們的工作是 遠(yuǎn)離課堂的遠(yuǎn)離課堂的. 今天今天, 認(rèn)知研究者們更多的是與教師合認(rèn)知研究者們更多的

22、是與教師合 作作, 在真實(shí)的課堂情景中檢驗和改進(jìn)他們的理論在真實(shí)的課堂情景中檢驗和改進(jìn)他們的理論, 因因 為在教室里為在教室里, 他們才能看到不同的課堂情境和不同他們才能看到不同的課堂情境和不同 的課堂交往是如何影響他們的理論在課堂中的應(yīng)用的課堂交往是如何影響他們的理論在課堂中的應(yīng)用 . 摘自摘自人是如何學(xué)習(xí)的人是如何學(xué)習(xí)的 在在50年代的荷蘭，幾何教學(xué)所面臨的問題年代的荷蘭，幾何教學(xué)所面臨的問題 是很普遍的（是很普遍的（freudenthal, 1958）。范希爾夫婦）。范希爾夫婦 （pierre van hiele 1994; sfard, 1989; 1991）。例如，符號“32”就可以

23、同時看作為一個（ 加法）過程，與一個（和）的概念。 為了把這種概念與其它概念區(qū)別開來，格雷（ eddie gray）與韜爾各取了“process”（過程）和 “concept”（概念）的一部分而造出了一個新詞 “procept”。 1. 數(shù)學(xué)認(rèn)知單元是如何數(shù)學(xué)認(rèn)知單元是如何“壓縮壓縮”的？的？ 2. 過程性概念的教學(xué)有什么特點(diǎn)？過程性概念的教學(xué)有什么特點(diǎn)？ 3. 如何用如何用“三個世界三個世界”理論去分析數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知發(fā)展理論去分析數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知發(fā)展 過程？過程？ 4. 初等數(shù)學(xué)思維是如何向高等數(shù)學(xué)思維過渡的？初等數(shù)學(xué)思維是如何向高等數(shù)學(xué)思維過渡的？ 5. 如何診斷學(xué)生的數(shù)學(xué)思維？如何診斷學(xué)生

24、的數(shù)學(xué)思維？ 6. 高等數(shù)學(xué)思維與高層次數(shù)學(xué)思維有什么聯(lián)系與區(qū)別？高等數(shù)學(xué)思維與高層次數(shù)學(xué)思維有什么聯(lián)系與區(qū)別？ 7. 計算機(jī)對高等數(shù)學(xué)思維有什么影響？計算機(jī)對高等數(shù)學(xué)思維有什么影響？ department of psychology carnegie mellon university pittsburgh, pa 15213 telephone: (412) 268-2788 facsimile: (412) 268-2844 e-mail: ja+ act-r之所以被稱為之所以被稱為“學(xué)習(xí)與認(rèn)知的簡單理論學(xué)習(xí)與認(rèn)知的簡單理論” ，是因為它的一個基本觀點(diǎn)是：復(fù)雜認(rèn)知是由是因為

25、它的一個基本觀點(diǎn)是：復(fù)雜認(rèn)知是由 相對簡單的知識單元（相對簡單的知識單元（knowledge units）所所 組成的，而這些知識單元則是通過相對簡單的組成的，而這些知識單元則是通過相對簡單的 原理（原理（principles）而獲得的。人類的認(rèn)知活而獲得的。人類的認(rèn)知活 動的復(fù)雜性表現(xiàn)在基本元素和原理的復(fù)雜組合動的復(fù)雜性表現(xiàn)在基本元素和原理的復(fù)雜組合 上，就像計算機(jī)通過簡單的（二進(jìn)制）運(yùn)算可上，就像計算機(jī)通過簡單的（二進(jìn)制）運(yùn)算可 以完成復(fù)雜的任務(wù)一樣。以完成復(fù)雜的任務(wù)一樣。 predecessorham(anderson & bower 1973) theory versionsact-e

26、 (anderson, 1976) act* (anderson, 1978) act-r(anderson, 1993) act-r 4.0(anderson & lebiere, 1998) implementationsgrapes(sauers & farrell, 1982) pups(anderson & thompson, 1989) act-r 2.0(lebiere & kushmerick, 1993) act-r 3.0 act-r 4.0(lebiere, 1998) act-r/pm (byrne, 1998) 1. 兩類知識兩類知識：關(guān)于事實(shí)的陳述性知識（：關(guān)于事實(shí)

27、的陳述性知識（declarative knowledge）和關(guān)于如何完成各種認(rèn)知活動的程序性）和關(guān)于如何完成各種認(rèn)知活動的程序性 知識（知識（procedural knowledge）；）； 2. 兩個假設(shè)兩個假設(shè)：關(guān)于：關(guān)于act-r如何運(yùn)用已有知識去解決問題如何運(yùn)用已有知識去解決問題 的操作假設(shè)的操作假設(shè)(performance assumptions)和關(guān)于如和關(guān)于如 何獲得新知識的學(xué)習(xí)假設(shè)何獲得新知識的學(xué)習(xí)假設(shè) (learning assumptions)； 3. 兩個水平兩個水平：有關(guān)離散知識結(jié)構(gòu)的符號水平：有關(guān)離散知識結(jié)構(gòu)的符號水平 (symbolic level)和有關(guān)神經(jīng)系統(tǒng)激

28、活過程的亞符號水平和有關(guān)神經(jīng)系統(tǒng)激活過程的亞符號水平(sub- symbolic level)，這一水平?jīng)Q定符號結(jié)構(gòu)的可用狀態(tài)。，這一水平?jīng)Q定符號結(jié)構(gòu)的可用狀態(tài)。 陳述性知識陳述性知識（declarative knowledge）：是指那些人們）：是指那些人們 知道并可以表達(dá)的真實(shí)信息。在知道并可以表達(dá)的真實(shí)信息。在act-r中，陳述性知識表征中，陳述性知識表征 為一些小的原始知識單元的網(wǎng)路，稱為信息塊，例如，下面為一些小的原始知識單元的網(wǎng)路，稱為信息塊，例如，下面 的圖的圖1表示由加法事實(shí)表示由加法事實(shí)“3+4=7”及一些相關(guān)事實(shí)組成的信及一些相關(guān)事實(shí)組成的信 息塊（編碼）息塊（編碼） 程序

29、性知識程序性知識是指用于提取陳述性信息塊的規(guī)則性單元，稱為是指用于提取陳述性信息塊的規(guī)則性單元，稱為 產(chǎn)生式（產(chǎn)生式（productions）。一個產(chǎn)生式規(guī)則（）。一個產(chǎn)生式規(guī)則（production rules）就是一個）就是一個“條件條件反應(yīng)反應(yīng)”的單元，即針對特定的的單元，即針對特定的 問題解決條件采取特定的認(rèn)知操作。在產(chǎn)生式系統(tǒng)中，典型問題解決條件采取特定的認(rèn)知操作。在產(chǎn)生式系統(tǒng)中，典型 的思維流程就是一系列的產(chǎn)生式被的思維流程就是一系列的產(chǎn)生式被“觸發(fā)觸發(fā)”（在（在act-r理論理論 中，用中，用“fire”來表示）的過程。來表示）的過程。 陳述性信息塊的獲得有兩條途徑：陳述性信息塊

30、的獲得有兩條途徑： 通過環(huán)境信息的編碼；通過環(huán)境信息的編碼； 對先前操作結(jié)果的儲存。對先前操作結(jié)果的儲存。 也就是說，也就是說，act-r認(rèn)為，陳述性知識的獲得不外乎是兩種模式：認(rèn)為，陳述性知識的獲得不外乎是兩種模式： 一種是被動的、接受式的（源自環(huán)境的編碼）；一種是主動的、一種是被動的、接受式的（源自環(huán)境的編碼）；一種是主動的、 建構(gòu)式的（先前心理操作結(jié)果的儲存）。這兩種模式都有優(yōu)勢建構(gòu)式的（先前心理操作結(jié)果的儲存）。這兩種模式都有優(yōu)勢 與不足。被動接受的優(yōu)勢是效率（與不足。被動接受的優(yōu)勢是效率（efficiency）與準(zhǔn)確性與準(zhǔn)確性 （accuracy），），閱讀閱讀3+4的結(jié)果比計算更容

31、易，而且也不會有的結(jié)果比計算更容易，而且也不會有 算錯的危險。但另一方面，通過練習(xí)獲得的知識不僅儲存了結(jié)算錯的危險。但另一方面，通過練習(xí)獲得的知識不僅儲存了結(jié) 果目標(biāo)，還附帶儲存了相關(guān)的策略，便于回憶失敗時運(yùn)用。果目標(biāo)，還附帶儲存了相關(guān)的策略，便于回憶失敗時運(yùn)用。 研究：研究：大量的實(shí)驗表明，上述兩種模式在記憶上并沒有實(shí)質(zhì)的大量的實(shí)驗表明，上述兩種模式在記憶上并沒有實(shí)質(zhì)的 區(qū)別，實(shí)際上，自我探究知識的附帶信息并不總是有的，即區(qū)別，實(shí)際上，自我探究知識的附帶信息并不總是有的，即 使有，也往往是難以捉摸的，只有當(dāng)探究過程中產(chǎn)生了多種使有，也往往是難以捉摸的，只有當(dāng)探究過程中產(chǎn)生了多種 信息提取途徑

32、時，這種附帶信息才是有用的，因此，自我探信息提取途徑時，這種附帶信息才是有用的，因此，自我探 究的知識并沒有什么神奇的特征。究的知識并沒有什么神奇的特征。 在相同的條件下，我們在相同的條件下，我們 當(dāng)然選擇通過自我探究的模式去獲得知識，但實(shí)際上，由于當(dāng)然選擇通過自我探究的模式去獲得知識，但實(shí)際上，由于 自我探究的困難及誤入歧途的危險，我們更主張把知識告訴自我探究的困難及誤入歧途的危險，我們更主張把知識告訴 學(xué)生。學(xué)生。 思考：思考：對學(xué)生錯誤的新認(rèn)識：只有當(dāng)學(xué)生的錯誤成為一個對學(xué)生錯誤的新認(rèn)識：只有當(dāng)學(xué)生的錯誤成為一個“教教 學(xué)點(diǎn)學(xué)點(diǎn)”時，這個錯誤對他才是有益的，否則，學(xué)生的錯誤也時，這個錯誤

33、對他才是有益的，否則，學(xué)生的錯誤也 可能會積少成多，而成為一種習(xí)慣（老毛?。貏e在大班可能會積少成多，而成為一種習(xí)慣（老毛?。貏e在大班 教學(xué)情況下，學(xué)生的錯誤并不總是能夠及時糾正，因此，要教學(xué)情況下，學(xué)生的錯誤并不總是能夠及時糾正，因此，要 盡可能的少犯錯誤，較少的錯誤才會引起較多的關(guān)注盡可能的少犯錯誤，較少的錯誤才會引起較多的關(guān)注。 在act-r理論中，產(chǎn)生式規(guī)則的獲得主要依靠類比 （analogy）的過程。類比要發(fā)生作用有兩個前提：有一個 解決某個目標(biāo)的情境，及一個解決類似目標(biāo)的范例。例如， 在加法的產(chǎn)生式中，學(xué)習(xí)者首先必須有解決一個加法問題的 意愿，同時，還需要一個已經(jīng)獲得的樣例（

34、如4+5）。在這 種情況下，act-r類比機(jī)制會從樣例中抽象出原理，進(jìn)而形 成用于當(dāng)前情境的產(chǎn)生式規(guī)則，新的產(chǎn)生式規(guī)則一旦形成， 又可以用于其它的情境。也就是說，按照act-r理論，程序 性技能是在參照老問題去解決新問題的過程中獲得的。因此， 這一理論實(shí)際上是“做中學(xué)”（learning by doing）和“范 例學(xué)習(xí)”（learning by example）的理論。 1.1. 陳述性階段。學(xué)習(xí)者獲得有關(guān)步驟或程序的陳述性知識。比如陳述陳述性階段。學(xué)習(xí)者獲得有關(guān)步驟或程序的陳述性知識。比如陳述 分?jǐn)?shù)加法的規(guī)則或者能夠描述在駕駛汽車時該如何換檔。在此階段，分?jǐn)?shù)加法的規(guī)則或者能夠描述在駕駛汽車

35、時該如何換檔。在此階段， 學(xué)習(xí)者對活動的完成是非常艱辛的，需要逐條記憶每一項規(guī)則，并學(xué)習(xí)者對活動的完成是非常艱辛的，需要逐條記憶每一項規(guī)則，并 緩慢地操作每一步驟。緩慢地操作每一步驟。 2.2. 聯(lián)合階段。在這一階段，學(xué)習(xí)者仍需思考各個步驟的規(guī)則，但經(jīng)過聯(lián)合階段。在這一階段，學(xué)習(xí)者仍需思考各個步驟的規(guī)則，但經(jīng)過 練習(xí)和接收到的反饋，學(xué)習(xí)者已能將各個步驟聯(lián)合起來，流暢地完練習(xí)和接收到的反饋，學(xué)習(xí)者已能將各個步驟聯(lián)合起來，流暢地完 成有關(guān)的活動成有關(guān)的活動 3.3. 自動化階段。隨著進(jìn)一步的練習(xí)，學(xué)習(xí)者最終進(jìn)入自動化階段。在自動化階段。隨著進(jìn)一步的練習(xí)，學(xué)習(xí)者最終進(jìn)入自動化階段。在 此階段，學(xué)習(xí)者

36、常常無需意識的控制或努力就能夠自動完成有關(guān)的此階段，學(xué)習(xí)者常常無需意識的控制或努力就能夠自動完成有關(guān)的 活動步驟。例如，一個人在開車時可以一邊說話，一邊流利地?fù)Q擋，活動步驟。例如，一個人在開車時可以一邊說話，一邊流利地?fù)Q擋， 在交通擁擠的路面上連續(xù)地改變方向；或者一個學(xué)生不用想著分?jǐn)?shù)在交通擁擠的路面上連續(xù)地改變方向；或者一個學(xué)生不用想著分?jǐn)?shù) 加法的各項規(guī)則就能快速準(zhǔn)確地計算分?jǐn)?shù)加法題，表明他們已達(dá)到加法的各項規(guī)則就能快速準(zhǔn)確地計算分?jǐn)?shù)加法題，表明他們已達(dá)到 自動化階段，即獲得了有關(guān)的程序性知識或技能。自動化階段，即獲得了有關(guān)的程序性知識或技能。 安德森（安德森（j.anderson,1990)

37、和加涅和加涅(e.gagne et al.,1993) act-r 對知識對知識 的分類的分類 陳述性知識陳述性知識 策略性知識策略性知識 程序性知識程序性知識 基礎(chǔ)基礎(chǔ)知識知識 基本技能基本技能 雙基雙基 典型典型 例題例題 兩個需要探討的問題：兩個需要探討的問題： 1. 陳述性知識陳述性知識=基礎(chǔ)知識？程序性知識基礎(chǔ)知識？程序性知識=基本技能？基本技能？ 2. 典型例題在雙基教學(xué)中的作用是什么？典型例題在雙基教學(xué)中的作用是什么？ 四邊形 平行 四邊形 矩形 菱形 正方形 兩組對邊平行 有一個直角并且一組鄰邊相等 知識體系知識體系 中點(diǎn)四邊形 原四邊形對角線垂直且相等 經(jīng)驗系統(tǒng)經(jīng)驗系統(tǒng) 認(rèn)知

38、結(jié)構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu) 目標(biāo)層級的更新目標(biāo)層級的更新 聚焦聚焦g4 g4 g1 跳出跳出 g1 g2 初始狀態(tài)初始狀態(tài) g1 嵌入嵌入g2 g2 嵌入嵌入g3 g1 g3 act-r act-r對教學(xué)的建議，那就是對教學(xué)的建議，那就是練習(xí)、練習(xí)、再練習(xí)練習(xí)、練習(xí)、再練習(xí)。實(shí)際。實(shí)際 上，并非只有上，并非只有act-ract-r一家一家“拍賣拍賣”這個主張，大量的研究都這個主張，大量的研究都 表明，高層次的能力只能通過高強(qiáng)度的練習(xí)表明，高層次的能力只能通過高強(qiáng)度的練習(xí)。特別地，研究表特別地，研究表 明，學(xué)生花在數(shù)學(xué)上的時間與他們的數(shù)學(xué)能力有很高的相關(guān)性明，學(xué)生花在數(shù)學(xué)上的時間與他們的數(shù)學(xué)能力有很高的相關(guān)性

39、。 許多國際比較研究也都表明，美國學(xué)生數(shù)學(xué)表現(xiàn)糟糕的一個重許多國際比較研究也都表明，美國學(xué)生數(shù)學(xué)表現(xiàn)糟糕的一個重 要原因是他們花在數(shù)學(xué)上的時間遠(yuǎn)遠(yuǎn)不如亞洲的學(xué)生（要原因是他們花在數(shù)學(xué)上的時間遠(yuǎn)遠(yuǎn)不如亞洲的學(xué)生（stigler stigler and perryand perry，19901990；white, 1987white, 1987）。）。 ericsson等人的研究表明，不同的練習(xí)的效果是不一樣的，等人的研究表明，不同的練習(xí)的效果是不一樣的， 而只有所謂的而只有所謂的“精致的練習(xí)精致的練習(xí)”（deliberate practice）才能導(dǎo)致才能導(dǎo)致 真正的學(xué)習(xí)。他們把真正的學(xué)習(xí)。他們

40、把“精致的練習(xí)精致的練習(xí)”界定為具有良好的動機(jī)、界定為具有良好的動機(jī)、 接受有意義的反饋、及仔細(xì)的不斷的指導(dǎo)與監(jiān)督。接受有意義的反饋、及仔細(xì)的不斷的指導(dǎo)與監(jiān)督。 單純擁有符號性知識并不等于能夠成功地運(yùn)用。知識的 運(yùn)用還依賴一系列的激活程序。anderson and fincham (1994) and anderson, fincham, and douglass (in press)研究了產(chǎn)生式規(guī)則如何通過練習(xí)而 逐漸生效的過程，他們發(fā)現(xiàn)，一個規(guī)則在練習(xí)了40次次 左右后變得穩(wěn)定和可靠。 下面的公式描述了練習(xí)、遺忘和倍乘關(guān)系的指數(shù)律。下面的公式描述了練習(xí)、遺忘和倍乘關(guān)系的指數(shù)律。 表現(xiàn)表現(xiàn)

41、= = ananc ct t-d -d （表現(xiàn)方程）表現(xiàn)方程） 其中，其中，n是練習(xí)的總量，是練習(xí)的總量，t是保持的時間間隔，兩個因素是保持的時間間隔，兩個因素 的倍乘關(guān)系意味著增加練習(xí)可以彌補(bǔ)時間造成的記憶衰減的倍乘關(guān)系意味著增加練習(xí)可以彌補(bǔ)時間造成的記憶衰減 （相關(guān)實(shí)驗見（相關(guān)實(shí)驗見anderson, 1995a）。）。 一是影響范例的選擇。在已有的產(chǎn)生式不能解決當(dāng)前 的問題時，act-r會搜尋先前的解決類似問題的范例 。顯然，在這個過程中，當(dāng)前的任務(wù)及先前范例的表 征方式都會對選擇哪個范例產(chǎn)生影響。 二是范例的理解深度會影響到由類比而形成的產(chǎn)生式 。例如，在豎式減法中，8-3=5既可以理

42、解為“上面的 數(shù)字減去下面的數(shù)字”，也可以理解為“大的數(shù)字減 去小的數(shù)字”。只有前者才能形成正確的產(chǎn)生式。 上述兩個因素都說明了樣例在教學(xué)中的重要性。chi, bassok, lewis, reimann, and glaser等人（1989）的研 究表明，一個好的學(xué)習(xí)者往往更關(guān)注樣例，總是努力去 理解樣例。 范例對問題解決的影響：范例對問題解決的影響： 技能技能 錯誤的錯誤的 技能技能 正確的正確的 技能技能 錯誤的錯誤的 方法方法 正確的正確的 方法方法 熟能生巧熟能生巧 熟能生笨熟能生笨 熟能生厭熟能生厭 熟練熟練 熟練熟練 熟練熟練 -act-r對對“熟能生巧熟能生巧”的解釋的解釋-

43、- 根據(jù)學(xué)習(xí)指數(shù)律學(xué)習(xí)指數(shù)律，一個特殊的技能是通過練習(xí)逐漸地、 系統(tǒng)地改進(jìn)的。這一規(guī)律在許多實(shí)驗中都得到了證實(shí)，見下 面的圖2（neves & anderson, 1981）。 解題時間 問題個數(shù) 學(xué)生投入大量的時間才能保證所需要的產(chǎn)生式和信息塊學(xué)生投入大量的時間才能保證所需要的產(chǎn)生式和信息塊 有足夠的激活水平和強(qiáng)度。有足夠的激活水平和強(qiáng)度。 選擇策略時，有兩個因素特別重要：選擇策略時，有兩個因素特別重要： 1.1. 實(shí)施策略所需要付出的努力，也就是說，最容易實(shí)施的策略實(shí)施策略所需要付出的努力，也就是說，最容易實(shí)施的策略 也最容易被選??；也最容易被選??； 2.2. 策略的準(zhǔn)確性，最精確的策略用

44、得也最多。這樣往往就形成策略的準(zhǔn)確性，最精確的策略用得也最多。這樣往往就形成 一個循環(huán)：容易的、精確的策略有更多的練習(xí)機(jī)會，而隨著一個循環(huán)：容易的、精確的策略有更多的練習(xí)機(jī)會，而隨著 不斷的練習(xí)，這些策略又進(jìn)一步提高了簡易性與精確性。例不斷的練習(xí)，這些策略又進(jìn)一步提高了簡易性與精確性。例 如，記憶是最省事也是最精確的，因此，大多數(shù)人都傾向于如，記憶是最省事也是最精確的，因此，大多數(shù)人都傾向于 運(yùn)用記憶。運(yùn)用記憶。reder and ritter (1992) 的研究也表明，大多的研究也表明，大多 數(shù)成人在做兩位數(shù)的乘法（如數(shù)成人在做兩位數(shù)的乘法（如23 x 19）時，也傾向于運(yùn)用記時，也傾向于

45、運(yùn)用記 憶的乘法事實(shí)。憶的乘法事實(shí)。 思考：思考：策略選擇問題所產(chǎn)生的一個重要的教學(xué)現(xiàn)象是：學(xué)生往往傾向于用 自己的方法去解決問題，而不是采用課堂上所教的方法，因為后者是沒有 經(jīng)過練習(xí)的，用起來較慢，也更容易出錯。maclaren and koedinger (1996) 的研究表明，在解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題時，學(xué)生更喜歡用試誤的方法，而 不是代數(shù)公式。但問題是，這些試誤的方法往往不能適用于復(fù)雜的問題， 因此，他們不得不放棄這些方法，而重新去學(xué)習(xí)那些當(dāng)初就應(yīng)該學(xué)習(xí)的復(fù) 雜的技能。 在在act-ract-r中，基本的信息加工步驟觸發(fā)一個用于提取某些陳中，基本的信息加工步驟觸發(fā)一個用于提取某些陳 述性知識

46、并問題解決的產(chǎn)生式規(guī)則。提取過程的成敗與速述性知識并問題解決的產(chǎn)生式規(guī)則。提取過程的成敗與速 度取決于被提取的信息塊的激活水平和產(chǎn)生式的強(qiáng)度，同度取決于被提取的信息塊的激活水平和產(chǎn)生式的強(qiáng)度，同 時它又影響到操作的流暢性。知識表征的流暢性是一個重時它又影響到操作的流暢性。知識表征的流暢性是一個重 要的教育目標(biāo)，其原因是：要的教育目標(biāo)，其原因是： 首先，在實(shí)際情境中，犯錯和反應(yīng)遲鈍是不容許的；首先，在實(shí)際情境中，犯錯和反應(yīng)遲鈍是不容許的； 其次，高層次能力的發(fā)展需要基礎(chǔ)能力的流暢性；其次，高層次能力的發(fā)展需要基礎(chǔ)能力的流暢性； 第三，流暢的表現(xiàn)可以強(qiáng)化學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)，增加自信心。第三，流暢的表現(xiàn)

47、可以強(qiáng)化學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)，增加自信心。 在在act-r中，有一些數(shù)學(xué)模型用來描述激活水平與強(qiáng)度如何中，有一些數(shù)學(xué)模型用來描述激活水平與強(qiáng)度如何 影響表現(xiàn)的流暢性。影響表現(xiàn)的流暢性。 聚焦聚焦big ideas 探究教學(xué)探究教學(xué) 降低技巧降低技巧 精致練習(xí)精致練習(xí) act-r act-r理論的運(yùn)用取決于教育目標(biāo)的定位。一方面，如理論的運(yùn)用取決于教育目標(biāo)的定位。一方面，如 果定位在培養(yǎng)學(xué)生的果定位在培養(yǎng)學(xué)生的一般能力一般能力上，那么學(xué)習(xí)和遺忘的指數(shù)上，那么學(xué)習(xí)和遺忘的指數(shù) 律、及對應(yīng)的表現(xiàn)方程就顯得非常重要，而不是像一些研律、及對應(yīng)的表現(xiàn)方程就顯得非常重要，而不是像一些研 究人員那樣強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)的初始條

48、件及不同背景的效果。在究人員那樣強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)的初始條件及不同背景的效果。在 act-ract-r理論中，控制背景理論中，控制背景j j與信息塊與信息塊i i之間的相關(guān)強(qiáng)度之間的相關(guān)強(qiáng)度s sji ji的的 因素并不重要，因為我們不能總是指望特殊的元素因素并不重要，因為我們不能總是指望特殊的元素j j會一定會一定 出現(xiàn)在其他的背景中。出現(xiàn)在其他的背景中。 但另一方面，如果我們關(guān)注學(xué)生的但另一方面，如果我們關(guān)注學(xué)生的應(yīng)試能力應(yīng)試能力，那么先，那么先 前的學(xué)習(xí)與記憶就是一個關(guān)鍵的因素，因為，這里的學(xué)習(xí)前的學(xué)習(xí)與記憶就是一個關(guān)鍵的因素，因為，這里的學(xué)習(xí) 不必延續(xù)終身，或者遷移到廣泛的背景。在這種目標(biāo)之下，

49、不必延續(xù)終身，或者遷移到廣泛的背景。在這種目標(biāo)之下， 一些特殊的學(xué)習(xí)技能，如外語單詞測試中的記憶術(shù)一些特殊的學(xué)習(xí)技能，如外語單詞測試中的記憶術(shù) （mnemonics）就顯得非常有效（就顯得非常有效（atkinson & raugh, 1975）。）。 /edd/publications.html professor, georgia state university 1996-00 visiting professor, kent state university 2000- 數(shù)學(xué)是困難的，不管數(shù)學(xué)是困難的，不管 用

50、什么教學(xué)方法都無法改用什么教學(xué)方法都無法改 變這個事實(shí)。所以，在數(shù)變這個事實(shí)。所以，在數(shù) 學(xué)的學(xué)習(xí)上，我們必須抱學(xué)的學(xué)習(xí)上，我們必須抱 持一種欣賞的心態(tài)來學(xué)習(xí)持一種欣賞的心態(tài)來學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué)，只有這樣才能逐漸數(shù)學(xué)，只有這樣才能逐漸 發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美。發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美。 ed dubinsky 和和david tall一樣，一樣，杜賓斯基（杜賓斯基（ed dubinsky）也是一）也是一 位數(shù)學(xué)家，直到位數(shù)學(xué)家，直到80年代末期才開始從事數(shù)學(xué)教育的研究，而年代末期才開始從事數(shù)學(xué)教育的研究，而 他的關(guān)于他的關(guān)于apos的文章（的文章（dubinsky, 1991） 也最早出現(xiàn)在由也最早出現(xiàn)在由 韜爾主編的韜爾

51、主編的高等數(shù)學(xué)思維高等數(shù)學(xué)思維（tall, 1991）上。）上。 按照杜賓斯基自己的說法，按照杜賓斯基自己的說法，apos理論是對皮亞杰的反理論是對皮亞杰的反 思性抽象（思性抽象（reflective abstraction）的一種擴(kuò)展。其中的四）的一種擴(kuò)展。其中的四 個字母分別表示理解數(shù)學(xué)概念（特別是抽象數(shù)學(xué)概念）的四個字母分別表示理解數(shù)學(xué)概念（特別是抽象數(shù)學(xué)概念）的四 個階段：個階段：aaction (活動活動)，pprocess (過程過程)，o object (對象對象)，sschema（圖式）。（圖式）。 大學(xué)數(shù)學(xué)教育研究小組（大學(xué)數(shù)學(xué)教育研究小組（rumec ） rumec研究的三

52、個基本環(huán)節(jié)研究的三個基本環(huán)節(jié)： 對某個特定數(shù)學(xué)概念的理論分析；對某個特定數(shù)學(xué)概念的理論分析； 在理論分析的基礎(chǔ)上發(fā)展和應(yīng)用一系列的教學(xué)設(shè)計（其在理論分析的基礎(chǔ)上發(fā)展和應(yīng)用一系列的教學(xué)設(shè)計（其 中包括一些非標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)策略如合作學(xué)習(xí)、計算機(jī)輔助中包括一些非標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)策略如合作學(xué)習(xí)、計算機(jī)輔助 教學(xué)等）；教學(xué)等）； 收集和分析測試的數(shù)據(jù)以便修改原先的理論分析和教學(xué)收集和分析測試的數(shù)據(jù)以便修改原先的理論分析和教學(xué) 設(shè)計。設(shè)計。 1. 程序性概念（程序性概念（procept） 2. apos理論理論 3. 結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)操作性（操作性（structural-operational）理論。）理論。 在討論數(shù)學(xué)概

53、念的兩重性時，上述三個理論基本類似。例如，在討論數(shù)學(xué)概念的兩重性時，上述三個理論基本類似。例如，程序性概程序性概 念理論念理論同時把分?jǐn)?shù)看作是程序和概念；在同時把分?jǐn)?shù)看作是程序和概念；在結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)操作性理論操作性理論中，有中，有 理數(shù)可以看作是一個結(jié)構(gòu)理數(shù)可以看作是一個結(jié)構(gòu)數(shù)對，也可以看作是一種操作數(shù)對，也可以看作是一種操作兩兩 個整數(shù)相除個整數(shù)相除的結(jié)果；而在的結(jié)果；而在apos理論理論中，分?jǐn)?shù)概念同樣被區(qū)分中，分?jǐn)?shù)概念同樣被區(qū)分 為為“程序程序”和和“對象對象”兩種形式。兩種形式。 三個理論的差別主要反映在三個理論的差別主要反映在“程序程序”與與“對象對象”的關(guān)系上。的關(guān)系上。tall對對“

54、程程 序序”和和“對象對象”是如何發(fā)展的，以及在發(fā)展過程中涉及什么數(shù)學(xué)思是如何發(fā)展的，以及在發(fā)展過程中涉及什么數(shù)學(xué)思 想并沒有特別的說明。而想并沒有特別的說明。而apos理論理論和和結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)操作性理論操作性理論則指出則指出“ 對象對象”概念一般起源于概念一般起源于“程序程序”概念：這中間有一個概念：這中間有一個“壓縮（壓縮（ encapsulation）”或者或者“對象化（對象化（reification）”的過程。根據(jù)的過程。根據(jù) apos理論，理論， “壓縮過程的完成取決于個體能否在整體上把握一個壓縮過程的完成取決于個體能否在整體上把握一個 程序，把它作為一個整體進(jìn)行變換，并有能力構(gòu)造這種變

55、換程序，把它作為一個整體進(jìn)行變換，并有能力構(gòu)造這種變換 。而在。而在 結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)操作性理論中，操作性理論中，“對象化過程是一個從量變到質(zhì)變的過程，對象化過程是一個從量變到質(zhì)變的過程， 在這個過程中，程序凝聚成對象，成為一種靜態(tài)的結(jié)構(gòu)。在這個過程中，程序凝聚成對象，成為一種靜態(tài)的結(jié)構(gòu)?！?行動行動 對對 象象 協(xié)調(diào)協(xié)調(diào) 反演反演 程序程序 壓縮壓縮 解壓縮解壓縮 內(nèi)化內(nèi)化 “行動行動”是指個體通過一步一步的外顯性（是指個體通過一步一步的外顯性（ 或記憶性）指令去變換一個客觀的數(shù)學(xué)對象。例或記憶性）指令去變換一個客觀的數(shù)學(xué)對象。例 如，個體一開始對如，個體一開始對“左陪集左陪集”的的“行動行動”通常

56、局通常局 限于一些具體的集合，如自然數(shù)限于一些具體的集合，如自然數(shù)20的剩余類的剩余類z20 ，他可以通過將，他可以通過將z20中每個元素都乘以中每個元素都乘以4的方法的方法 得到一個子集得到一個子集h=0,4,8,12,16，然后寫出，然后寫出5的左的左 陪集陪集5+h=1,5,9,13,17，這個集合中的所有元素，這個集合中的所有元素 除以除以4的余數(shù)均為的余數(shù)均為1。 在在apos理論中，理論中，行動的內(nèi)化行動的內(nèi)化（interiorization） 是數(shù)學(xué)課堂的一種是數(shù)學(xué)課堂的一種“日?；顒尤粘；顒印?。例如，在代數(shù)課程。例如，在代數(shù)課程 中，為了考察一個二次函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性，中

57、，為了考察一個二次函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性， 學(xué)生首先在一些特殊點(diǎn)上利用特定的規(guī)則（如函數(shù)表學(xué)生首先在一些特殊點(diǎn)上利用特定的規(guī)則（如函數(shù)表 達(dá)式）的比較函數(shù)值的大小，這屬于處于離散狀態(tài)的達(dá)式）的比較函數(shù)值的大小，這屬于處于離散狀態(tài)的 “行動行動”階段。上述階段。上述“行動行動”經(jīng)過多次重復(fù)后，慢慢經(jīng)過多次重復(fù)后，慢慢 地就內(nèi)化為一種心理結(jié)構(gòu)，稱為地就內(nèi)化為一種心理結(jié)構(gòu)，稱為“程序程序”，它的功能，它的功能 就是實(shí)施相應(yīng)的就是實(shí)施相應(yīng)的“行動行動”。在。在“行動行動”階段，學(xué)生只階段，學(xué)生只 能單個地計算函數(shù)值，再比較函數(shù)值的大小，而在能單個地計算函數(shù)值，再比較函數(shù)值的大小，而在“ 程序程序”階

58、段，學(xué)生則可以同時考慮多個函數(shù)值的大小階段，學(xué)生則可以同時考慮多個函數(shù)值的大小 關(guān)系及變化趨勢。關(guān)系及變化趨勢。 當(dāng)當(dāng)“行動行動”經(jīng)過多次重復(fù)而被個體熟悉后，就可經(jīng)過多次重復(fù)而被個體熟悉后，就可 以內(nèi)化為一種稱之為以內(nèi)化為一種稱之為“程序程序（process）”的心理操作的心理操作 。有了這種。有了這種“程序程序”，個體就可以想象這個，個體就可以想象這個“行動行動” ，而不需要通過外部的刺激；他可以在頭腦中實(shí)施這，而不需要通過外部的刺激；他可以在頭腦中實(shí)施這 個程序，而不需要具體操作；進(jìn)而，他還可以對這個個程序，而不需要具體操作；進(jìn)而，他還可以對這個 程序進(jìn)行逆轉(zhuǎn)以及與其它程序進(jìn)行組合。例如，

59、當(dāng)上程序進(jìn)行逆轉(zhuǎn)以及與其它程序進(jìn)行組合。例如，當(dāng)上 述例子中的集合變成四元置換集述例子中的集合變成四元置換集s4，子集變成一個由，子集變成一個由 正方形的正方形的8種剛體變換所組成的集合種剛體變換所組成的集合h時，類似上面的時，類似上面的 “左陪集左陪集”的的“行動行動”就變得比較困難。而當(dāng)集合就變得比較困難。而當(dāng)集合s4 變成集合變成集合sn時，這種困難會進(jìn)一步加大。這時，關(guān)鍵時，這種困難會進(jìn)一步加大。這時，關(guān)鍵 的是個體必須把置換的是個體必須把置換p的左陪集看作是的左陪集看作是p與集合與集合h中元中元 素素h的乘積的乘積ph所產(chǎn)生的集合。這樣，就得到了產(chǎn)生左陪所產(chǎn)生的集合。這樣，就得到了產(chǎn)生左陪 集的集的“程序程序”。 在學(xué)生多次運(yùn)用在學(xué)生多次運(yùn)用“程序程序”后，一旦他們對整個區(qū)間上的函后，一旦他們對整個區(qū)間上的函 數(shù)值隨自變量變化的趨勢有了整體的認(rèn)識，我們就說，上述數(shù)值隨自變量變化的趨勢有了整體的認(rèn)識，我們就說，上述“ 程序程序”已經(jīng)被已經(jīng)被“壓縮壓縮（encapsulation）”為一種為一種“對象對象”。就。就 “壓縮壓縮”過程而言，有兩點(diǎn)要注意：一是根據(jù)過程而言，有兩點(diǎn)要注意：一是根據(jù)apos