等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教學(xué)設(shè)計(jì)

1、等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和教學(xué)設(shè)計(jì)教材分析等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是數(shù)列的重要內(nèi)容， 也是數(shù)列研究的基本問題.在現(xiàn)實(shí)生活 中，等差數(shù)列的求和是經(jīng)常遇到的一類問題 等差數(shù)列的求和公式， 為我們求等 差數(shù)列的前n項(xiàng)和提供了一種重要方法.教材首先通過具體的事例，探索歸納出等差數(shù)列前n項(xiàng)和的求法， 接著推廣到一 般情況，推導(dǎo)出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式. 為深化對(duì)公式的理解，通過對(duì)具體例 子的研究，弄清等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與等差數(shù)列的項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差之間的關(guān)系， 并能熟練地運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決問題.這節(jié)內(nèi)容重點(diǎn)是探索掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，并能應(yīng)用公式解決一些實(shí)際問題，難點(diǎn)是前n項(xiàng)和公式 推導(dǎo)思路的形成教

2、學(xué)目 標(biāo)1. 通過等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)公式產(chǎn)生、形成的過程， 培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力2. 理解和掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，體會(huì)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與二次函數(shù) 之間的聯(lián)系， 并能用公式解決一些實(shí)際問題， 培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解能力和邏輯 推理能力3. 在研究公式的形成過程中，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力、創(chuàng)新能力和科學(xué)的思維方 法任務(wù)分析這節(jié)內(nèi)容主要涉及等差數(shù)列的前n項(xiàng)公式及其應(yīng)用.對(duì)公式的推導(dǎo)， 為便于學(xué)生理解， 采取從特殊到一般的研究方法比較適宜， 如從 歷史上有名的求和例子1 + 2+ 3+ 100的高斯算法出發(fā)，一方面引發(fā)學(xué)生 對(duì)等差數(shù)列求和問題的興趣，另一方面引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等差數(shù)

3、列中任意的第k項(xiàng)與 倒數(shù)第k項(xiàng)的和等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和這個(gè)規(guī)律， 進(jìn)而發(fā)現(xiàn)求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的 一般方法，這樣自然地過渡到一般等差數(shù)列的求和問題 對(duì)等差數(shù)列的求和公式， 要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)公式本身的結(jié)構(gòu)特征， 弄清前n項(xiàng)和與等差數(shù)列的項(xiàng)、 項(xiàng)數(shù)、公 差之間的關(guān)系 為加深對(duì)公式的理解和運(yùn)用， 要強(qiáng)化對(duì)實(shí)例的教學(xué)， 并通過對(duì)具 體實(shí)例的分析， 引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)解決問題的方法 特別是對(duì)實(shí)際問題， 要引導(dǎo)學(xué)生 從實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的模型， 恰當(dāng)選擇公式.對(duì)于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式 和二次函數(shù)之間的聯(lián)系，可引導(dǎo)學(xué)生拓展延伸教學(xué)設(shè)計(jì) 一、問題情景1. 在我國(guó)古代,9是數(shù)字之極，代表尊貴之意，所以中國(guó)古代皇家建筑中

4、包含許多與9相關(guān)的設(shè)計(jì).例如,北京天壇圓丘的地面由扇環(huán)形的石板鋪成，最高一層的中心是一塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板,從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊,共有9圈.請(qǐng)問:)前9圈一共有多少塊石板？2. 在200多年前，有個(gè)10歲的名叫高斯的孩子，在老師提出問題：“12 3 + 100=? ”時(shí)，很快地就算出了結(jié)果他是怎么算出來的呢？他發(fā)現(xiàn) 1 +100= 2+ 99= 3+ 97=50 + 51= 101,于是 1 + 2+ 100= 101X 50= 5050.3. 受咼斯算法啟發(fā)，你能否求出1 + 2+ 3+ 99的和.高斯的方法妙在哪里呢？這種方法能否推廣到求一般等差數(shù)列的前n項(xiàng)和？

5、二、建立模型1. 數(shù)列的前n項(xiàng)和定義對(duì)于等差數(shù)列a n，我們稱3 1 +a 2+n為數(shù)列a n的前 n項(xiàng)和，用 Sn 表示，即卩 Sn=a 1 +a 2+a n.2. 等差數(shù)列的求和公式(1)如何用高斯算法來推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式？對(duì)于公差為d的等差數(shù)列a n:Sn= a1 + a2 + a3+ an-1 + anSn= an+ an1 + ch-2 + + a2 + a1由十*得 （a 1）+ （d +為）十* + （血+如=程（口 +為hr個(gè)由此得到等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式n(ai +d J2小結(jié)：這種方法稱為倒序相加法，是數(shù)列求和的一種常用方法.(2)結(jié)合通項(xiàng)公式a n=a i+(n

6、1)d，又能得怎樣的公式?(3)兩個(gè)公式有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，各反映了等差數(shù)列的什么性質(zhì)？學(xué)生討論后，教師總結(jié)：相同點(diǎn)是利用二者求和都須知道首項(xiàng)a1和項(xiàng)數(shù)n;不同點(diǎn)是前者還須要知道a n,后者還須要知道d因此，在應(yīng)用時(shí)要依據(jù)已知條 件合適地選取公式.公式本身也反映了等差數(shù)列的性質(zhì)：前者反映了等差數(shù)列的任意的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和都等于首、末兩項(xiàng)之和，后者反映了等差數(shù)的前n項(xiàng)和是關(guān)于n的沒有常數(shù)項(xiàng)的 二次函數(shù)”.三、解釋應(yīng)用例題例1、在我國(guó)古代,9是數(shù)字之極，代表尊貴之意，所以中國(guó)古代皇家建筑中包含許多與9相關(guān)的設(shè)計(jì).例如，北京天壇圓丘的地面由扇環(huán)形的石板鋪成，最高一層的中心是一塊天心石，圍繞它

7、的第一圈有9塊石板,從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊,共有9圈.請(qǐng)問:)前9圈一共有多少塊石板？解 由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，得前9圈一共有石板9(91)9匯 8“Sgd =9 99 =405(塊)2 2答：第9圈有81塊石板,前9圈一共有405塊石板.例2、已知一個(gè)等差數(shù)列 an的前10項(xiàng)的和是310,前20項(xiàng)的和是1220，由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和的公式嗎？解 由題意知 S10= 310，S20= 1 220，n r_I將它們代入公式Sn= na1+- d，f10a1 + 45d= 310,得到，20a1+ 190d= 1 220.ai = 4, d = 6.Sn= nX 4+2X 6= 3n 2+ n.另解：S10叮心=310? a1 + a10= 62S20=1 220? a1 + a20= 122得：a20-a10= 60, 10d= 60,. d= 6, a1 = 4.Sn=n a1 +2d = 3n2+ n.反思與感悟 (1)在解決與等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的問題中，要注意方程思想和整體思想的運(yùn)用；(2)構(gòu)成等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的元