共點(diǎn)圓及其共點(diǎn)圓的證明方法

1、共點(diǎn)圓及其共點(diǎn)圓的證明方法1共點(diǎn)圓同時通過一點(diǎn)的許多圓稱為共點(diǎn)圓. 要證明諸圓其點(diǎn)，可先證其 中兩圓相交（或相切）于某一點(diǎn)，再證此點(diǎn)在其他圓上.也可證諸圓通 過某一特殊點(diǎn)等.例21設(shè)四條直線相交于 A B、CD E、F六點(diǎn)，求證： BCE DCF ADE ABF的外接圓共點(diǎn).證明因為圓BEC和圓CDF已有一個交點(diǎn)C,必有另一交點(diǎn)Q并且0不與 C重合（否則圓EBC和圓CDF相切于C（Q）,則AE/ AF,與假設(shè)矛盾）.連QC QD QE QF（圖 1-52）.則有:/ A+Z DQ呂/ A+Z EQCYCQDM A +/ ABF吃 AFB=180 .二A D O E四點(diǎn)共圓.圓AED過Q點(diǎn).同理

2、，圓ABF也過Q點(diǎn). BCE DCF ADE ABF的外接圓共點(diǎn).例22設(shè)I為厶ABC內(nèi)心，過BI作圓切CI于I .過CI作圓切BI于I .求證：此二圓與圓 ABC三圓共點(diǎn).證明因為所作之兩圓已有一個交點(diǎn)I，必有另一交點(diǎn)0.并且O與I不重 合(否則BI . CI是過I之兩圓的公切線，則B、I . C必共線，此與IABC內(nèi)心相矛盾).連 BO OC 0I(圖 1 53).則/ CIO=Z IBO,/ BIO=Z ICO,/ ABO/ ACO= ZBO+ZICO + | (ZABC卡厶CB)= ZCIO+ZBIO+ (ZABC + ZACB)=ZBIC+ | (ZABC+ZACB)=9防 十;ZB

3、 AC+ (ZABC + ZACB)ww= 90* 十+ (ZABC + ZAOB+ZBAC)=180 A B、O C四點(diǎn)共圓.所證之三圓共點(diǎn).2:共圓點(diǎn)的證明方法同在一個圓上的許多點(diǎn)稱為共圓點(diǎn)， 或者說這些點(diǎn)共圓.證明一 些點(diǎn)共圓常常利用以下一些方法思考.1. 要證明若干點(diǎn)共圓，先設(shè)法發(fā)現(xiàn)其中以某兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段恰為一直徑，然后證明其他點(diǎn)對這條線段的視角均為直角.2. 要證明若干點(diǎn)共圓，先證其中四點(diǎn)共圓，然后再證明其余點(diǎn)均在 這個圓上.3. 要證明四點(diǎn) A B、C、D共圓，可證四邊形ABCD勺對角互補(bǔ)，或 證某兩點(diǎn)視另兩點(diǎn)所連線段的視角相等.4 .如果二直線 AB CD相交于0點(diǎn)，就有向線段

4、的乘積而言，OA* OBOC*則人B. C, D四點(diǎn)共圓等等.例18設(shè)O O、O O、O 03兩兩外切，Y是O 0和O O的切點(diǎn)，R、S分 別是O O、O Q與O 03的切點(diǎn)，連心線 0Q交O 0于P,交O Q于Q, 求證：P、Q R S四點(diǎn)共圓.證明連心線002過Y,與O O、O O分別交于P、Q連QQ、0Q, 它們分別過S、R點(diǎn).連PR RS SQ并作切線RX（圖1 49）.則在四邊形PRSQ中,ZPRS = ZPKY+Z YRX +ZXRS= 90= 50* +彩00+扣0/ZQ+ZPRS = 90 +2ZOlOO + ZOOQ + ZQ）2123八了=90+90二P、Q R、S四點(diǎn)共圓

5、.例19設(shè)厶ADE內(nèi)接于圓,團(tuán) 1-50弦BC分別交AD AE邊于F、 （圖1 50）.求證：F、D E、G四點(diǎn)共圓.證明 作AMLBC交圓于N,則AN為圓的直徑，連DN則/ FDNW FMN=90 . F、D N M四點(diǎn)共圓. AD- AF= AN- AM同理，AG- AE=AN AM AD- AF= AG- AE F、D E、G四點(diǎn)共圓.例20已知：D E、F是厶ABC三邊的中點(diǎn)，AI、BM CN是高線，H 是垂心，P、Q R分別是AH BH CH的中點(diǎn)，求證：D E、F、I . M N P、Q R九點(diǎn)共圓（此圓稱為三角形的九點(diǎn)圓，圖1-51）.證明用DR為直徑作圓0.vZ DNC=90，二 N在O 0上.T DE/ AC ER/ BMZ DER=90，二 E在O O上.同理，F(xiàn)在O O上.又 vDP/ BM RP/ AC