【W(wǎng)ord版導(dǎo)學(xué)案】學(xué)案52

1、A % H魅亶東方工咋愛樓2備棵紐劇冷學(xué)案52 雙曲線導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它們的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).2.理解數(shù)形結(jié)合的思想.東方工 作窒核2.備徐紐*1昨* % xz1. 雙曲線的概念平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)Fl、F2(|FiF2= 2c0)的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)2a(2a0, c0;(1) 當(dāng)時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是；(2) 當(dāng)時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是;(3) 當(dāng)時(shí)，P點(diǎn)不存在.2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程孑器=1(a0, b0) p 1(a0，b0)圖形性質(zhì)范圍x a 或 x a, y Rx R, ya對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸 對(duì)稱中心：原點(diǎn)對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸 對(duì)稱中心：原點(diǎn)

2、頂點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)：Ai ( a,0), A2(a,0)頂點(diǎn)坐標(biāo)：A1 (0, a), A2(0, a)漸近線.b y= x ay - fx離心率e=c, e (1 ,+s )，其中 c=pa2+ b2a實(shí)虛軸線段AiA2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng) |AiA2|= 2a;線段B1B2叫 做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)IB1B2I 2b; a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)， b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)1 賓a、b、c的關(guān)系1c（2011安徽）雙曲線2X2 y2= 8的實(shí)軸長(zhǎng)是（）A. 2B . 2 2C. 4D . 4 .2x2 v2 已知雙曲線T 2= 1 （b0）的左、右焦點(diǎn)分別為Fi、F2,其中一條漸近線方程為y2 b

3、=X,點(diǎn)P（ 3, yo）在該雙曲線上，則 PF1 PF2等于（）A . 12B . 2C. 0D . 4 （2011課標(biāo)全國(guó)）設(shè)直線I過(guò)雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，且與C的一條對(duì)稱軸垂直，I與C 交于A，B兩點(diǎn)，|AB|為C的實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則C的離心率為（）A. . 2B. . 3C. 2D . 3 （2011武漢調(diào)研）已知點(diǎn)（m，n）在雙曲線 8x2 3y2 = 24上，貝V 2m+ 4的范圍是= a2+ b2 (ca0，cb0)3實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)相等的雙曲線為 ，其漸近線方程為 ，離心率為.自我檢測(cè)東芳工咋宜核心備裸紐5. 已知A(1,4), F是雙曲線-1的左焦點(diǎn)，P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn),的最小

4、值.求 |PF|+ |PA|探究點(diǎn)一雙曲線的定義及應(yīng)用A % H魅亶東方工咋愛樓2備棵紐劇冷1 已知定點(diǎn) A(0,7), B(0, 7), C(12,2),以C為一個(gè)焦點(diǎn)作過(guò) A, B的橢圓，求另一焦點(diǎn)F的軌跡方程.變式遷移1已知?jiǎng)訄AM與圓Ci： (x + 4)2 + y2= 2外切，與圓C2： (x 4)2 + y2= 2內(nèi)切, 求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程.探究點(diǎn)二求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程*賓工蒐亶東看工咋莖核2備課紐制作2 已知雙曲線的一條漸近線方程是x 2y=0，且過(guò)點(diǎn)P(4,3)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.x2 y變式遷移2 (2011安慶模擬)已知雙曲線與橢圓 X + 25= 1的焦點(diǎn)相同，且它們的

5、離心 率之和等于14,則雙曲線的方程為 .5探究點(diǎn)三雙曲線幾何性質(zhì)的應(yīng)用東方工 件衰核2 備裸紐 昨A f： X-CZ3 已知雙曲線的方程是 16x2 9y2= 144.求此雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率和漸近線方程；(2)設(shè)Fi和F2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且|PFi|PF2|= 32,求/ F1PF2的大小.變式遷移3已知雙曲線c : 2y2= 1.(1)求雙曲線C的漸近線方程；彳東方工咋愛核金備棵11劇柞* H X1EZ(2)已知M點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)，設(shè)P是雙曲線 C上的點(diǎn)，Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn).記_X=MP MQ，求入的取值范圍.方程思想的應(yīng)用血東方工作愛核2備棵紐劇冷*

6、賓xx(12分)過(guò)雙曲線x y = 1的右焦點(diǎn)F2且3 6傾斜角為30的直線交雙曲線于 A、B兩點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)i為左焦點(diǎn).求AB；(2) 求厶AOB的面積；(3) 求證：|AF2|+ |BF2|= |AFi|+ |BFi|.東看工昨堂桟2備課紐制作(1)要求弦長(zhǎng)|AB|需要A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)或設(shè)而不求利用弦長(zhǎng)公式，這就需要先求直線 AB; (2)在(1)的基礎(chǔ)上只要求點(diǎn)到直線的距離；(3)要充分聯(lián)想到A、B兩點(diǎn)在雙曲線上這個(gè)條件.【答題模板】解 由雙曲線的方程得 a= 3, b= 6,.c= a2+ b2= 3, Fi( 3,0), F2(3,0).y=E(x 3).設(shè) A(xi, yi),

7、 B(X2, y2).直線AB的方程為_3y= 3 x3 由 x!y2=1366 X1 + X2= 5,，得 5x2+ 6x-27= 0.2 分27x1x2=,|AB|= p 1 + k2X1 X2|=1 + 申 2 X1 + X2 2 4X1X2 =分解 直線AB的方程變形為，3x 3y 3 3 = 0. | 3曲3原點(diǎn)0到直線AB的距離為d= ：:= .6分V3 2+ 3 22c 11、/16也、,312也 八Sob = 2AB| d=尹 亍 X 2 =亍.8 分3608 =泌25 554(3)證明東看工 作衰核2 備課 紐制昨A X-CZ如圖，由雙曲線的定義得|AF2| |AFi|= 2

8、 .3,|BFi|BF2|= 2 .3, 10 分|AF2| |AFi|= |BFi| |BF2|,即 |AF2|+ |BF2|= |AFi|+ |BFi|.12 分【突破思維障礙】寫出直線方程，聯(lián)立直線方程、雙曲線方程，消元得關(guān)于x的一元二次方程，利用弦長(zhǎng)公式求|AB|,再求點(diǎn)0到直線AB的距離從而求面積， 最后利用雙曲線的定義求證等式成立.【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】在直線和雙曲線相交的情況下解題時(shí)易忽視消元后的一元二次方程的判別式40 ,而導(dǎo)致錯(cuò)解.1. 區(qū)分雙曲線中的a, b, c大小關(guān)系與橢圓中a, b, c的大小關(guān)系，在橢圓中a2= b2+ c2,而在雙曲線中c2 = a2+ b2;雙曲線的離心

9、率大于1,而橢圓的離心率e (0,1).x2 yb y2 x22. 雙曲線 孑一p= 1 （a0, b0）的漸近線方程是 y= 護(hù)，器一仔=1 （a0, b0）的漸近 線方程是y= bx.3. 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法：（1）定義法，根據(jù)題目的條件，判斷是否滿足雙曲線的定義， 若滿足，求出相應(yīng)的 a、b、c,即可求得方程. 待定系數(shù)法，其步驟是：定位：確 定雙曲線的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上；設(shè)方程：根據(jù)焦點(diǎn)的位置設(shè)出相應(yīng)的雙曲線方程； 定值：根據(jù)題目條件確定相關(guān)的系數(shù).（滿分：75分）一、選擇題（每小題5分，共25分）1.已知 M（-2,0）、A 雙曲線C.雙曲線右邊一支x293,則厶F1PF2的周長(zhǎng)等

10、于（A. 222設(shè)點(diǎn)P在雙曲線N（2,0）, |PM|PN|= 3,則動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡是（）B.雙曲線左邊一支D. 條射線上，若B. 16 = 116)C. 14x2)過(guò)雙曲線孑一b2 =Fi、F2為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，且|PFi|： |PF2|= 1 :D. 12寧波高三調(diào)研M），交y軸于點(diǎn)P.若M為線段FP的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）B. .3C. 2D. .52 24. 雙曲線字一存=1的左焦點(diǎn)為F1，左、右頂點(diǎn)分別為一點(diǎn)，則分別以 PF1和A1A2為直徑的兩圓的位置關(guān)系是（A.相交B .相離C .相切3. (2011線FM(切點(diǎn)為A. . 21 (a0, b0)的右焦點(diǎn)F作圓x2+ y

11、2= a2的切A1、A2, P是雙曲線右支上的)D 內(nèi)含必4/6- -%0 , b0）的兩條漸近線均和圓C： x2 + y2- 6x+ 5=0相切，且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓 C的圓心，則該雙曲線的方程為（）b-宦 1 D 6東傅工咋愛核金備棵紐劇冷m-x = 1的一個(gè)焦點(diǎn)，則m=二、填空題(每小題4分，共12分)6. (2011上海)設(shè)m是常數(shù)，若點(diǎn)F(0,5)是雙曲線2 27. 設(shè)圓過(guò)雙曲線X 6= 1的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，圓心在此雙曲線上，則此圓心到雙曲線中心的距離為.8. (2011銅陵期末)已知以雙曲線 C的兩個(gè)焦點(diǎn)及虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形中,有一個(gè)內(nèi)角為60則雙曲線C的離心率為 .

12、三、解答題(共 38分)9. (12分)根據(jù)下列條件，求雙曲線方程：x2 v2(1) 與雙曲線6 :V6= 1有共同的漸近線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(一3, 2 3)；(2) 與雙曲線 洛4 = 1有公共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(3 ,2, 2).10. (12 分)(2011 廣東)設(shè)圓 C 與兩圓(x+ ,5)2 + V2 = 4, (x ,5)2 + y2 = 4 中的一個(gè)內(nèi)切， 另一個(gè)外切.(1) 求圓C的圓心軌跡L的方程；(2) 已知點(diǎn)M(, 竽，F(xiàn)( 5 ,0)，且P為L(zhǎng)上動(dòng)點(diǎn)，求|MP|FP|的最大值及此時(shí) 點(diǎn)P的坐標(biāo).東方工昨畫檯2備課紐制作學(xué)案52雙曲線自主梳理1.雙曲線焦點(diǎn)焦距ac 3等軸雙曲線y=

13、 x e= 2自我檢測(cè)22x2 y21. C -2X2-y2= 8,盲一8 = 1,a = 2,.2a = 4.2 23. B 設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 拿一缶=1(a0, b0)，由于直線I過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)且與1) = b41) = a2,2. C對(duì)稱軸垂直，因此直線l的方程為I: x= c或x= c,代入孑b = 1得y2= y=，故 AB|= 2b，依題意 他=4a,aaab2 小c2 a22-2= 2,.2 = e2 1 = 2,. e=.?3.aa4. ( , 4 2： 3 U 4 + 2碼 3,+ )5. 解 設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F1，則由雙曲線的定義可知|PF|= 2a + |PF1|=

14、 4+ |PF1|,|PF|+ |PA|= 4 + |PF1|+ |PA|.當(dāng)滿足|PF1 |+|PA|最小時(shí)，|PF|+ |PA|最小.由雙曲線的圖象可知當(dāng)點(diǎn)A、P、F1共線時(shí)，滿足|PF1|+ |PA|最小，易求得最小值為|AF1|=5,故所求最小值為9.課堂活動(dòng)區(qū)車方工咋愛樓金備棵紐劇冷ff f： x-cx1解題導(dǎo)引求曲線的軌跡方程時(shí)，應(yīng)盡量地利用幾何條件探求軌跡的曲線類型，從而再用待定系數(shù)法求出軌跡的方程，這樣可以減少運(yùn)算量，提高解題速度與質(zhì)量.在運(yùn)用雙曲線的定義時(shí)，應(yīng)特別注意定義中的條件“差的 絕對(duì)值”，弄清所求軌跡是整條雙曲線，還是雙曲線的一支，若是一支，是哪一支，以確保 軌跡的純

15、粹性和完備性.解 設(shè)F(x, y)為軌跡上的任意一點(diǎn)，因?yàn)锳, B兩點(diǎn)在以C, F為焦點(diǎn)的橢圓上，所以 |FA|+ |CA|= 2a, |FB|+ |CB|= 2a(其中a表示橢圓的長(zhǎng)半軸).所以 |FA|+ |CA|=|FB|+ |CB|.所以 |FA| |FB|= |CB| |CA|=” 122+ 92 “ 122+ 52= 2.所以 |FA| |FB|= 2.由雙曲線的定義知，F(xiàn)點(diǎn)在以A, B為焦點(diǎn)，2為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線的下半支上.所以點(diǎn)F的軌跡方程是y2 = 1 (yw 1).變式遷移1解lELr東看工作窒核z備裸紐制作設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，則由已知得，|MCi|= r +-. 2,|MC

16、2|= r - 2,|MCi|- |MC2|= 2 2,又 Ci( - 4,0), C2(4,0),|CiC2|= 8. .2 20時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng) X0時(shí)，焦點(diǎn)在y軸a b上.解 方法一 雙曲線的一條漸近線方程為 x-2y= 0,當(dāng) x = 4 時(shí)，y= 20, b0)，且c1y2 x2=4，所以a= c= 2, a2= 4, b2= c2 a2= 12,于是雙曲線的方程為 4 匸=1.解題導(dǎo)引雙曲線問(wèn)題與橢圓問(wèn)題類似，因而研究方法也有許多相似之處，如利用“定義”“方程觀點(diǎn)”“直接法或待定系數(shù)法求曲線方程”“數(shù)形結(jié)合”等.(1)由 16x2 9y2= 144，得2 2 x_ y916=1

17、,a = 3, b= 4, c= 5.焦點(diǎn)坐標(biāo) F1( 5,0),5F2(5,0)，離心率 e= 3,漸近線方程為y=15/東看工作畫樓z備課紐制作* % xx |PF1|PF2|= 6,|PF1|2 + |PF2|2 |F1F2|22|PFi|PF2|PF1| |PF2| 2+ 2|PF1|PF2| |F1F2|2COS/F1PF2 =2|PF1|PF2|36 + 64 1oo =64=o,zF1PF2 = 9o 變式遷移3解(1)因?yàn)閍= 2, b= 1,且焦點(diǎn)在x軸上，所以漸近線方程為 y - x=o, y + x= o.設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(xo, yo)，則Q的坐標(biāo)為(xo, yo),?=

18、MP MQ = (xo, yo 1) ( xo, yo 1)=x2 y2 + 1 =2.|xo| 2,.入的取值范圍是(一a, 1.課后練習(xí)區(qū)1. C 2.A3.A4.C5. a 雙曲線a 岸=1的漸近線方程為y= x, 圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x 3)2+ y2= 4,.圓心為C(3,0). 又漸近線方程與圓 C相切，即直線bx ay= 0與圓C相切， 3b= 2,.5b2= 4a2.a2+ b2F2a2+ b2, 0)為圓心 C(3,0),x2 y2又訐存=1的右焦點(diǎn)a2+ b2= 9由得a2= 5, b2= 4.一x2 y2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x y = 1.5 46. 16解析由已知條件有16

19、7.亍8.29.解(1)方法一(2分)設(shè)雙曲線的方程為x52= m+ 9，所以 m= 16.鼻 y2=1,由題意可知所求雙曲線的焦點(diǎn)在 x軸上,b 4a = 3，由題意，得2M屮1b2，a29解得 a2= 4, b2= 4.(4 分)y24所以雙曲線的方程為4X2=1.(6 分)y2916 =入(爐 0)，(2 分)1將點(diǎn)(3,2 3)代入得 入=，(4分)、x2y21所以雙曲線方程為 -即 4x2春=1.(6 分)x2 方法二設(shè)所求雙曲線方程9164x2 v2(2)設(shè)雙曲線方程為a2器=1由題意c= 2 5.(8分) 又雙曲線過(guò)點(diǎn)(3,2, 2)，二：了 42= 1.又a2+ b2= (2

20、,5)2,a2= 12 , b2 = 8.(10 分)x2y2故所求雙曲線的方程為乜8 = 1.(12分)|CFi|= r 2, 或|CF|= r + 2,10.解(1)設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為(x, y),半徑為r. 圓(x+ ,5)2+ y2 = 4的圓心為F1( 5, 0)，半徑為2, 圓(x ,5)2+ y2 = 4的圓心為F( 5, 0)，半徑為2.|CFi|= r + 2,由題意得|CF|= r 2|CFi|CF|= 4.（4 分）|FiF|= 2 一54.2圓C的圓心軌跡是以Fi( 5, 0), F( .5, 0)為焦點(diǎn)的雙曲線，其方程為X 1.(6由圖知，|FP|W|MF|,lj_r

21、東看工作堂核業(yè)備課紐制作I賓H匹亶當(dāng)M , P, F三點(diǎn)共線，且點(diǎn)P在MF延長(zhǎng)線上時(shí)，|MP|FP取得最大值|MF|, （8分） 且MF 匸, 355 .5 2+ 455 0 2= 2.（9 分）直線MF的方程為y= 2x+ 2,5，與雙曲線方程聯(lián)立得y = 2x+ 2 , 5,整理得 15x2 32.5x+ 84= 0.x - y2= i，當(dāng)|MP|FP|取得最大值2時(shí)，點(diǎn)) (12 分)貝U X1+ X2=, X1x2 =k2 3k2 3k2嚴(yán)嚴(yán)* 4 =k2 3k2 3k2 3.11.解設(shè) P(x, y),則.x 2 2 + y2 = 2 x1 ,2 y2化簡(jiǎn)得x 3 = 1(y豐0). (5分)