高中數(shù)學(xué)必修五知識講解_正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用_提高

1、正弦、余弦定理在三角形中的應(yīng)用編稿：張希勇審稿：李霞【學(xué)習(xí)目標(biāo)】.1.進(jìn)一步鞏固正弦定理和余弦定理，并能綜合運(yùn)用兩個定理解決三角形的有關(guān)問題；2.學(xué)會用方程思想解決有關(guān)三角形的問題，提高綜合運(yùn)用知識的能力和解題的優(yōu)化意識【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：正弦定理和余弦定理的概念正弦定理公式：abc=2r（其中r表示三角形的外接圓半徑）sinasinbsinc余弦定理公式：第一形式：a2=b2+c2-2bccosab2=a2+c2-2accosbc2=a2+b2-2abcosc第二形式：cosa=cosb=cosc=b2+c2-a22bca2+c2-b22aca2+b2-c22ab要點(diǎn)二：三角形的面積公式22

2、2sdabc=111ah=bh=ch；abcsdabc111=bcsina=absinc=acsinb；222要點(diǎn)三：利用正、余弦定理解三角形已知兩邊和一邊的對角或已知兩角及一邊時，通常選擇正弦定理來解三角形；已知兩邊及夾角或已知三邊時，通常選擇余弦定理來解三角形.特別是求角時盡量用余弦定理來求，盡量避免分類討論.在dabc中，已知a,b和a時，解的情況主要有以下幾類：absina無解一解(直角)a=bsinabsinaab二解(一銳，一鈍)若a為銳角時：ab一解(銳角)a=bsinaab一解一解一解(銳角)bsinaabab要點(diǎn)四：三角形的形狀的判定特殊三角形的判定：（1）直角三角形勾股定理

3、：a2+b2=c2，互余關(guān)系：a+b=900，cosc=0，sinc=1；（2）等腰三角形a=b，a=b；用余弦定理判定三角形的形狀（最大角a的余弦值的符號）（1）在dabc中，00a0b2+c2a2；（2）在dabc中，a=900cosa=（3）在dabc中，900acosa=要點(diǎn)五：解三角形時的常用結(jié)論b2+c2-a22bcb2+c2-a22bc=0b2+c2=a2；0b2+c2babsinasinbcosaca，所以bca，所以b=75，c=60；bc6-23sinasinbsinc42cab，所以cab，所以b=15，c=120.【總結(jié)升華】.解三角形時，對于求解三角形的題目，一般都可

4、有兩種思路但要注意方法的選擇，同時要注意對解的討論.解三角形時，要留意三角形內(nèi)角和為180、同一個三角形中大邊對大角等性質(zhì)的應(yīng)用。舉一反三：【變式1】在dabc中，若a=2，b=22，c=6-2，求角a和sinc【答案】根據(jù)余弦定理：cosa=b2+c2-a28+8-43-43=2bc222(6-2)2，a=30，sinc=csina0a180，(6-2)sin30(6-2)=。a24【變式2】（2015天津高考）在dabc中，內(nèi)角a,b,c所對的邊分別為a,b,c，已知dabc的面1積為315，b-c=2,cosa=-,則a的值為.4【答案】因?yàn)?ap，所以sina=1-cos2a=154，

5、又sdabc=115b-c=2bcsina=bc=315,bc=24，解方程組得b=6,c=4，由余弦定理得28bc=24a2=b2+c2-2bccosa=62+42-264-=64，所以a=8.14例2abc的內(nèi)角a，b，c所對應(yīng)的邊分別為a，b，c()若a，b，c成等差數(shù)列，證明：sinasinc2sin(ac)；()若a，b，c成等比數(shù)列，求cosb的最小值【思路點(diǎn)撥】(1)因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，所以a+c=2b,利用正弦定理用角表示邊。（2）因?yàn)閍，b，c成等比數(shù)列，所以ac=b2,利用余弦定理用邊表示角，然后利用基本不等式求解?！敬鸢浮?)見解析；()12【解析】()a，b，c成

6、等差數(shù)列，2bac，利用正弦定理化簡得：2sinbsinasinc，sinbsin(ac)sin(ac)，sinasinc2sinb2sin(ac)；()a，b，c成等比數(shù)列，b2ac，cosb=a2+c2-b2a2+c2-ac2ac-ac1=，2ac2ac2ac2當(dāng)且僅當(dāng)ac時等號成立，cosb的最小值為12【總結(jié)升華】對于三角形中邊角的最大值或最小值問題可以運(yùn)用正弦定理或余弦定理建立所求變量與三角形的角或邊之間的函數(shù)關(guān)系，利用正、余弦函數(shù)的有界性、二次函數(shù)或基本不等式的知識解決問題。舉一反三：【變式】在dabc中，三內(nèi)角滿足的方程(sinb-sina)x2+(sina-sinc)x+(si

7、nc-sinb)=0有兩個相等的根。（1）求證：角b不大于p3（2）當(dāng)角b取最大值時，判斷dabc的形狀【答案】（1）由韋達(dá)定理得sinc-sinb=1,即2sinb=sina+sinc，sinb-sina由正弦定理，有2b=a+ca2+c2-b2a2+c2-(a+c)3(a2+c2)-2ac6ac-2ac12由余弦定理得cosb=2ac2ac8ac8ac2=)20bp33，且a=c，易知dabc為正三角形（2）當(dāng)角b取最大值時，b=p類型二：正、余弦定理的綜合應(yīng)用例在abc中，根據(jù)下面條件決定三角形形狀.(a2-b2)sin(a+b)=(a2+b2)sin(a-b).【思路點(diǎn)撥】題目中給的是

8、角與邊的混合關(guān)系式，可用正弦定理化簡成單一的角的關(guān)系，然后判斷.【解析】(a2-b2)sin(a+b)=(a2+b2)sin(a-b),2a2sinbcosa=2b2sinacosb，由正弦定理得：sin2asinbcosa=sin2bsinacosb,dabc中，sina0,sinb0,sinacosa=sinbcosb,即sin2a=sin2b，2a=2b或2a=p-2b,即：a=b或a+b=p2，dabc是等腰三角形或直角三角形.【總結(jié)升華】（1）要判斷三角形的形狀特征，必須深入研究邊與邊的大小關(guān)系：是否兩邊相等？是否三邊相等？是否符合勾股定理？還要研究角與角的大小關(guān)系：是否兩個角相等？

9、是否三個角相等？有無直角或鈍角？（2）解題的思想方法是：從條件出發(fā)，利用正、余弦定理等進(jìn)行代換、轉(zhuǎn)化、化簡、運(yùn)算，找出邊與邊的關(guān)系或角與角的關(guān)系，從而作出正確判斷。（3）一般有兩種轉(zhuǎn)化方向：要么轉(zhuǎn)化為邊，要么轉(zhuǎn)化為角。（4）判斷三角形形狀時，用邊做、用角做均可。一般地，題目中給的是角，就用角做；題目中給的是邊，就用邊做，邊角之間的轉(zhuǎn)換可用正弦定理或余弦定理。（5）sina=sinba=b或a=p-b，不要丟解。舉一反三：【變式】已知abc中acosa=bcosb，試判斷abc的形狀.【答案】方法一：用余弦定理化角為邊的關(guān)系b2+c2-a2a2+c2-b2=b由acosa=bcosb得a，2bc

10、2ac整理得a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)，即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0，當(dāng)a2-b2=0時，dabc為等腰三角形；當(dāng)a2+b2-c2=0即a2+b2=c2時，則dabc為直角三角形；綜上：dabc為等腰三角形或直角三角形。方法二：用正弦定理化邊為角的關(guān)系由正弦定理得：ab=2rsinasinb即a=2rsina，b=2rsinbacosa=bcosb，b2rsinacosa=2rsinbcosb即sin2a=sin2ba、（0，p）2a=2b或2a+2b=p，即a=b或a+b=p2故dabc為等腰三角形或直角三角形。例4.(2016平果縣模擬)已知在銳角dab

11、c中,a,b,c為角a,b,c所對的邊,且(b-2c)cosa=a-2acos2b2(1)求角a的值;(2)若a=3,則求b+c的取值范圍.（2）3,23【答案】（1）p3(【思路點(diǎn)撥】（1）在銳角dabc中，根據(jù)條件利用正弦定理可得(sinb-2sinc)cosa=sina(-cosb)，化簡可得cosa=1，由此可得a的值。2=2，可得b+c=2(sinb+sinc)=23sin(b+)，（2）由正弦定理可得bcapsinbsincsina6202-b【解析】（1）在銳角dabc中，根據(jù)(b-2c)cosa=a-2acos2bp0b再由，求得b的范圍，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得b+c

12、的取值范圍。pp321+cosb=a-2a,22利用正弦定理可得(sinb-2sinc)cosa=sina(-cosb)，即sinbcosa+cosbsina=2sinccosa，即sin(a+b)=2sinccosa，即sinc=2sinccosa,cosa=1p,a=.23若a=3,則由正弦定理可得bb+c=2(sinb+sinc)=2sinb+sin(-b)6)。202-b,1,b+c(3,23.sin(b+)ca=2，sinbsincsina2p3=3sinb+3cosb=23sin(b+pp0bpppp2p由于，求得b,b+0,c是銳角，cosc=1855（2）cbca=,abcosc=,ab