全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試題

1、精品文檔2007 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試卷三題號(hào)一二總 成 績(jī)13141516得分評(píng) 卷 人復(fù) 核 人考生注意：1. 本試卷共三大題（16 小題），全卷滿分 150分 . 考試時(shí)間： 120 分鐘 .2. 用鋼筆、簽字筆或圓珠筆作答 .3. 解題書寫不要超出裝訂線 .4. 不能使用計(jì)算器 .一、選擇題（本題滿分36 分，每小題 6 分）得 分評(píng)卷人本題共有 6 小題，每題均給出A 、B 、 C、 D 四個(gè)結(jié)論，其中有且僅有一個(gè)是正確的 .請(qǐng)將正確答案的代表字母填在題的括號(hào)內(nèi) .每小題選對(duì)得 6分；不選、選錯(cuò)或選出的字母超過一個(gè)（不論是否寫在括號(hào)內(nèi)），一律得 0 分.1.已知函數(shù) y

2、sin 2 x ，則答： （ A ）有最小正周期2（B ）有最小正周期（ C）有最小正周期2（ D）無最小周期2.關(guān)于 x 的不等式 x2ax20a20 任意兩個(gè)解的差不超過9 ，則 a 的最大值與最小值的和是答： （A） 2（B） 1（C） 0（ D）1uuuruuuruuur7 a2 b，則一定共線的3. 已知向量 a、 b，設(shè) ABa 2b， BC5 a 6b， CD三點(diǎn)是答： （A） A、 B、 D（B） A、B、C（C） B、C、D（D） A、C、 D4.設(shè)、為平面， m 、 n 為直線，則m的一個(gè)充分條件是答： （ A ），In ， mn（B）Im ，.精品文檔（ C）， m（ D

3、） n， n， m5.若 m 、 nx xa2 102a110 a0 ，其中 ai1，2，3，4，5，6，7 ， i01，2 ，并且m n636，則實(shí)數(shù)對(duì) (m, n) 表示平面上不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為答： （ A ）60 個(gè)（ B）70 個(gè)（ C）90個(gè)（ D） 120個(gè)6.已知f ( x)x 1x2Lx 2007 x1x 2L x 2007（ xR ，）且 f (a23a2)f (a1), 則 a 的值有答： （ A ）2個(gè)（B） 3個(gè)（C） 4個(gè)（ D）無數(shù)個(gè)二、填空題（本題滿分54 分，每小題 9 分）得分評(píng)卷人本題共有 6 小題，要求直接將答案寫在橫線上.7.設(shè) Sn 為等差數(shù)列an 的前

4、n 項(xiàng)和，若 S510 ， S105 ，則公差為.8.設(shè) f ( x) log a (xb) (a 0 且 a1) 的圖象經(jīng)過點(diǎn) (2，1) ，它的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2，8) ，則 ab 等于.9.已知函數(shù) yf (x) 的圖象如圖，則滿足f ( 2x2x1) f (lg( x26x 20)0 的x22x1x 的取值范圍為.yO1x10.圓錐曲線 x2y26x2y10 x y3 0的離心率是.11.在 ABC 中，已知 tan B3223 6，則ABC 的面積為， sin C， AC3.精品文檔12. 設(shè)命題 P : a2a ，命題 Q : 對(duì)任何 xR，都有 x24ax10 .命題 P 與

5、 Q 中有且僅有一個(gè)成立，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是.三、解答題（本題滿分60 分，共 4 小題，每題各15 分）得分評(píng)卷人x y，0表示的平面區(qū)域13. 設(shè)不等式組y0x為 D .區(qū)域 D內(nèi)的動(dòng)點(diǎn) P 到直線 x y 0和直線 x y 0 的距離之積為 2 .記點(diǎn) P 的軌跡為曲線 C .過點(diǎn) F(22，0) 的直線 l 與曲線 C交于 A、 B兩點(diǎn). 若以線段AB 為直徑的圓與y 軸相切，求直線l 的斜率 .14. 如圖，斜三棱柱ABCA1 B1C1 中，面AAC1 1C 是菱形，ACC160 ，側(cè)面ABB1 A1AAC C，AB AB AC1.BB1111求證：（ 1） AA1BC1 ；AA

6、1（ 2）求點(diǎn) A1 到平面 ABC 的距離 .CC1.精品文檔15.已知數(shù)列an 中， a11， an 3an3 ， an 2an2 . 求 a2007 .精品文檔16. 已知平面上 10 個(gè)圓，任意兩個(gè)都相交 . 是否存在直線 l ，與每個(gè)圓都有公共點(diǎn)？證明你的結(jié)論 .精品文檔2007 年江蘇省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（本題滿分36 分，每小題 6 分）1已知函數(shù)ysin 2 x ，則（B） .（ A ） 有最小正周期為 2（ B） 有最小正周期為（ C） 有最小正周期為2（ D） 無最小正周期解： ysin 2x1 (1 cos2x) ，則最小正周期 T.故選（

7、B）22關(guān)于 x 的不等式 x 2ax20a20 任意兩個(gè)解的差不超過9，則 a 的最大值與最小值的和是（C） .（A） 2（B） 1（C） 0（D） 1解：方程 x2ax20a 20 的兩根是 x14a ， x25a ，則由關(guān)于 x 的不等式.精品文檔x2ax20a20 任意兩個(gè)解的差不超過9 ，得 | x1x2 | 9a |9 ，即1 a 1. 故選（ C）uuurauuuruuur7 a2 b，則一定共線3. 已知向量 a、 b，設(shè) AB2b， BC5 a 6b， CD的三點(diǎn)是（A） .（A）A、B、D（B）A、B、C（C）B、C、D（D）A、 C、Duuuruuuruuur2 a4 b

8、uuur解： BDBCCD2 AB ，所以 A、 B、D 三點(diǎn)共線 . 故選（ A ）4設(shè)、為平面， m 、 n 為直線，則 m的一個(gè)充分條件是（D） .（ A ）， In ， m n（B） Im ，（ C）， m（ D） n， n， m解：（ A ）選項(xiàng)缺少條件 m；（ B ）選項(xiàng)當(dāng)/，時(shí)， m /；（ C）選項(xiàng)當(dāng)、 兩兩垂直 （看著你現(xiàn)在所在房間的天花板上的墻角），mI時(shí)， m；（ D）選項(xiàng)同時(shí)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行本選項(xiàng)為真命題. 故選（ D）5. 若 m 、 nx xa2102a1 10 a0，其中 ai1，2，3，4，5，6，7， i01，2 ，并且mn636 ，則實(shí)數(shù)對(duì) (

9、m, n) 表示平面上不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（C）（ A ）60 個(gè)（B） 70 個(gè)（C） 90個(gè)（ D） 120個(gè)解：由 6514233及題設(shè)知，個(gè)位數(shù)字的選擇有5 種 .因?yàn)?217610，故（1） 由321知，首位數(shù)字的可能選擇有2510種；（2） 由37610及 5 4123 知，首位數(shù)字的可能選擇有248 種 .于是，符合題設(shè)的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為5(108)90 種.故選（ C）6已知f ( x)x1x2Lx2007x1x2Lx2007（ xR ，）且 f ( a23a 2)f (a1), 則 a 的值有（D）.（A）2 個(gè)（B）3 個(gè)（C）4 個(gè)（ D）無數(shù)個(gè)解：由題設(shè)知f ( x) 為偶函數(shù)

10、，則考慮在1x1 時(shí)，恒有f ( x)2(123L2007)20082007 所以當(dāng)1a23a21，且1a11時(shí)，恒有 f ( a23a2)f (a1) .精品文檔由于不等式1a23a21的解集為35a35，不等式221a 1 1的解集為0a2因此當(dāng)35a2 時(shí)，恒有2f (a23a 2)f (a1) . 故選（ D）二、填空題（本題滿分54 分，每小題9 分）7設(shè) Sn 為等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和，若 S510 ， S105 ，則公差為 d1 .解：設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為 a1 ，公差為 d .5a110d，a12d，10即2解之得 d1.由題設(shè)得10a145d，2a19d，518. 設(shè)

11、f ( x) log a (xb) (a0 且 a1) 的圖象經(jīng)過點(diǎn) (2，1) ，它的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2，8)，則 ab 等于4.log a (2b)，(2b)，解：由題設(shè)知1化簡(jiǎn)得alog a (8b)，(8b)22a .a1，a2，32（舍去） .解之得；b1b24.1故 ab 等于 4.9已知函數(shù) y f (x) 的圖象如圖，則滿足 f ( 2x2x1) f (lg( x26x 20) 0 的x22x1x 的取值范圍為x 2，1) yO1x（第 9題）解： 因?yàn)?lg x26 x20lg( x3)211lg11 1，所以lgx26x200 .于是，由圖象可知，2x1 1，即x20

12、，解得x1x12x1.故 x 的取值范圍為x21)， .精品文檔10圓錐曲線x 2y 26x2 y10| xy3 | 0 的離心率是2解：原式變形為(x3)2( y1) 2| xy 3 | ，即(x3)2( y1)22| xy3 | 所以動(dòng)點(diǎn) ( x, y) 到定點(diǎn) (31)， 的距離與它到直線xy3 0的距離2之比為2 故此動(dòng)點(diǎn)軌跡為雙曲線，離心率為2 11在ABC 中，已知 tan B3 ， sin C2236 ，則ABC 的面積為， AC3S ABC836 2解：在ABC 中，由 tan B3得B 60由正弦定理得ABAC sin C8 sin B因?yàn)?arcsin 2260 ，所以角

13、C 可取銳角或鈍角，從而cosC133sin Asin( BC )sin B cosC23cos Bsin C故36S ABCAC AB83622sin A12. 設(shè)命題 P : a2a ，命題 Q : 對(duì)任何 x R，都有 x24ax10 .命題 P與Q中有且僅有一個(gè)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是10或1a1 .a22解：由 a 2a 得 0a1由 x 24ax10 對(duì)于任何 xR 成立，得16a 240 ，即1a1因?yàn)槊} P 、 Q 有且僅有一個(gè)成立，故實(shí)數(shù)22a 的取值范圍是11a1a0 或22三、解答題（本題滿分60 分，每小題15 分）xy，13. 設(shè)不等式組0xy表示的平面區(qū)域?yàn)?D

14、 . 區(qū)域 D 內(nèi)的動(dòng)點(diǎn) P 到直線 x y 00和直線 x y0 的距離之積為2 . 記點(diǎn) P 的軌跡為曲線 C . 過點(diǎn) F(2 2，0) 的直線l 與曲線 C 交于 A 、 B 兩點(diǎn) .若以線段 AB 為直徑的圓與 y 軸相切，求直線 l 的斜率 .精品文檔解：由題意可知，平面區(qū)域D 如圖陰影所示x yx yy設(shè)動(dòng)點(diǎn)為 P( x, y) ，則2 ，即22x2y24由P D知x y 0 ，x y0，即 x2y2 0所以 y2 x2 4(y 0)，即曲線 C 的方程為Oxy2x24 4 1(y 0) 5 分設(shè) A(x1, y1 ) ， B( x2 , y2 ) ，則以線段 AB 為直徑的圓的

15、圓心為x1x2 y1y2) .Q(，22因?yàn)橐跃€段 AB 為直徑的圓 L 與 y 軸相切，所以半徑 r1 ABx1x2 ，即22ABx1x2 10 分因?yàn)橹本€ AB 過點(diǎn) F(2 2， 0)，當(dāng) AB x 軸時(shí)，不合題意所以設(shè)直線 AB 的方程為 y k(x 2 2) y2x2代入雙曲線方程4 4 1(y 0)得，k2(x 22)2 x2 4，即 (k2 1)x2 42k2x (8k2 4) 0因?yàn)橹本€與雙曲線交于A，B 兩點(diǎn)，所以 k 142k28k24所以 x1 x2 k2 1 ， x1 x2 k21 所以 |AB| (x1 x2)2 (y1 y2)2 (1 k2)( x1 x2)2 4x

16、1x2222 42(1 k2)422k 48k4 2 2k|，2 | x1 x2| |k 1k 1k 1化簡(jiǎn)得： k4 2k2 1 0，解得 k22 1（ k221 不合題意，舍去） 由 ( 42k2)2 4(k2 1) (8k2 4) 3k2 1 0，又由于 y 0，所以 1k33所以 k2115 分解：由題意可知，平面區(qū)域D 如圖陰影所示設(shè)動(dòng)點(diǎn) P(x， y)，則 |xy| |x y|2，22y即|x2 y2 |4由 PD 知：xy 0， x y0 ，即 x2 y20.Ox精品文檔所以 y2 x2 4(y 0)即曲線 C 的方程為 y2 x2 1(y 0) 5 分4 4 設(shè) A(x1， y

17、1)，B(x2， y2)，則以線段 AB 為直徑的圓的圓心為Q(x1 x2， y1 y2)22因?yàn)橐跃€段 AB 為直徑的圓與 y 軸相切，1x x半徑 r |AB | |122|2即| AB| | x1 x2|10 分因?yàn)橹本€ AB 過點(diǎn) F(22， 0)，當(dāng) AB x 軸時(shí)，不合題意所以設(shè)直線 AB 的方程為 y k(x 2 2) y2x2代入雙曲線方程 4 4 1(y 0)得，k2(x 22)2 x2 4，即 (k2 1)x2 42k2x (8k2 4) 0因?yàn)橹本€與雙曲線交于A，B 兩點(diǎn)，所以 k 142k28k24所以 x1 x2 k2 1 ， x1 x2 k21 所以 |AB|(x1

18、 x2)2 (y1 y2)2 (1 k2)( x1 x2)2 4x1x2(1 k2)42228k2 42|，2k 421 | x1 x2| | 4 2 2kk 1k k 1化簡(jiǎn)得： k4 2k2 1 0，解得 k22 1（ k221 不合題意，舍去） 由 (42k2)2 4(k2 1) (8k2 4) 3k2 1 0，又由于 y 0，所以 1k33所以 k2115 分14.如圖，斜三棱柱ABCA1 B1C1 中，面 AAC11C 是菱形，ACC1 60 ，側(cè)面ABB1 A1AAC11C ， A1BAB AC 1.BB1求證：（ 1） AA1BC1 ；A1A（ 2）求點(diǎn) A1 到平面 ABC 的

19、距離 .證：（1）設(shè) AA1中點(diǎn)為 D ，連 C 、 D .CC1因?yàn)?A1BAB ，所以 BDAA1 因?yàn)槊妫ǖ?14 題）ABB1 A1AA1C1C ，所以 BD面 AA1C1C .精品文檔ACC 1AC1C1 A1C1D AA1 .BC1AA1621BDC1D BC1CC1 CC1C1DBA1ABCh1 hS ABCVB CACVB CDC .311AV1CC SC DBC CDB3111S C1DBhBECS ABCC1D BD2S C1DBC1DBDBD 23 .4ABCAEBC 2BC12CC122BD 2131522AE11534282S ABC5315284.h315A1ABC1