數(shù)形結(jié)合的思想.docx

1、1. 數(shù)形結(jié)合思想的概念。 數(shù)形結(jié)合思想就是通過(guò)數(shù)和形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系和相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決問(wèn)題的思想方法。 數(shù)學(xué)是研 究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)， 數(shù)和形之間是既對(duì)立又統(tǒng)一的關(guān)系， 在一定的條 件下可以相互轉(zhuǎn)化。這里的數(shù)是指數(shù)、代數(shù)式、方程、函數(shù)、數(shù)量關(guān)系式等，這里的形是指 幾何圖形和函數(shù)圖象。 在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上， 直角坐標(biāo)系的出現(xiàn)給幾何的研究帶來(lái)了新的工具， 直角坐標(biāo)系與幾何圖形相結(jié)合， 也就是把幾何圖形放在坐標(biāo)平面上， 使得幾何圖形上的每個(gè) 點(diǎn)都可以用直角坐標(biāo)系里的坐標(biāo) (有序?qū)崝?shù)對(duì) )來(lái)表示，這樣可以用代數(shù)的量化的運(yùn)算的方法 來(lái)研究圖形的性質(zhì)， 堪稱(chēng)數(shù)形結(jié)合的完美體現(xiàn)。 數(shù)形結(jié)合思想

2、的核心應(yīng)是代數(shù)與幾何的對(duì)立 統(tǒng)一和完美結(jié)合， 就是要善于把握什么時(shí)候運(yùn)用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題是最佳的、 什么時(shí)候 運(yùn)用幾何方法解決代數(shù)問(wèn)題是最佳的。如解決不等式和函數(shù)問(wèn)題有時(shí)用圖象解決非常簡(jiǎn)捷， 幾何證明問(wèn)題在初中是難點(diǎn)，到高中運(yùn)用解析幾何的代數(shù)方法有時(shí)就比較簡(jiǎn)便。2. 數(shù)形結(jié)合思想的重要意義。 數(shù)形結(jié)合思想可以使抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、 使繁難的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)捷化， 使得原本需要通過(guò) 抽象思維解決的問(wèn)題， 有時(shí)借助形象思維就能夠解決， 有利于抽象思維和形象思維的協(xié)調(diào)發(fā) 展和優(yōu)化解決問(wèn)題的方法。數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)： “數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微。 ”這 句話(huà)深刻地揭示了數(shù)形之間的辯證關(guān)系以及數(shù)形

3、結(jié)合的重要性。 眾所周知， 小學(xué)生的邏輯思 維能力還比較弱， 在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)必須面對(duì)數(shù)學(xué)的抽象性這一現(xiàn)實(shí)問(wèn)題； 教材的編排和課堂教 學(xué)都在千方百計(jì)地使抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成學(xué)生易于理解的方式呈現(xiàn)， 借助數(shù)形結(jié)合思想中 的圖形直觀手段， 可以提供非常好的教學(xué)方法和解決方案。 如從數(shù)的認(rèn)識(shí)、 計(jì)算到比較復(fù)雜 的實(shí)際問(wèn)題， 經(jīng)常要借助圖形來(lái)理解和分析， 也就是說(shuō)，在小學(xué)數(shù)學(xué)中， 數(shù)離不開(kāi)形。 另外， 幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)，很多時(shí)候只憑直接觀察看不出什么規(guī)律和特點(diǎn)，這時(shí)就需要用數(shù)來(lái)表示， 如一個(gè)角是不是直角、兩條邊是否相等、 周長(zhǎng)和面積是多少等。換句話(huà)說(shuō)， 就是形也離不開(kāi) 數(shù)。因此，數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的意

4、義尤為重大。3. 數(shù)形結(jié)合思想的具體應(yīng)用。 數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用大致可分為兩種情形： 一是借助于數(shù)的精確性、 程序性和可操 作性來(lái)闡明形的某些屬性， 可稱(chēng)之為 “以數(shù)解形 ”；二是借助形的幾何直觀性來(lái)闡明某些概念 及數(shù)之間的關(guān)系，可稱(chēng)之為 “以形助數(shù) ”。數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下 幾個(gè)方面： (1)實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系； (2) 函數(shù)與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系； (3) 曲線(xiàn)與方程的 對(duì)應(yīng)關(guān)系； (4)與幾何有關(guān)的知識(shí)，如三角函數(shù)、向量等；(5)概率統(tǒng)計(jì)的圖形表示； (6) 在數(shù)軸上表示不等式的解集； (7)數(shù)量關(guān)系式具有一定的幾何意義，如s=100t。數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)

5、學(xué)的四大領(lǐng)域知識(shí)的學(xué)習(xí)中都有非常普遍和廣泛的應(yīng)用， 主要體現(xiàn)在 以下幾個(gè)方面：一是利用 “形 ”作為各種直觀工具幫助學(xué)生理解和掌握知識(shí)、解決問(wèn)題，如從 低年級(jí)借助直線(xiàn)認(rèn)識(shí)數(shù)的順序， 到高年級(jí)的畫(huà)線(xiàn)段圖幫助學(xué)生理解實(shí)際問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系。 二 是數(shù)軸及平面直角坐標(biāo)系在小學(xué)的滲透， 如數(shù)軸、 位置、 正反比例關(guān)系圖象等，使學(xué)生體會(huì) 代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系。這方面的應(yīng)用雖然比較淺顯，但這正是數(shù)形結(jié)合思想的重點(diǎn)所在， 是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)。 三是統(tǒng)計(jì)圖本身和幾何概念模型都是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)， 統(tǒng)計(jì)圖 表把抽象的枯燥的數(shù)據(jù)直觀地表示出來(lái)，便于分析和決策。四是用代數(shù)(算術(shù) )方法解決幾何問(wèn)題。如角度、周長(zhǎng)、面

6、積和體積等的計(jì)算，通過(guò)計(jì)算三角形內(nèi)角的度數(shù)，可以知道它是什 么樣的三角形等等。4. 數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)。 數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)，應(yīng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題。 第一，如何正確理解數(shù)形結(jié)合思想。 數(shù)形結(jié)合中的形是數(shù)學(xué)意義上的形， 是幾何圖形和圖象。 有些老師往往容易把利用各種圖形作為直觀手段幫助學(xué)生理解知識(shí)，與數(shù)形結(jié)合思想中的 “以形助數(shù)”混淆起來(lái)，彼“形”非此“形” ，小學(xué)數(shù)學(xué)中的實(shí)物和圖片作為理解抽象知識(shí)的直觀手段，很多時(shí)候是生活意義上的形，并不都是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，如6+1=7，可以通過(guò)擺各種實(shí)物和幾何圖片幫助學(xué)生理解加法的算理， 這里的幾何圖片并不是數(shù)形結(jié)合中的 形，因?yàn)檫@里并不關(guān)心幾何圖片的形狀

7、和大小， 用什么形狀和大小的圖片都行， 并沒(méi)有賦予 圖片本身形狀和大小的量化的特征， 甚至不用圖片用小棒等材料也能起到相同的作用， 因而 它更是生活中的形。 如果結(jié)合數(shù)軸 (低年級(jí)往往用類(lèi)似于數(shù)軸的尺子或直線(xiàn)) 來(lái)認(rèn)識(shí)數(shù)的順 序和加法， 那么就把數(shù)和形(數(shù)軸) 建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系， 便于比較數(shù)的大小和進(jìn)行加減 法計(jì)算， 這是真正的數(shù)形結(jié)合。 由于在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)， 通過(guò)畫(huà)線(xiàn)段圖幫助學(xué)生分析數(shù)量關(guān) 系是老師和學(xué)生都非常熟悉的內(nèi)容，因此在案例中不再出現(xiàn)這方面素材。案例 1:+ =分析： 此題很難用小學(xué)算術(shù)的知識(shí)直接計(jì)算， 因?yàn)樗袩o(wú)窮多個(gè)數(shù)相加， 如果是有限個(gè)數(shù)相 加，用等式的性質(zhì)進(jìn)行恒等變換可

8、以計(jì)算。從題中數(shù)的特點(diǎn)來(lái)看，每一項(xiàng)的分子都是1，每一項(xiàng)的分母都是它前一項(xiàng)分母的 2 倍，或者說(shuō)第幾項(xiàng)的分母就是 2 的幾次方， 第 n 項(xiàng)就是 2 的 n 次方。 聯(lián)想到分?jǐn)?shù)的計(jì)算可用幾何直觀圖表示，那么現(xiàn)在可構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)度或者面積是 1 的線(xiàn)段或者正方形， 不妨構(gòu)造一個(gè)面積是 1 的正方形， 如下圖所示。 先取它的一半作為二分 之一，再取余下一半的一半作為四分之一，如此取下去當(dāng)取的次數(shù)非常 大時(shí)，余下部分的面積已經(jīng)非常小了，用極限的思想來(lái) 看，當(dāng)取的次數(shù)趨向于無(wú)窮大時(shí)，余下部分的面積趨向 于 0，因而，最后取的面積就是1。也就是說(shuō)，上面算式的得數(shù)是 1。第二， 適當(dāng)拓展數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。 數(shù)

9、形結(jié)合思想中的以數(shù)解形在中學(xué)應(yīng)用的較多， 小學(xué) 數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的就是計(jì)算圖形的周長(zhǎng)、 面積和體積等內(nèi)容。 除此之外，還可以創(chuàng)新求變， 在小 學(xué)幾何的范圍內(nèi)深入挖掘素材， 在學(xué)生已有知識(shí)的基礎(chǔ)上適當(dāng)拓展， 豐富小學(xué)數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié) 合思想。案例 2：用兩個(gè)一樣的直角三角形和一個(gè)等腰直角三角形(腰等于前兩個(gè)直角三角形的斜邊)可以拼一個(gè)直角梯形，如下圖。如果直角三角形的邊長(zhǎng)分別是3、4、c, 5、12、c,根據(jù)梯形的面積等于 3個(gè)三角形的面積之和， 比較每個(gè)直角三角形的兩條直角邊的平方的和， 與斜 邊的平方之間的大小關(guān)系，你能發(fā)現(xiàn)什么？如果直角三角形的邊長(zhǎng)分別是a、b、c時(shí)，你又能發(fā)現(xiàn)什么？分析：當(dāng)直角三角

10、形的邊長(zhǎng)分別是3、4、c時(shí)，梯形的面積是：(3+4) X (3+4)+ 2=24.5, 3個(gè)三角形 的面積和是：3X 4 + 2X 2+c2 + 2=24.5，可得 c2=25, 即 c2= 32+42。當(dāng)直角三角形的邊長(zhǎng)分別是 5、12、c時(shí)， 梯形的面積是： (5+12)X (5+12)+ 2=144.5,3 個(gè)三角形的面積和是： 5X 12+ 2X2+ c2+ 2=144.5, 可得 c2=169,即 c2 = 52+122。當(dāng)直角三角形的邊長(zhǎng)分別是a、b、c時(shí)，也就是說(shuō)直角三角形的三條邊長(zhǎng)可以取任意不同的值的時(shí)候,仍然有梯形的面積等于 3個(gè)三角形的面積之和。梯形的面積是： (a+b)X

11、 (a+b)+ 2, 3個(gè)三角形的面積和是： aXb+2X2+c2+2=(2ab+c2)+2。(a+b)X (a+b)+ 2 =a(a+b)+b(a+b)+ 2 =(a2+b2+2ab)+ 2所以有(a2+b2+2ab)-2 =(2ab+c2)+ 2,可得 a2+b2 =c2。根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果， 由此得出一個(gè)重大發(fā)現(xiàn)： 直角三角形兩條直角邊的平方的和等于斜邊的 平方。實(shí)際上這是美國(guó)第 20 任總統(tǒng)茄菲爾德發(fā)現(xiàn)的證明勾股定理的方法。這里有一個(gè)難點(diǎn)就是(a+b)x (a+b)的計(jì)算，這是中學(xué)的多項(xiàng)式乘法。在小學(xué)學(xué)習(xí)乘法分配律 時(shí)已經(jīng)會(huì)計(jì)算 a(b+c)=ac+bc,那么計(jì)算(a+b) x (a+b

12、)可以先把左邊的(a+b)看作一個(gè)數(shù)，分別與 右邊括號(hào)中的 a 和 b 相乘,再進(jìn)行計(jì)算。(a+b) x (a+b)= (a+b)a+(a+b)b=a2+ba+ab+b2= a2+b2+2ab案例 3：把兩個(gè)形狀和大小相同的 長(zhǎng)方體月餅盒包裝成一包,怎樣包裝最 省包裝紙？分析：此題是小學(xué)數(shù)學(xué)比較典型的通過(guò)探索活動(dòng)發(fā)現(xiàn)規(guī)律的題目,一般情況下教師會(huì)給學(xué)生足夠的學(xué)具進(jìn)行操作, 拼出幾種包裝方法, 再通過(guò)計(jì)算比較表面積的大小找到最佳答案。 現(xiàn) 在我們從代數(shù)思想出發(fā), 不用任何操作和具體數(shù)量的計(jì)算, 一般性地, 假設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、 寬、 高分別為a、b、c,并且abc(只要給出三個(gè)數(shù)的大小順序便可，誰(shuí)大誰(shuí)小并不影響用代數(shù) 方法計(jì)算的過(guò)程和結(jié)論 )。首先要明確的是, 問(wèn)題所求怎樣包裝最省包裝紙, 實(shí)際上就是求怎樣拼才能使拼成的大長(zhǎng)方 體的表面積最小。 每個(gè)長(zhǎng)方體有 6 個(gè)面, 兩個(gè)長(zhǎng)方體拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體后仍然有 6 個(gè)面, 但 這 6 個(gè)面的面積是原來(lái)長(zhǎng)方體的 10個(gè)面的面積,其中有兩個(gè)面是原來(lái)長(zhǎng)方體的面,另 4 個(gè) 面分別是原來(lái)的相同的兩個(gè)面拼成的； 也就是說(shuō), 大長(zhǎng)方體的表面積已經(jīng)不是原來(lái)兩個(gè)長(zhǎng)