力學(xué)量的算術(shù)平均值File

1、求：勢能為沖，波函數(shù)為=Cgx)(其中屮n(X)為能量本征函 數(shù))的粒子的能量取值情況(即能量值大小和相應(yīng)的幾率，能量平均 值)。已知勢能為2，2/的粒子能量本征函數(shù)和相應(yīng)的能量本征值如下:2En二(n 1)h , n 二 0,1,2,3，2:-2x2n(X)=2HnC x)eah:2C2x2 ；(x)dx 十 C -+02nn2首先要將波函數(shù)門二C X n (X)歸一化，求歸一化系數(shù)C。-oOX2：(X)dX n(X)X2 n(x)dx-oO-oOX n(X)= 土 后心&) +卄&)X知 n(x)二右丁n(n-iy n2(x) + (2n 十 1) n(x) + J(n十 1)(n十 2n

2、七(x) J(X)=話麗 nv(X)-卄(X)(XJn(n-1y n/x)-(2n +1) n(x)十 J(n；1)(2 2y n七(劉2 -蒼J屮n(X)X2 屮 n(X)dX=(屮 n(X)X2 屮 n(X)dX-oOx2屮n(x)=2Jn(n1艸n上(X) +(2n +1艸n(x) + J(n +1)(n + 2)屮p(x) Ir：1:2： 2 -：J屮n(x)x2 屮 n(x)dx = L J屮 n(x)7nn,(x)+(2 門+1幾(刈+抑 +1)( n+2艸 n*(x)jdx-CO1 :十 n(n-1)n(x n j(x)dx (2 n 1) -n(x) ： n(x)dx .(n

3、1)(n 2) - n(x)- n .2(x)dx2 二1(2n 1)-co2 2C2 二-2n 1：(x)G(x)乂； n(x)x n(x)dx5 Xn(x)；2/n a(XV n+仲 n*(X)= 喬= (X) J ；n1(X)(X)X(X)Y2n +1屮n(X)屮n卅(x)處在能量本征態(tài)的幾率幅y/nJn + 1j2n+1j2n+1處在能量本征態(tài)的幾率nn +1nn +1+ =12n + 1 2n+12n +12n+1能量本征態(tài)的能量丄1En=(n-1中尹技1En出=(門匕右爪國能量算術(shù)平均值n廠丄 n +1 廠n,1、丄 n + 1 ,丄 3、E=En +.EnHt=cn n + Jh

4、 優(yōu)2n+12n+12n+122n+12E n (2 n-1) + ( n+1)(2 n+3)2(2 n +1)力學(xué)量算術(shù)平均值問題1. 力學(xué)量：坐標(biāo)X, ?,?坐標(biāo)的平方,z?, 一維諧振子勢能U?(x)=*丄/?,d2 d一維諧振子動能T?，動量？，x二-一dx2dx2. 狀態(tài)：a) 力學(xué)量的本征態(tài)一一目前我們只學(xué)過能量的本征態(tài)：fJ冷f 2 2n x- x I- n(x)Sin (-), n =1,2,3,- n(x)n HnCx)va aJ V2 n!/T匸 Jb) 不是力學(xué)量的本征態(tài)3. 結(jié)論：a) 在力學(xué)量的本征態(tài)中(屮n(x),力學(xué)量取固定的唯一的本征值(En丨,En = (n)

5、：)；幾率為1 ,平均值就是本征值 En ；2a22b) 對于不是力學(xué)量的本征態(tài)的狀態(tài)(x)，需要將這個狀態(tài)用力學(xué)量的本征qQ態(tài)展開-：(X)二、c/- n (x)，來求得力學(xué)量的取值I En ?和相應(yīng)的幾率幅n =0q ，根據(jù)平均值的幾率定義求該力學(xué)量的平均值色= |Cn2 Enn=0C)通過力學(xué)量算符來計算力學(xué)量的平均值a_空-例1求在W .&)=占芥出(5)丁狀態(tài)下，坐標(biāo)乂的平均值?：2x例2求在屮n(x) = J Hn0X)Q一狀態(tài)下，坐標(biāo)平方 ?的平均值x,2n n! 二例3求在n(X)n -HnGx)e 2狀態(tài)下，一維諧振子勢能2nn!、二l?(x) J丄2?2的平均值i?(x)二

6、1丄2?。2 2例4求在n (x) n HnG x) 2狀態(tài)下，一維諧振子動能T?= 一礦的V2n n!匕2卩平均值T?Examplel2?= JXpn(X)|dX=(屮 n(X)測 n(X)dX-oO-oObo? = xfn(X)-oOExample 22 1 :dx 二n(x) n- n(x)、- n 1 n 1(x) dx =0-:吃2 :be-bex =(x2n(x)fdx=(屮 n(X)Xn(X)dX_oQ_oQx n(xH21 .i) nJ(x) (2n 1)- n(x) (n 1)(n 2)- n .2(x)box2 =-n(X)xSn(X)dX_oQ1壽 W(x)Jn(n 1)

7、屮n(x) + (2n +1艸n(x) +J(n +1)(n+ 2)屮(xjdx-be-be-beI 折D PUx艸 n/x)dx+(2 n+1)界 n(x”n(x)dx+/n +1)( n+2)(屮 n(x” 涉(x)dx2 21 (2n 專hQ： 2 二-oO2n 1-oO-oO_ 2 2Example3U(x)=嚴(yán) .22n 1h(n +22 丄2Example 4 1 1 En心x)寸匸滬-bo_ -beT?= fVn(x)Tn(x)dX=嚴(yán)-oO-QCip2 = h2 d(x)-dx2 h2 d2? = -i ddxd2 2Pdx2 ,*n(x)dx=化(x)hn(x)dx2J .：

8、2i?n,x)-(2n 1)n(x) (n 1)(n 2 n 2(x)花僉 A(X)詁 n(x)dx-CO2 2 ：； _ 寧化(x)Jn(n -1)屮x)-(2 n+1(x)+J(n +1)( n+2)巴七(x) dx 2 2h21 / J 1 l不亦 J(2n 1尸 2(n 1)h2En2力學(xué)量算符1.量子力學(xué)基本假設(shè)I描寫物理系統(tǒng)的態(tài)函數(shù)的總體，構(gòu)成一個希爾伯特空間。系統(tǒng)的每一個動力學(xué) 變量，由對這些態(tài)函數(shù) 施加作用的一個厄米算符描寫。a）態(tài)函數(shù)：不是一般的態(tài)函數(shù)，一定是兩兩正交，自歸一的算符本征函數(shù)b）厄米算符：力學(xué)量要用一個算符表示，不能用一個實數(shù)，也不能用一個 函數(shù)表述。c）厄米算

9、符定義：如果對于兩個任意波函數(shù)*和，算符F?滿足下列等式:F- dy = （F- y dv，則稱F?為厄米算符。d）厄米算符性質(zhì)：厄米算符的本征值是實數(shù)。e）“施加作用”：i. 若匸n是F?的本征函數(shù)，則施加作用后得到一個本征值。ii. 若:不是F?的本征函數(shù)，則施加作用后得到多個本征值。iii. 量子力學(xué)基本假設(shè)U2. 量子力學(xué)基本假設(shè)U當(dāng)系統(tǒng)處于狀態(tài)時，對與算符F?對應(yīng)的動力學(xué)變量進行足夠多次的測量，得 到的測量結(jié)果的算術(shù)平均值F?為：- 嚴(yán)怦d3rF?3:ir d3r若已經(jīng)歸一化，則有：F?=F? d3rF?二.Wrif ： = -n and F? n J n F?二nF?？：d3r 沖

10、=Gn d3rn 二 d3rnnd3rn烈嚴(yán)刖d3rif 9=送 Cn屮 na ndFn =打屮 nT 百=送 |Cn|nnn嚴(yán)凱 d3r =Cm屮 m)Ft C屮 nd3r = (2 6屮 m)臨 G n d Imnmn=KZ 5屮m)吃G卅n dl =遲遲人嚴(yán)m(xù)屮n dl =遲遲入為mnm nm n.2=S Cn| 打n(X) j0n(X)Y2n 十1屮n(X)%(x)處在能量本征態(tài)的幾率幅VnJ2n+1j2n+1處在能量本征態(tài)的幾率n2n +1n +12n+1nn十1+ =12n + 1 2n+1能量本征態(tài)的能量1En=(門十尹1En* =( n+1+；)h2能量算術(shù)平均值n廠丄 n +1nz1, n + 1丄 3丄E=En+En*=(n Jh 國+7( n+ )h 灼2n+12n+12n+122n+12E n(2 n-1) + ( n+1)(2