圓錐曲線的距離問題(培優(yōu)版).

1、圓錐曲線中的距離問題考題剖析(一)距離的范圍問題2 2例1、已知橢圓x2y2 =1(a . b . 0)的左、右焦點(diǎn)分別是a b2 2例2、設(shè)橢圓C :務(wù)與=1 (a b 0)的離心率a be二，右焦點(diǎn)到直線2y = i的距離,a b7O為坐標(biāo)已、F2，其離心率e二丄，點(diǎn)P為橢圓上的一個(gè)動點(diǎn),2PF1F2面積的最大值為4 3 .(I )求橢圓的方程；(II )若A、B、C、D是橢圓上不重合的四個(gè)點(diǎn)， AC與BD相交于點(diǎn)R ,求的取值范圍.(二) 距離的定值問題(I)求橢圓C的方程;(II )過點(diǎn)O作兩條互相垂直的射線，與橢圓 C分別交于A、B兩點(diǎn)，證明點(diǎn) O到直線AB的距離為定值，并求 弦AB

2、長度的最小值.例1、解:此時(shí)(I)由題意得，當(dāng)點(diǎn)P是橢圓的上、下頂點(diǎn)時(shí)，PF1F2的面積取最大值1 _S PF1F2 =2 F1F2LOP 二 be, be =4、31,b 二 2 “：;3, a 二 43分2所以橢圓方程為22x y1 4分16 12F1的坐標(biāo)為(-2,0)(II )由(I )，得，則因?yàn)锳ClBd 當(dāng)直線AC與BD中有一條直線斜率不存在時(shí)，易得=0,所以 AC _ BD=6 8 =14 當(dāng)直線AC斜率k存在且k0時(shí)，其方程為y = k(x+2)，設(shè)A(x1,y1), C(x2,y2)y =k(x 2) 匚匚1的解，116 12(3 4k2)x2 16k2x 16k2 -48

3、 =0-16k216k2 -483 4k23 4k2224(k 1)23 4k1則點(diǎn)A、C的坐標(biāo)是方程組AC卜山 +k2 |捲-x2 =此時(shí)直線BD的方程為y (X * 2)ky = -1(x 2)2同理由2k2可得Id =24I Xl 工日4+3kI 16 12AC京嚴(yán)2八如 168(k2 1)24+3k23+4k2(4+3k2 )(3+4k2)168 億D 12 16812 口12 t2Vt 1,0 22t綜上,10分AC #BD =1496牙,14)11分Ac - Bd的取值范圍是96,1412分eba2 _c23e.1例2、(I )由題意得e =a由題意得橢圓的右焦點(diǎn)(e,0)至煩線仝

4、 =1即bx ay - ab = 0的距離為a b|bc-ab|娛2-2底2| 歷/21. e 1de，e _ |7a2 +b2J4c2 +3c27722二a =2 , b 橢圓C的方程為 -L =1 .4分43(II ) (i)當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，直線 AB方程為x = 2 21 ,7此時(shí)原點(diǎn)與直線 AB的距離d = 2、217(ii) 當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線 AB的方程為y =kx m A(x1, yJ,B(x2, y2),y = kx m直線AB的方程與橢圓I yC的方程聯(lián)立得x2y2,+ =1.43消去得(3 - 4k2 )x228kmx 4m -12 = 0，8km為 x2

5、 _飛4k24 m2 -12 ，XM _ 3 4k2212(k21)?7；0A _0B ,x1 x2 y1y2 = 02 2由 y1y2=k(x1x?)2m,y1 y2= kx1x2km(x!x2)m ,2299二(k +1)為x2+冷)+m =0整理得 7m2 =12(k2 +1)，二 m故O到直線AB的距離md 二k2 - 1綜上：O到直線AB的距離定值 乙217；OA OB , AB2二 d AB 一 AB-；(k2 1).k2 - 12、217=OA2 OB2 _ 2OA OB，當(dāng)且僅當(dāng) OA 二 OB 時(shí)取“=號.又由等面積法知dAB =0A OB ,有AB _ 2d = 1即弦AB

6、的長度的最小值是 一277.12 分(三) 距離比問題2 2例3、已知橢圓Ci: X2-1(a b 0)的兩個(gè)焦點(diǎn)Fi,F2,動點(diǎn)P在橢圓上，且使得.FiPF2=90的點(diǎn)P恰a b有兩個(gè)，動點(diǎn) P到焦點(diǎn)F1的距離的最大值為 22。(I)求橢圓Ci的方程；(II )如圖，以橢圓 C1的長軸為直徑作圓C2，過直線x=2、. 2上的動點(diǎn)T作圓C2的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為A,B，若直線AB與橢圓C1交于不同的兩點(diǎn)C,D,求而的取值范圍。(四) 距離的最值問題 例4、已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn) A( 0，2),且在x軸上截得的弦 MN的長為4.(1) 求動圓圓心的軌跡 C的方程；(2) 過點(diǎn)A ( 0, 2)作一條

7、直線與曲線 C交于E, F兩點(diǎn)，過E, F分別作曲線C的切線，兩切線交于 P點(diǎn), 當(dāng)丨PE| PF|最小時(shí)，求直線 EF的方程.2 2可得ac=2、2，即a=2,c = .2，所以橢圓C1的方程是 =142（II ）圓C2的方程為x2 y2 =4，設(shè)直線x - -2,2上動點(diǎn)T的坐標(biāo)為（-2.2,t）設(shè)A（x1, y1），B（x2, y2），-2、2捲 ty1 =4-2 2x2 ty2 = 4則直線AT的方程為- %y =4，直線BT的方程為X2X y24，又T（_2-、2,t）在直線AT和BT上，即AB =2&2 -d2 =4故直線AB的方程為-2. 2x ty =44由原點(diǎn)0到直線AB的距

8、離d二得,j8+t2-2 2x ty = 4聯(lián)立x2 y2，消去 x 得(t2 16)y2-8yt-16 = 0，設(shè) C(x31y3), D(x4,y4)。142則 y3y48tt216-16t2 164(t2 8)(t2 16)所以、.t24(t2 16),t2 8(t28)設(shè) t28 二 m(m _ 8)，ABCDm3 12m2 -256m312256又設(shè)丄二 y（0 ： y 1），m8所以CB1 12y -256y3，設(shè)f(y)=1 12y-256y3，y所以 f (y) =1 12y -256y2在I所以由 f (y) =12 -768y -0得:例4、20, 設(shè)圓心為C(x,y)f線

9、段MN的中點(diǎn)為E，則|ME|=上畀* t分犠題童得|CAF|UM|* = |MEF + |ECir3分二 ItI + (y-2),2,+y*f:*護(hù)4y為動圖圓心的執(zhí)連方程.5分 不舫設(shè) E(x1),FxtTjKx10,嬉一 2竝一2由A-E-F三點(diǎn)共線得 一二 一，二xi8.6分AJ*1由 xI 4y 得 y=-j-xJt :* yf=t-xr:.PE方程為廠尋爭(誰一勒),即y=弄一*卅同理PF的方程為.解得F點(diǎn)的坐標(biāo)為駕四，警卡肛翌尹一2),則 |PEj=Jl+ |孟+血|PF|= JIT孚 若_曲 _險(xiǎn)一軌)*舛曰選分沖分10分I PE| * | pf|曲_輸尸* 16十11盤十卅)+

10、齧* X16_ (謚 4耳孑十 16* jE6+4(icf+ ;(；)+64 16(x + xj 4-16 -/20H (xj +x：) , 21 xi3(； I +16) b0)的短半軸長,橢圓E的右焦點(diǎn)F在圓C內(nèi)，且到直線 l:y=x-6的距離為.3-2,點(diǎn)M是直線2I與圓C的公共點(diǎn)，設(shè)直線I交橢圓E于不同的兩點(diǎn)A(xi,y i),(x 2,y 2).(I )求橢圓 E 的方程;(II )求證:|AF|-|BF|=|BM|-|AM|.(六)距離恒成立問題222 2例6、如圖，已知橢圓g ： x y.的焦點(diǎn)分別為斤丁2，雙曲線C2 ： x - y =1,設(shè)p為雙曲線上異于頂點(diǎn)8 44 4的任

11、意一點(diǎn)，直線 PFi和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為 A、B和C、D.(I)設(shè)直線PF、PF的斜率分別為&、k2，求：k, k2的值；(n )是否存在常數(shù) 使得|AB|+ pD| = MAB|CD|恒成立？若存在，求 丸的值；若不存在，請說明理由例5、解：(I )設(shè)點(diǎn)F c,0 c 0 ,則F到直線l的距離為因?yàn)镕在圓C內(nèi)，所以c : .3 ,故 c =1 ;因?yàn)閳AC的半徑等于橢圓E的短半軸長，所以b2 = 3 ,2 2橢圓方程為y 1.43(n)因?yàn)閳A心0到直線l的距離為所以直線l與圓C相切，M是切點(diǎn)，故 AOM為直角三角形，所以AM-OM2 = .x2y2- 3 ,221又乞+乞=1,可得AM

12、=-x1 ,432AF所以所以-.(xi 1)_AF + AMAF + AM 2 27 2X1丫1y1 ,又二-43=1,可得AF =2_丄治,2=2,同理可得 |BF | BM |=2,= |BF | 十| BM |,即 AF BF = BM AM .例 6、( I )設(shè) A(X1,yJ,B(X2,y2),P(Xo,yo)，則 k 兀二 yoXo - 2因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線x22-y=4上，所以2 2Xo -y =4.因此k1k2yoyoXo2Xo - 2f1,即 k1 k2 = 1.(n)由于PF的方程為y = k (x 2)，將其代入橢圓方程得(2k2 1)x2 8k；x 8好-8 =0由違

13、達(dá)定理得為+卷一希和28K2 -82好1所以 | AB|= 1 k12、(xX2)2-4x1x28k122kM)24躺+2島同理可得|CD戶4 2 k212k；2- 1 (2k1 1 | AB| |CD| 4 一 2 k；則12kf 1)k；1)又 k*2 =1_2k； +1 亠 _)| AB| |CD4.2(k121 丄k；11所以11k21二 (8匕2 1;2)=3_28故 | AB| |CD|=3-2 |AB| |CD |8因此，存在二32，使 | AB| |CD F | AB| |CD |恒成立。 8課后強(qiáng)化變式1、已知橢圓C滿足：過橢圓C的右焦點(diǎn)F(.2,0)且經(jīng)過短軸端點(diǎn)的直線的傾

14、斜角為(I)求橢圓C的方程；(H)設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn) A在直線y =2上，點(diǎn)B在橢圓C上，且OA _0B，求線段AB長度的最小值2 1變式2、設(shè)拋物線C:y =4x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Fi，焦點(diǎn)為F2；以Fi,F2為焦點(diǎn)，離心率為一的橢圓記作C22(I)求橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；(n)直線l經(jīng)過橢圓C2的右焦點(diǎn)F2,與拋物線Ci交于Al, A兩點(diǎn)，與橢圓 C交于B, B2兩點(diǎn)。當(dāng)以BB2為直徑的 圓經(jīng)過Fi時(shí)，求|AA|.的斜率k - ；)=ta n1心-盪-*4又:c =匹二 a=22 2.C的方程二11 4分42(2)設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(t,2),(Xo,y)，其中 & =0TOA _OB

15、,0 ,即就是 txo 2yo =0 ,解得t二一如.又X2 - 2yf =4X0二 AB =(x。t)2 +(y。2)2 =仏 +紐)2 +(y。2)2 =$+2+4(0 VX0 蘭4)10 分-2XoX0且當(dāng)Xo -4時(shí)等號成立，所以 AB長度的最小值為2、212分變式2、解：(I)橢圓Ca的標(biāo)準(zhǔn)方程為 -43=1(4分)3(n)當(dāng)直線l與X軸垂直時(shí)，Bi(1 ,),B 2(1 ,2-3),又 F1(-1,0),2此時(shí)BR B2F1 =0，所以以BB為直徑的圓不經(jīng)過 F1。不滿足條件.(5分)當(dāng)直線丨不與x軸垂直時(shí)，設(shè)丨：y=k(x-1)y = k(x T)由 x2 y2 即 3 4k2

16、x2-8k2x 4k2-12=043 _1因?yàn)榻裹c(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以恒有兩個(gè)交點(diǎn)。8k224k -12設(shè) B1(x 1,y 1),B2(X2,y2),貝卩x1x22, x1x223+4k23+4k2因?yàn)橐訠R為直徑的圓經(jīng)過F,所以B1F1 B2F1 0，又F1(-1 , 0)所以(-1-x 1) (-1-x 2)+y 1y2=0,即(1+k2) X1X2+(1-k 2)(x 1+X2)+1+k2=0 所以解得 k2(8 分)由 y _4x 得 k2x2-(2k 2+4)x+k2=0 .y =k(x-1)因?yàn)橹本€L與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以設(shè) A(x 3,y 3), A2(x 4,y 4)，則2k2

17、44X3=y1464所以 A|A? =X3 +& + p= 2+ - + 2 = (12 分)k9uir1uir變式3、已知A (- 5, 0), B (5, 0),動點(diǎn)P滿足丨PB丨，_ I PA I , 8成等差數(shù)列.2(1 )求P點(diǎn)的軌跡方程；uuruiruui2(2)對于X軸上的點(diǎn)M若滿足I PA I I PB I = PM，則稱點(diǎn)M為點(diǎn)P對應(yīng)的“比例點(diǎn)”。問：對任意一個(gè)確定的點(diǎn)P,它總能對應(yīng)幾個(gè)“比例點(diǎn)”？變式4、如圖，已知定點(diǎn)F(-1,0), N(1,0),以線段FN為對角線作周長是 4一2的平行四邊形 MNEF 平面上的動點(diǎn)G滿足| OG | = 2 ( O為坐標(biāo)原點(diǎn)).(1)求

18、點(diǎn)E、M所在曲線G的方程及動點(diǎn)G的軌跡C2的方程；已知過點(diǎn)F的直線I交曲線G于點(diǎn)P、Q,交軌跡C2于點(diǎn)A B,若|AB| (2.3,15),求厶N(yùn)PQ的內(nèi)切圓的半徑的取值范圍uiruirPAPB變式3、解：（1）由已知得=8,P點(diǎn)的軌跡是以A, B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且尸4,23山二5 P點(diǎn)的軌跡方程為辛- = 1（山）（標(biāo)力0不扣分，不標(biāo)扣1分） （頷殳戸（“）（嗎刊加訛）二善號丸，又円二（-于-心-片）,F*= Q-和-片），憂=9則網(wǎng)碎卜/7-疝彳+（6產(chǎn)血-審+（-必丫125=% -1616 =（曲-屆 +（必= 77-+/ -9 1 0又 PM = PM由網(wǎng)怦卜莎濾詁-2燉聞十嚴(yán)）-28 36 0,方程*）怛有兩個(gè)不等寒根對任意一個(gè)確定的點(diǎn)R它總育職扌應(yīng)2個(gè)9匕例點(diǎn)”10分12分變式4、帥.解析：（因?yàn)榫W(wǎng)宙形MNEEWR為4雄楷平打凹迪瞄所比廉E到AF.N的Rtiftft2V?fXENF； 2-由桶冒的崖文知，曲線G為14閥泅=吃注工1敗曲紅G的Af?Ay+y=L 梯知由）t右肖輸吋*將r-l猶人J*+-1潯y-73,所 UIAH|*2（2/3*715）*所以ft線不爭fl于工SL .”