2018年高考理科數學第一輪復習教案6二次函數與冪函數

1、第四節(jié)二次函數與幕函數1. 二次函數掌握二次函數的圖象與性質，會求二次函數 的最值(值域)、單調區(qū)間.2. 幕函數(1) 了解幕函數的概念.1 丄結合函數y = x, y = x2, y = x3, y= x, y = x2的圖象，了解它 們的變化情況.捌主干知識點一五種常見幕函數的圖象與性質五種常見幕函數的圖象與性質函數特征性質y= xy= x2y=x312y= x21y= x圖象護*Kh定義域RRRx|x 0X|XM 0值域Ry|y0Ry|y0y|y 0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調性增(汽 0 減，(0, +增增(r 0)和(0, +OO )增O )減公共點(1,1)1易誤提醒 形如y=X

2、a R)才是幕函數，如y= 3x不是幕函數.自測練習1. 已知幕函數f(x) = kxa的圖象過點扌，則k+ a ()13A. 2B. 1 C.2 D. 2解析：因為函數f(x) = kxa是幕函數，所以k= 1,又函數f(x)的圖象過點舟，所以2 J#解得a舟，則k+ a |.答案：C知識點二二次函數1 .二次函數解析式的三種形式(1) 一般式：f(x) = ax2 + bx+ c(az 0).(2) 頂點式：f(x) = a(x m)2+ n(a 0).(3)零點式：f(x) = a(xx 1)(x x2)(a 0).值域4ac b2 +x4a ，十4ac b2oo 、4a單調性在2ba上

3、遞減，在2a，+x上遞增在o,尋上遞增，在2a，+o上遞減奇偶性b = 0時為偶函數，bz 0時既不是奇函數也不是偶函數圖象特點對稱軸：x= 2a；金估-b 4ac b2頂點：2a，易誤提醒研究函數f(x)= ax2 + bx+ c的性質，易忽視a的取值情況而盲目認為f(x)為二次函數.必備方法1.函數y = f(x)對稱軸的判斷方法(1)對于二次函數y= f(x),如果定義域內有不同兩點xi、沁且f(xi)Xi + X?=f(x2),那么函數y= f(x)的圖象關于x=對稱.(2)二次函數y= f(x)對定義域內所有x,都有f(a + x) = f(ax)成立的充要條件是函數y=f(x)的圖

4、象關于直線x= a對稱(a為常數).2. 與二次函數有關的不等式恒成立兩個條件a0,(1)ax2 + bx+ c0,0恒成立的充要條件是 2(2) ax2 + bx+ c0,0恒成立的充要條件是自測練習2已知二次函數的圖象如圖所示, 解析式可能是()A . y= x2 + 2x+ 1B . y= x2 2x 1a0, b2 4ac0.C. y= x2 2x+ 1D . y=x2+2x+ 1解析：設二次函數的解析式為f(x)= ax2+bx+ c(az0),由題圖得: a0, b0.選 C.答案：C3. 若二次函數f(x) = ax2 4x+ c的值域為0,+),貝S a, c滿足的條件是.a0

5、,門a0,解析：由已知得4ac 16?/ 4a = 0, ac 4= 答案：a0, ac= 44. 已知f(x) = 4/ mx+ 5在2,+乂)上是增函數，則實數 m的 取值范圍是.解：因為函數f(x) = 4x2 mx+ 5的單調遞增區(qū)間為m，+* , 所以冒 2, 即卩mcbaB. abcdC. dcabD. abdc1i解析：幕函數a = 2, b=2，c=-3, d=- 1的圖象，正好和題目所給的形式相符合，在第一象限內，x= 1的右側部分的圖象，圖象由下至上，幕指數增大，所以 abcd故選B.答案：B1 13. (2015安慶三模)若(a+ 1) 3(3 2a) 3,則實數a的取值

6、范圍是.1 1解析：不等式(a+1) 33 2a0 或 3 2aa + 10 或 a+ 103 2a.2 3解得a 1或3a0,若在(0,+ |s)上單調遞減，則a0)，將1 1點 D(1,1)代入得，a = 4,即 y= 4(x 3)2,故選 D.答案D(2)函數f(x) = 4x2 mx+ 5在區(qū)間2,+)上是增函數，則f(1)的取值范圍是()A . f(1) 25B. f(1) = 25C . f(1)25解析函數f(x) = 4x2 mx+ 5的增區(qū)間為m，+ ,由已知可得8W 2? mW16，所以 f(1) = 4X 12 mX 1+ 5= 9 m25.答案A解決二次函數圖象與性質問

7、題時兩個注意點(1)拋物線的開口、對稱軸位置、定義區(qū)間三者相互制約常見的II題型中這三者有兩定一不定，要注意分類討論；(2)要注意數形結合思想的應用，尤其是給定區(qū)間上二次函數最iiii值問題，先“定性”(作草圖)，再“定量”(看圖求解)，事半功倍.:1 I演練沖關1. 已知函數 f(x) = ax2 2ax + 2+ b(a 0),若 f(x)在區(qū)間2,3上有最大值5,最小值2.(1) 求a, b的值；(2) 若b0,則 f(x)在區(qū)間2,3上是增函數.f 2 = 2 + b= 2,則有f 3 = 3a+2 + b= 5,b= 0,解得a= 1.若a0，則f(x)在區(qū)間2,3上是減函數，f 2

8、 = 2 + b= 5,b= 3,則有解得f 3 = 3a+ 2 + b= 2,a= 1.綜上可知，a= 1, b= 0 或 a= 1, b = 3.(2)由 b4 或一6或mn2-tx在t -2,2時恒成立，求實數x的取值 范圍.解(1)：由知f(x)= ax2 + bx(az 0)的對稱軸是直線x=- 1,二 b= 2a.函數f(x)的圖象與直線y = x只有一個公共點，.方程組y= ax2 + bx,有且只有一個解，即ax2+ (b- 1)x= 0有兩個相同的y=x1 1實根，二= (b-1)2= 0,即 b= 1,a =f(x) = x2 + x.11(2) 1二護) -2-tx等價于

9、 f(x)tx-2,即2x2 + xtx-2在 t -jn22,2時恒成立?函數g(t) = xt- x2 + x+ 2 0在t - 2,2時恒成立,g 2 0,_即解得x 3 +g 2 0,5 故實數x的取值范圍是(一 = ,3 5) U ( 3+ 5, +乂).|不等式恒成立的求解方法1由不等式恒成立求參數取值范圍，常用分離參數法，轉化為求函數最值問題，其依據是 af(x)? af(x)max, a f(x)? a f(x)min.演練沖關2. 設函數f(x) = ax2 2x+2,對于滿足1x0,求實數a的取值范圍.解：由 f(x)0,即 ax2 2x+ 20, x (1,4),2 2

10、一得a x2 + x在(1,4)上恒成立.人2 211 2 1思想方法系列IXIANGXIL1&I令 g(x)= x2+x= 2x22+2，思路分析參數a的值確定f(x)圖象的形狀；aO時，函數f(x)的圖象為拋物線，還要考慮開口方向和對稱軸位置.解(1)當 a = 0 時，f(x) = -2x 在0,1上遞減,二 f(x)min = f(1)=- 2.當a0時，f(x) = ax2 2x圖象的開口方向向上，且對稱軸為 x1當匸1,即al時,f(x) = ax2- 2x圖象的對稱軸在0,1內,1 f(x)在0, a上遞減,a1在a 1上遞增.1 1 2-f(x)min=f a =舌a=1a.1

11、當a1,即g*1時,f(x)= ax2 2x圖象的對稱軸在0,1的右側, f(x)在0,1上遞減.f(x)min = f(1)= a 2.當 a0 時，f(x) = ax2 2x的圖象的開口方向向下，且對稱軸 xa1,思想點評(1)本題在求二次函數最值時，用到了分類討論思想，求解中既對系數a的符號進行了討論，又對對稱軸進行討論.在 分類討論時要遵循分類的原則：一是分類的標準要一致，二是分類時 要做到不重不漏，三是能不分類的要盡量避免分類，絕不無原則的分類討論.(2)在有關二次函數最值的求解中，若軸定區(qū)間動，仍應對區(qū)間 進行分類討論.跟蹤練習設函數y= x2 2x, x 2, a,若函數的最小值

12、為 g(x)，求 g(x).解：T函數 y=x2 2x= (x 1)2 1,二對稱軸為直線x= 1,：x= 1不一定在區(qū)間2, a內，二應進行討論.當一2a1時，函數在2,1上單調遞減，在1, a上單調遞增，則 當x= 1時，y取得最小值，即ymin = 1.a2 2a, 2a1.CjfN7O*j HANCEA組考點能力演練1.當ab0時，函數y= ax2與f(x) = ax+ b在同一坐標系中的圖解析：因為ab0，所以，當a0，b0, b0時，函數y= ax2的圖象開口向上，函 數f(x) = ax+ b的圖象在x軸上的截距為負值，在y軸上的截距為正 值，沒有符合條件的選項，故選 D.答案：

13、D2. (2015 蕪湖質檢)已知函數 f(x) = x2 + x+c.若 f(0)0, f(p)0B. f(p+ 1)0, f(p)o,.f(p + 1)0.答案：A3 .若幕函數y= (m2 3m+ 3) xm2- m 2的圖象不過原點，貝S m 的取值是()A . K m2B. m= 1 或 m= 2C. m= 2D. m=1解析：由幕函數性質可知m2 3m+ 3= 1,.m= 2或m= 1.又幕函數圖象不過原點，m2 m 20,即1 m2,m= 2或m =1.答案：B254.若函數y= x2 3x 4的定義域為0, m,值域為憶,4 , 則m的取值范圍是(A . 0,4D. 3，3解析

14、：二次函數圖象的對稱軸為3口3x = 2,且 f 2C. |,+乂254, f(3) = f(0) = 4,由圖得 m答案：D5. (2015滄州質檢)如果函數f(x) = x2+bx+ c對任意的x都有f(x+ 1)= f( x),那么()f( 2)f(0)f(2) f(0)f( 2)f(2) f(2)f(0)f( 2) f(0)f(2)f( 2)解析：由f(1+ x) = f( x)知f(x)的圖象關于直線x=1對稱，又拋物線 f(x)開口向上，f(0)vf(2)vf( 2).答案：D6. 二次函數f(x) = x2+ (2 log2m)x + m是偶函數，則實數 m =解析：禾U用偶函數

15、性質求解.因為偶函數的圖象關于 y軸對稱,所以一2犁二0,解得4.答案：417. 已知幕函數f(x) = x 2,若f(a+ 1)0),易知x (0,+ 乂)時為減函數,又 f(a + 1)0,a 1,10 2a0,解得a10 2a,a3,3va5.答案：(3,5)8. (2015濟南二模)已知函數f(x) = x2 2x, x a, b的值域為1,3,則b a的取值范圍是.解析：由題意知，f(x) = x2 2x= (x 1)2 1，因為函數f(x)在a,b上的值域為1,3，所以當a=- 1時，1 b3;當b= 3時，一 1 a2或一廠6 或k1).(1) 若f(x)的定義域和值域均是1,

16、a,求實數a的值；(2) 若f(x)在區(qū)間(X, 2上是減函數，且對任意的X1, X2 1, a + 1,總有|f(X1) f(X2)|w4,求實數a的取值范圍. + bx+ 1(a, b 為實數,a0, x R).(1)若函數f(x)的圖象過點(一2,1)，且方程f(x) = 0有且只有一個 根，求f(x)的表達式；在(1)的條件下，當x 1,2時，g(x) = f(x) kx是單調函數, 求實數k的取值范圍.解：(1)因為 f( 2)= 1,即 4a2b+ 1 = 1,所以 b= 2a.因為方程f(x) = 0有且只有一個根，所以 = b2 4a= 0.所以4a2 4a = 0,所以a=

17、1,所以b= 2.所以 f(x) = (x+ 1)2.(2)g(x) = f(x) kx= x2 +2x+ 1 kx = x2 (k 2)x + 1 =k 2x 2解：(1)Tf(x)= (x a)2 + 5-a2(a1),f(x)在1 , a上是減函數.又定義域和值域均為1, a.f 1 = a,1 2a + 5= a,即解得a = 2.f a = 1,a2 2a2 + 5= 1,(2) vf(x)在區(qū)間(一=,2上是減函數，/.a 2.又 x= a 1, a+ 1,且(a+ 1) aw a 1,f(x)max= f(1) = 6 2a, f(x)min = f(a) = 5 a2.T對任意

18、的 X1 , X2 1 , a+1,總有 |f(X1) f(X2)|W 4,.f(x)max f(x)min w4,得1 waw3又 a2,2waw 3.故實數a的取值范圍是2,3.B組高考題型專練1. (2014高考浙江卷)在同一直角坐標系中，函數f(x) = xa(x0),g(x) = logaX的圖象可能是()解析：函數y= xa(x 0)與y = logax(x0),選項A中沒有幕函數 圖象，不符合；對于選項 B ,y=xa(x 0)中 a1,y= logax(x0)中 0a0)中,0a0)中 a1, 不符合，對于選項 D, y=xa(x 0)中 0a0)中,0a0, q0)的兩個不同的零點，且a, b, 2這三個數可適當排序后成等差數列，也可適當排序后成等比數列，則 p+ q的值等于.解析：依題意有a, b是方程x2 px+ q = 0的兩根，則a+ b= p, a