信號與系統(tǒng)實驗7連續(xù)系統(tǒng)零極點分析

1、實驗七連續(xù)時間系統(tǒng)S域零極點分析 一、目的 (1) 掌握連續(xù)系統(tǒng)零極點分布與系統(tǒng)穩(wěn)定性關系 (2) 掌握零極點分布與系統(tǒng)沖激響應時域特性之間的關系 (3) 掌握利用MATLAB進行S域分析的方法 二、零極點分布與系統(tǒng)穩(wěn)定性 根據系統(tǒng)函數H (s)的零極點分布來分析連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性是零極點分析的重要應 用之一。穩(wěn)定性是系統(tǒng)固有的性質，與激勵信號無關，由于系統(tǒng)函數H(s)包含了系統(tǒng) 的所有固有特性，顯然它也能反映出系統(tǒng)是否穩(wěn)定。 對任意有界信號f(t)，若系統(tǒng)產生的零狀態(tài)響應y(t)也是有界的，則稱該系統(tǒng)為穩(wěn) 定系統(tǒng)，否則，則稱為不穩(wěn)定系統(tǒng)。 上述穩(wěn)定性的定義可以等效為下列條件： 時域條件：連續(xù)系

2、統(tǒng)穩(wěn)定充要條件為h(t)dt，即沖激響應絕對可積； 復頻域條件：連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為系統(tǒng)函數 H(s)的所有極點位于S平面 的左半平面。 系統(tǒng)穩(wěn)定的時域條件和頻域條件是等價的。因此，只要考察系統(tǒng)函數H(s)的極點 分布，就可判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對于三階以下的低階系統(tǒng)，可以利用求根公式方便地求 出極點位置，從而判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性，但對于告階系統(tǒng)，手工求解極點位置則顯得非常困 難。這時可利用MATLAB來實現(xiàn)這一過程。 例7-1 :已知某連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數為: H(s) 試用MATLAB求出該系統(tǒng)的零極點, s2 3s 2 8s4 2s3 3s2 s 5 畫出零極點圖，并判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定 解：調用實

3、驗六介紹的繪制連續(xù)系統(tǒng)零極點圖函數sjdt即可解決此問題，對應的 MATLAB命令為： a=8 2 3 1 5; b=1 3 2; p,q=sjdt(a,b) 運行結果為： P = -0.6155 - 0.6674i -0.6155 + 0.6674i0.4905 - 0.7196i0.4905 + 0.7196i q = -2 -1 繪制的零極點圖如圖7-1所示。 由程序運行結果可以看出，該系統(tǒng)在S平面的右半平面有一對共軛極點，故該系統(tǒng) 是一個不穩(wěn)定系統(tǒng)。 三、零極點分布與系統(tǒng)沖激響應時域特性 設連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數為H (s)，沖激響應為h(t)，貝U H(s) 0 h(t)estdt 顯然

4、，H(s)必然包含了 h(t)的本質特性。 對于集中參數的LTI連續(xù)系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數可表示為關于s的兩個多項式之比，即 B(s)(s q) (7-1) H(s)少C誤 A(s)(s Pi) i 1 連續(xù)系詵零極點圖 實釉 u 1 J 圖7-1例7-1的系統(tǒng)零極點圖 其中qj(j 1,2,M)為H(s)的M個零點，Pi(i 1,2, N)為H (s)的N個極點。 若系統(tǒng)函數的N個極點是單極點，則可將H(s)進行部分分式展開為： N k H(s) 丄(7-2) i 1 s Pi 從式(7-1)和(7-2)可以看出，系統(tǒng)沖激響應h(t)的時域特性完全由系統(tǒng)函數 H(s) 的極點位置決定。H(s)的每

5、一個極點將決定h(t)的一項時間函數。顯然，H(s)的極點 位置不同，則h(t)的時域特性也完全不同。下面利用例子說明 H (s)的極點分布與h(t)時 域特性之間的關系。 例7-2：已知連續(xù)系統(tǒng)的零極點分布如圖 7-2所示，試用MATLAB分析系統(tǒng)沖激響應h(t) 的時域特性。 解：系統(tǒng)的零極點圖已知，則系統(tǒng)的系統(tǒng)函數H(s)就可確定。這樣就可利用繪制連續(xù) 系統(tǒng)沖激響應曲線的 MATLAB函數impulse。，將系統(tǒng)沖激響應h(t)的時域波形繪制出 來。 對于圖7-2(a)所示的系統(tǒng)，系統(tǒng)函數為H(s) 1，即系統(tǒng)的極點位于原點，繪制 s 沖激響應時域波形的MATLAB命令如下： a=1 0

6、; b=1； impulse(b,a) 繪制的沖激響應h(t)波形如圖7-3(a)所示，此時h(t)為單位階躍信號。 63 圖7-2例7-2的系統(tǒng)零極點圖 葉址陽耳城n萌 ine aec I (c) Q由一_百* D D? n,4 OE OB m(3tc. (a)(b) (e) (d) 圖7-3例7-2的系統(tǒng)沖激響應時域波形圖 對于圖7-2 (b)所示的系統(tǒng)，系統(tǒng)函數為 H(s) 丄，即系統(tǒng)的極點為位于 S平 s 面左半平面的實極點，令 2，繪制沖激響應時域波形的MATLAB命令如下： a=1 2; b=1； impulse(b,a) 繪制的沖激響應h(t)波形如圖7-3 (b)所示，此時h(

7、t)為衰減指數信號 對于圖7-2(c)所示的系統(tǒng)，系統(tǒng)函數為H(s)，即系統(tǒng)的極點為位于S平 面右半平面的實極點，令 a=1 -2; b=1; s 2，繪制沖激響應時域波形的MATLAB命令如下： impulse(b,a) 繪制的沖激響應h(t)波形如圖7-3(c)所示，此時h(t)為隨時間增長的指數信號 對于圖7-2(d)所示的系統(tǒng)，系統(tǒng)函數為H (s)2，即系統(tǒng)的極點為位 (s ) 于S平面左半平面的一對共軛極點，令0.5、4，繪制沖激響應時域波形的 MATLAB命令如下： a=1 1 16.25; b=1; impulse(b,a,5) 繪制的沖激響應h(t)波形如圖7-3(d)所示，此

8、時h(t)為按指數衰減的正弦振蕩信 號。 對于圖7-2(e)所示的系統(tǒng)，系統(tǒng)函數為H(s)，即系統(tǒng)的極點為位于 S s 平面虛軸上的一對共軛極點，令4，繪制沖激響應時域波形的 MATLAB命令如下： a=1 0 16; b=1; impulse(b,a,5) 繪制的沖激響應h(t)波形如圖7-3(e)所示，此時h(t)為等幅正弦振蕩信號。 對于圖7-2(f)所示的系統(tǒng)，系統(tǒng)函數為H(s)22，即系統(tǒng)的極點為位 (s ) 于S平面右半平面上的一對共軛極點，令0.5、4，繪制沖激響應時域波形的 MATLAB命令如下： a=1 -1 16.25; b=1; impulse(b,a,5) 繪制的沖激響

9、應h(t)波形如圖7-3(f)所示，此時h(t)為按指數增長的正弦振蕩信 號。 從上述程序運行結果和繪制的系統(tǒng)沖激響應曲線，可以總結出以下規(guī)律：系統(tǒng)沖激 響應h(t)的時域特性完全由系統(tǒng)函數 H(s)的極點位置決定，H(s)位于S平面左半平面 的極點決定了 h(t)隨時間衰減的信號分量，位于 S平面虛軸上的極點決定了沖激響應的 穩(wěn)態(tài)信號分量，位于S平面右半平面的極點決定了沖激響應隨時間增長的信號分量。 三、由連續(xù)系統(tǒng)零極點分布分析系統(tǒng)的頻率特性 由前面分析可知，連續(xù)系統(tǒng)的零極點分布完全決定了系統(tǒng)的系統(tǒng)函數H(s)，顯然, H(j )的方法- 系統(tǒng)的零極點分布也必然包含了系統(tǒng)的頻率特性。 下面介

10、紹如何通過系統(tǒng)的零極點分布來直接求出系統(tǒng)的頻率響應 H(j )的一種直 幾何矢量法，以及如何用MATLAB來實現(xiàn)這一過程。 幾何矢量法是通過系統(tǒng)函數零極點分布來分析連續(xù)系統(tǒng)頻率響應 觀而又簡便的方法。該方法將系統(tǒng)函數的零極點是為S平面上的矢量，通過對這些矢量 的模和幅角的分析，即可快速確定出系統(tǒng)的幅頻響應和相頻響應。其基本原理如下： 設某連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數為： M B(s)(s qj) H(s) -(-) C4 A(s)(s P) i 1 其中qj(J 1,2,M)為H(s)的M個零點，Pi(i 1,2,N)為H(s)的N個極點。則頻率 響應為: M (s qj) H(j ) H(s)Sj C

11、 稈(7-3) (s pj i 1 現(xiàn)在從幾何矢量空間的角度分析S平面，即將S平面的任一點看成是從原點到該點 的矢量，則j即是從S平面原點到虛軸上角頻率為的點的矢量。同理，qj(j 1,2, ,M ) 和Pi(i 1,2,N)即是從S平面原點到系統(tǒng)函數各零點和極點的矢量。 現(xiàn)在考慮矢量j qj，由矢量運算可知，它實際上就是零點q到虛軸上角頻率為 的點的矢量，如圖7-3所示；而矢量j Pi則是極點Pi到虛軸上角頻率為的點的矢量 圖7-3連續(xù)系統(tǒng)幾何矢量法示意圖 jq BjJ jPi Aej 其中，Bj為矢量j 的幅角。 因此有： qj的模, j為該矢量的幅角; A為矢量j Pi的模，i為該矢量

12、M j j (7-4) J) H(j ) C |H(j )ej () (Aeji) i 1 則系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性為: M Bj H(j ) c j 1 C N (7-5) () A i 1 MN ji j 1i 1 (7-6) 由上述分析可以得出如下結論： 連續(xù)系統(tǒng)的幅頻響應 H(j )等于系統(tǒng)函數所有零點到虛軸上角頻率為的點 的距離之積與系統(tǒng)函數所有極點到虛軸上角頻率為的點的距離之積的比值； 連續(xù)系統(tǒng)的相頻響應()等于系統(tǒng)函數所有零點到虛軸上角頻率為的點的 矢量相角之和與系統(tǒng)函數所有極點到虛軸上角頻率為的點的矢量相角之和的 差值。 讓矢量j沿著虛軸變化，即角頻率由0 進行改變，便可直觀

13、地求出系統(tǒng)幅頻 響應和相頻響應隨的變化，從而分析出系統(tǒng)的頻率特性。 根據上述結論，若已知系統(tǒng)的零極點分布，即可直接由幾何矢量法分析出系統(tǒng)的頻 率特性。 上述過程可用MATLAB快速實現(xiàn)。用MATLAB實現(xiàn)已知系統(tǒng)零極點分布，求系統(tǒng) 頻率響應，并繪制其幅頻特性和相頻特性曲線的程序流程如下： (1) 定義包含系統(tǒng)所有零點和極點位置的行向量q和p； (2) 定義繪制系統(tǒng)頻率響應曲線的頻率范圍向量fl和f2、頻率取樣間隔k，并產 生頻率等分點向量f; (3) 求出系統(tǒng)所有零點和極點到這些等分點的距離； (4) 求出系統(tǒng)所有零點和極點到這些等分點的矢量相角； (5) 根據式(7-5)和(7-6)求出fl

14、到f2頻率范圍內各頻率等分點的|H (j )和 ()； (6) 繪制f1f2頻率范圍內系統(tǒng)的幅頻特性曲線和相頻特性曲線。 下面是完成上述分析過程的MATLAB實用函數splxy()。 function splxy(f1,f2,k,p,q) %根據系統(tǒng)零極點分布繪制系統(tǒng)頻率響應曲線程序 %f1、f2:繪制頻率響應曲線的頻率范圍(即頻率起始和終止點，單位為赫茲) %p、q：系統(tǒng)函數極點和零點位置行向量 %k:繪制頻率響應曲線的頻率取樣間隔 p=p; q=q; f=f1:k:f2;%定義繪制系統(tǒng)頻率響應曲線的頻率 范圍 w=f*(2*pi); y=i*w; n=len gth(p); m=le ng

15、th(q); if n=0%如果系統(tǒng)無極點 yq=on es(m,1)*y; vq=yq-q* on es(1,le ngth(w); bj=abs(vq); cosaij=a ngle(vq)./pi.*180; ai=1; %如果系統(tǒng)無零點 thetai=O; elseif m=0 yp=on es( n,1)*y; vp=yp-p* on es(1,le ngth(w); ai=abs(vp); thetai=a ngle(vp)./pi.*180; bj=1; cosaij=0; else yp=on es( n,1)*y; yq=on es(m,1)*y; vp=yp-p* on e

16、s(1,le ngth(w); vq=yq-q* on es(1,le ngth(w); ai=abs(vp); thetai=a ngle(vp)./pi.*180; bj=abs(vq); cosaij=a ngle(vq)./pi.*180; end subplot(121); Hw=prod(bj,1)./prod(ai,1); plot(f,Hw); title(連續(xù)系統(tǒng)幅頻響應曲線) xlabel(瀕率w (單位：赫茲) ylabel(F(jw) subplot(122); An gw=sum(cosaij,1)-sum(thetai,1); plot(f,A ngw); titl

17、e(連續(xù)系統(tǒng)相頻響應曲線) xlabel(瀕率w (單位：赫茲) ylabel(A ngle(jw) 下面舉例說明如何調用該函數。 例7-3：已知系統(tǒng)的系統(tǒng)函數為H(s)，試用MATLAB繪制出該系統(tǒng)的 (s 50)(s 100) 頻率特性曲線(幅頻曲線和相頻曲線)。 解：通過調用上述實用函數求解，命令如下： q=0; p=-100 -50; f仁0; f2=100; k=0.01; splxy(f1,f2,k,p,q); 運行結果如圖7-4所示。 連擴喬統(tǒng)相頻吋應臟線 100 00 B0 4J -23 -40 -60 - 1111 0200 ED 00100 壩率創(chuàng)(瑩位：赫勒 2D 400

18、0 EO 100 頻率卑程：描船) 圖7-4系統(tǒng)幅頻特性與相頻特性曲線 四、實驗內容 已知連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數分別如下所示，試用MATLAB繪制系統(tǒng)的零極點圖，并 根據零極點圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，同時繪制出系統(tǒng)的頻率特性曲線(提示：系統(tǒng)的零極 點可用MATLAB (1)H(s) (3)H (s) 函數roots求得)。 S s 2 32 3s 5s 4s 6 2 3s(s 9) s420s264 (2) H(s) (4) H(s) 2( 4s 5) 2 s 4s 5 1 32 s 2s 2s 1 fun ctio n p,q=sjdt(A,B) %繪制連續(xù)系統(tǒng)零極點圖程序 %A:系統(tǒng)函數分母多項式

19、系數向量 %B:系統(tǒng)函數分子多項式系數向量 %p:函數返回的系統(tǒng)函數極點位置行向量 %q:函數返回的系統(tǒng)函數零點位置行向量 p=roots(A); q=roots(B); p=p; q=q; x=max(abs(p q); x=x+0.1; y=x; elf %求系統(tǒng)極點 %求系統(tǒng)零點 %將極點列向量轉置為行向量 %將零點列向量轉置為行向量 %確定縱坐標范圍 %確定橫坐標范圍 axis(-x x -y y); axis(square) plot(-x x,0 0) plot(0 0,-y y) hold on %確定坐標軸顯示范圍 %畫橫坐標軸 %畫縱坐標軸 %畫極點 %畫零點 %標注標題 p

20、lot(real(p),imag(p),x) plot(real(q),imag(q),o) title( 連續(xù)系統(tǒng)零極點圖 ) text(0.2,x-0.2, 虛軸 ) text(y-0.2,0.2, 實軸 ) function splxy(f1,f2,k,p,q) %根據系統(tǒng)零極點分布繪制系統(tǒng)頻率響應曲線程序 %f1、f2 :繪制頻率響應曲線的頻率范圍(即頻率起始和終止點，單位為赫茲) %p、q：系統(tǒng)函數極點和零點位置行向量 %k:繪制頻率響應曲線的頻率取樣間隔 p=p; q=q; f=f1:k:f2;%定義繪制系統(tǒng)頻率響應曲線的頻率范圍 w=f*(2*pi); y=i*w; n=leng

21、th(p); m=length(q); if n=0%如果系統(tǒng)無極點 yq=ones(m,1)*y; vq=yq-q*ones(1,length(w); bj=abs(vq); cosaij=angle(vq)./pi.*180; ai=1; thetai=0; elseif m=0% 如果系統(tǒng)無零點 yp=ones(n,1)*y; vp=yp-p*ones(1,length(w); ai=abs(vp); thetai=angle(vp)./pi.*180; bj=1; cosaij=0; else yp=ones(n,1)*y; yq=ones(m,1)*y; vp=yp-p*ones(1

22、,length(w); vq=yq-q*ones(1,length(w); ai=abs(vp); thetai=angle(vp)./pi.*180; bj=abs(vq); cosaij=angle(vq)./pi.*180; end subplot(121); Hw=prod(bj,1)./prod(ai,1); plot(f,Hw); title( 連續(xù)系統(tǒng)幅頻響應曲線 ) xlabel( 頻率 w (單位：赫茲) ) ylabel(F(jw) subplot(122); Angw=sum(cosaij,1)-sum(thetai,1); plot(f,Angw); title( 連續(xù)系統(tǒng)相頻響應曲線 ) xlabel( 頻率 w (單位：赫茲) ) ylabel(Angle(jw) 1.求零極點 A=3 5 4 6; B=1 1 2; p,q=sjdt(A,B) -1.6101 -0.0283 - 1.1142i-0.0283 + 1.1142i q = -0.5000 - 1.3229i-0.5000 + 1.3229i 連娃痕垛參磁點也 1 j5虛錮