二項(xiàng)式定理(通項(xiàng)公式)

1、精品文檔-11 -歡迎下載六、二項(xiàng)式定理一、指數(shù)函數(shù)運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)：1.整數(shù)指數(shù)哥的概念.ana a a a(n n*)n個(gè)aa0 1(a0)2 .運(yùn)算性質(zhì)：am an am n(m,n z) , (am)nn 1a n(a 0,nn*).anamn(m,n z), (ab)n an bn(n z)3 .注意am an可看作am a n二 aa =anga,nn n a n n n a(一)可看作 a b (-) =a b = bbbm4、a nn/tm (a0,mncn*,且 n1) .例題：一213例 1 求值：83,100 2,(1) 3,() 4.481例2用分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的形式表示下列各式：

2、1) a2 x/a, a3 ；a27aja (式中a0)2) va v,a 3) 4aava例3計(jì)算下列各式（式中字母都是正數(shù)）2111(2a%，)( 6a，b3)1513(3a為2 (2)(mr?)8.2例 4 計(jì)算下列各式：(1) 一a(a 0)； (2)(v25 125) 45a3a211111133x2 x 2 ,(2)x2 x 2例 5 化簡(jiǎn)：（x， y2） （x4 y）例6已知x+x-1 =3，求下列各式的值:二、二項(xiàng)式知識(shí)回顧1.二項(xiàng)式定理（a b）n c；an c：an 1b1 l c：an kbk l cnbn,k n k. ktk 1 cna b叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)k以上展

3、開(kāi)式共n+1項(xiàng)，其中cn叫做二項(xiàng)式系數(shù),（請(qǐng)同學(xué)完成下列二項(xiàng)展開(kāi)式）(a b)nc；anc：an 1b1 l% k n k k(1) cna b(1)nc：bn, tk 1k i n k k(1) cna b(1 x)nc0 c：xlc：xkcnxn(2x 1)nc0(2x)nc；(2x)nk n kcn (2x)c； 1(2 x) 1nanxann 1.1x lan kxn kl a1xa0cn2n ,即二項(xiàng)式系數(shù)和等于2n ； 式中分別令x=1和x=-1 ,則可以得到c0c； l偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和等于奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和，即c；c；lc； c3 l2n 式中令x=1則可以得到二項(xiàng)展開(kāi)式的各項(xiàng)

4、系數(shù)和.2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)對(duì)稱(chēng)性：與首末兩端等距離的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即cm c； m.k(2)二項(xiàng)式系數(shù)cn增減性與最大值：n 1 n 1當(dāng)k 時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞增的；當(dāng) k 時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞減的22當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)nn 1 n 1cn2取得最大值.當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng) cr7和cn相等，且同時(shí)取得最大值3.二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)ao,a1,a2,a3,，an的性質(zhì)：f( x)=ao+ax+a2x2+a3x3+anxn(1) 30+31+82+33+an=f(1) ao- 31+32- a3+(-1)n&=f(-1) ao+32+34+36 .=ff(1)(4) 31+33+3

5、5+37-= f(1) f( 1)22三、經(jīng)典例題1、(3 b)n展開(kāi)式例1.求(3人 _)4的展開(kāi)式；一 x解：原式=(得)4=_(3=*0肉)4 ck3 c：(3x)2 ck3x) c；【練習(xí)1】求(入反2.求展開(kāi)式中的項(xiàng)212181x84x 54x x;)4的展開(kāi)式x例2.已知在(雙-1=)n的展開(kāi)式中，第23 x6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng).(1) 求n； (2)求含x2的項(xiàng)的系數(shù)；(3)求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)n r / rr1 r t解：(1)通項(xiàng)為 tr 1 cnx 3 ( 1) x 3 (n 2r一 .， 一.，一., , n 2r 一因?yàn)榈?項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以r=5時(shí)，有nj 二0，即n=10.

6、(2)令10 2r =2,得 2所以所求的系數(shù)為 c20( 1)2 絲324,10 2r(3)根據(jù)通項(xiàng)公式，由題意 z30 r 10,r z992,求(2 x 1)2n的展開(kāi)x式中：(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);(2)系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)(先看例9).解：由題意知，22n 2n 992,所以2 n 32,解得n=5.(1)(1)由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì),(2)x設(shè)第r 1項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值最大，110,，一(2x )的展開(kāi)式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.丁6_ 55g0(2x)(1 5-)8064 .xqtr 1c；010 r 1 rr 10 r _ r 10(2x)( -)( 1) 2cixx2rr q10

7、rc102r q10 rc102c r 。八 r 111 r c10 2c10r 1 q9c10 211 r2(r 1)2r11qr z, r3 ,故系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第104 項(xiàng)，t4八 3 c74c10 2 x415360x .人 10 2r3k令 k(k z),則r 5 故k可以取2,0, 2,即r可以取2, 5,8.32所以第3項(xiàng)，第6項(xiàng)，第9項(xiàng)為有理項(xiàng)，它們分別為 c1o( 1)2x2 c10( 1)5 c18)(-)22 2【練習(xí)2】若(41曠展開(kāi)式中前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列.求：24 x(1)展開(kāi)式中含x的一次哥的項(xiàng)；(2)展開(kāi)式中所有x的有理項(xiàng).3.二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)例3.已知

8、 即 x2)2n的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和比(3x 1)n的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和大2*10： 1.練習(xí)3已知(jx )n(n n )的展開(kāi)式中的第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)之比是 x3(1)求展開(kāi)式中含x2的項(xiàng)；(2)求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)4、求兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的展開(kāi)式指定哥的系數(shù)例4. (x2 1)(x 2)7的展開(kāi)式中，x3項(xiàng)的系數(shù)是解：在展開(kāi)式中，x33的來(lái)源有:第一個(gè)因式中取出,則第二個(gè)因式必出x,其系數(shù)為c7( 2)6 ；第一個(gè)因式中取出1,則第二個(gè)因式中必出x3,其系數(shù)為4c7(2)43x3的系數(shù)應(yīng)為:6c7(2)6 c7( 2)4 1008,填 1008。5、求可化為

9、二項(xiàng)式的三項(xiàng)展開(kāi)式中指定哥的系數(shù)例5 (04安徽改編)(x 12)3的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是2.解：(x2)333xj)-,該式展開(kāi)后常數(shù)項(xiàng)只有一項(xiàng) x3x3( 1)3c6 3,即 20x6、求中間項(xiàng)13vx)10的展開(kāi)式的中間項(xiàng);解：tr1 cx-.x)1。5（二）r,展開(kāi)式的中間項(xiàng)為 c5（5（2）5即：252xk3 xc1。3 x當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),(ab）n的展開(kāi)式的中間項(xiàng)是c當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),(ab）n的展開(kāi)式的中間項(xiàng)是c7、有理項(xiàng)例 7 (., x1lx)10的展開(kāi)式中有理項(xiàng)共有項(xiàng);解：tr。（鐘）（我）c。，1）10 4r r x =當(dāng)r 。,3,6,9時(shí)，所對(duì)應(yīng)的項(xiàng)是有理項(xiàng)。故展開(kāi)式中有理項(xiàng)

10、有4項(xiàng)。當(dāng)一個(gè)代數(shù)式各個(gè)字母的指數(shù)都是整數(shù)時(shí)，那么這個(gè)代數(shù)式是有理式；當(dāng)一個(gè)代數(shù)式中各個(gè)字母的指數(shù)不都是整數(shù)（或說(shuō)是不可約分?jǐn)?shù)）時(shí)，那么這個(gè)代數(shù)式是無(wú)理式。8、求系數(shù)最大或最小項(xiàng)(1)特殊的系數(shù)最大或最小問(wèn)題（00上海）在二項(xiàng)式（x 1）11的展開(kāi)式中，系數(shù)最小的項(xiàng)的系數(shù)是解:r 11 rrtr1cd (。要使項(xiàng)的系數(shù)最小，則 rr必為奇數(shù)，且使 c11為最大，由此得r 5,從而可知最小項(xiàng)的系數(shù)5c.( 1)5462（2） 一般的系數(shù)最大或最小問(wèn)題一 1。例9求（jx il） 8展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng);2： x解得解：記第r項(xiàng)系數(shù)為tr ,設(shè)第k項(xiàng)系數(shù)最大，則有k 1c8 kc8.2k1.2k

11、2c8 .2kc8.2即8(k 1)!.(9 k)!8!8! 2(k 2)!.(10 k)!tktk1k(k 1)!.(9 k)!8!k!l(8kj!tk 1tk 121 k 221k k又trc81.2 r 1,那么有(3)系數(shù)最大的項(xiàng)為第3項(xiàng)t37x2和第4項(xiàng)t41x。系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)例10在（x y）7的展開(kāi)式中，系數(shù)絕對(duì)值最大項(xiàng)是解：求系數(shù)絕對(duì)最大問(wèn)題都可以將（a b）n型轉(zhuǎn)化為（a b）n型來(lái)處理,故此答案為第4項(xiàng)c；x3y4,和第5 項(xiàng) c：x2y5。9、利用“賦值法”及二項(xiàng)式性質(zhì)3求部分項(xiàng)系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)和例11.若(2x.3)4a。a1x a2x3a3xa4x4 ,則(a。

12、a2a,)2as)2的值為解： （2x43) 4 a。2axa?x3a3x4adx令 x 1 ,有(2 3)4 a0 a1 a2 a3 a4-33)(% a2a)a3)故原式=(a0 a1 a2 a3 a4).(a0 a2a4)a3)=(2,3)4.( 2-44,3) =( 1)【練習(xí)1】若(1 2x)2004 a ax2a2x2004x2004,則 aj(aa2) (aa2004 )解： (12x)2004aaxa2*22004x2004,令 x 1 ,有(120042)a0a1a2a20041令x 0,有 (1 0) 2004a0故原式二(a。a1a2a 2004 )2003a0=1200

13、3 2004【練習(xí)2】設(shè)(2x 1)6a6x65 axaj a ,a6r -6 rc6(2x) (1)r同 |a2a6aa1a2a3a4aa6(a a2 a4a6) (ai a3 a) =110利用二項(xiàng)式定理求近似值例15.求0.9986的近似值，使誤差小于 0.001 ;分析：因?yàn)?.9986=(1 0.002)6,故可以用二項(xiàng)式定理展開(kāi)計(jì)算。解：0.9986=(1 0.002)6 = 1 6.( 0.002)1 15.( 0.002)2 . ( 0.002)6t3 c6.( 0.002)2 15 ( 0.002)2 0.00006 0.001,且第3項(xiàng)以后的絕對(duì)值都小于 0.001 , 從第3項(xiàng)起，以后的項(xiàng)都可以忽略不計(jì)。0.9986 = (1 0.002)6 1 6 ( 0.002) = 1 0.01 2 0.988-12 cn小結(jié)：由(1 x) 1 cnx cnx . cnx，當(dāng)x的絕對(duì)值與1相比很小且n很大時(shí)，x , x ,.x等項(xiàng)的絕對(duì)值都很小，因此