2019-2020學(xué)年高中新創(chuàng)新一輪復(fù)習(xí)理數(shù)通用版：選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程Word版含解析.doc

1、選修4 一 4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 本節(jié)主要包括2個知識點: 第一節(jié) 坐標(biāo)系 1.平面直角坐標(biāo)系下圖形的伸縮變換; 突破點(一)平面直角坐標(biāo)系下圖形的伸縮變換 抓牢雙基自學(xué)區(qū) 基本知識 了 x =入 x X 0 , 設(shè)點P(x, y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點，在變換$：i7 的作用下, y，=心(口0) 點P(x, y)對應(yīng)到點P (x, y),稱$為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮 變換. 基本能力 1.判斷題 (1)平面直角坐標(biāo)系中點P( - 2,3)在變換 x $： o y = y0, 則有$ 解得 1 尸2* X y i =4X, i 答案: 研透高考講練區(qū) 全析考法 1X4

2、 平面直角坐標(biāo)系下圖形的伸縮變換 典例 求雙曲線 2 廠2 y_ C：X 64 i經(jīng)過 八 3X， 2y= y 變換后所得曲線C 的焦點坐標(biāo). 解 設(shè)曲線C上任意一點 P (x , y), 2 代入X1 2 y = 1 64 4y 64 2 =1, 化簡得 y 16 2 -=1, 2 y=1為曲線c的方程，可見經(jīng)變換后的曲線仍是雙曲線, 16 則所求焦點坐標(biāo)為F1( 5,0), F 2(5,0). 方法技巧 應(yīng)用伸縮變換公式時的兩個注意點 (1) 曲線的伸縮變換是通過曲線上任意一點的坐標(biāo)的伸縮變換實現(xiàn)的，解題時一定要區(qū) 分變換前的點P的坐標(biāo)(X，y)與變換后的點P 的坐標(biāo)(x, y),再利用伸

3、縮變換公式 x =入 40 ) y=叮卩0) 建立聯(lián)系. (2) 已知變換后的曲線方程f(x, y) = 0, 一般都要改寫為方程f(x , y )= 0,再利用換 元法確定伸縮變換公式. 全練題點 x= 3x, 1. 求直線l: y= 6x經(jīng)過機1變換后所得到的直線I的方程. 2y= y 解：設(shè)直線I上任意一點P (x , y), 丨 x = ； x ,1 由題意，將S 3代入y= 6x得2y = 6X gx卜 嚴(yán) 2y 所以y = x,即直線I的方程為y= x. 2. 在同一平面直角坐標(biāo)系中，將直線x 2y= 2變成直線2x y= 4，求滿足圖象 變換的伸縮變換. x=入x0) 解：設(shè)變換

4、為 弋 代入第二個方程，得 2入卩尸4，與x 2y= 2比較系 y = (p0 卜 x = x,x = x, 數(shù)得 匸1,尸4，即*因此，經(jīng)過變換*后，直線x 2y= 2變成直線 y = 4y.y = 4y 2x y = 4. x= x, 3. 在同一平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過伸縮變換“ 后，曲線 C : x2+ y2= 36 ly= y 變?yōu)楹畏N曲線，并求曲線的焦點坐標(biāo). 解：設(shè)圓x2+ y2 = 36上任一點為P(x, y),伸縮變換后對應(yīng)點的坐標(biāo)為P (x , y), r x = 2x ,22 則 f所以 4x 2+ 9y 2= 36, y= 3y, / 2 , 2 即+1=1. 94 2

5、2 所以曲線c在伸縮變換后得橢圓x+y = 1, 94 其焦點坐標(biāo)為( 5, 0). 突破點（二）極坐標(biāo)系 抓牢雙基，自學(xué)區(qū) 基本知識 1.極坐標(biāo)系的概念 （1）極坐標(biāo)系 如圖所示，在平面內(nèi)取一個定 0,點0叫做極點，自極點 0引一條射線 Ox, Ox叫 做極軸；再選定一個長度單位、 一個角度單位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆時針方向）， 這樣就建立了一個極坐標(biāo)系. （2）極坐標(biāo) 設(shè)府越平血內(nèi)一點扱點。與點M的距離|（W| 叫做點伺的扱徑，記為p 標(biāo) 以極軸血為始邊.鮎線DM為終邊的xOM 叫做點嗣的槪角，祀曲W 衣序數(shù)對3 即叫做點姑的扱坐標(biāo)記作尼4町 一般地，沒有特殊說明時，我們認(rèn)為p

6、 0, B可取任意實數(shù). （3）點與極坐標(biāo)的關(guān)系 一般地，極坐標(biāo)（p B）與（p, 0+ 2kn沐 Z）表示同一個點，特別地，極點0的坐標(biāo)為（0, 0）（R），和直角坐標(biāo)不同，平面內(nèi)一個點的極坐標(biāo)有無數(shù)種表示. 如果規(guī)定p0,0 0 0）, M的極坐標(biāo)為（p, 0）（ p0）. 由題設(shè)知 |OP|= p, |OM | = p = cos 0 由 |OM | |OP| = 16,得 C2 的極坐標(biāo)方程 p= 4cos 0p0). 因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x 2)2+ y2= 4(xm 0). , 方法技巧 1. 應(yīng)用互化公式的三個前提條件 (1)取直角坐標(biāo)系的原點為極點. (2)以x軸的正半軸

7、為極軸. ：(3)兩種坐標(biāo)系規(guī)定相同的長度單位. 2.直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時的兩個注意點 (1)根據(jù)終邊相同的角的意義，角B的表示方法具有周期性，故點M的極坐標(biāo)(p 0)的 形式不唯一，即一個點的極坐標(biāo)有無窮多個當(dāng)限定p 0,0,2 n時，除極點外，點 M 的極坐標(biāo)是唯一的. (2)當(dāng)把點的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時，求極角0應(yīng)注意判斷點 M所在的象限(即角0的 終邊的位置),以便正確地求出角0 0 0,2 n的值. 極坐標(biāo)方程的應(yīng)用 例2 (2018安徽合肥模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的非負(fù)半 軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為 p= 4cos 0. (1) 求出圓C的直

8、角坐標(biāo)方程； (2) 已知圓C與x軸相交于 A, B兩點，直線I: y= 2x關(guān)于點M(0, m)(m豐0)對稱的直 線為I.若直線I上存在點P使得/ APB = 90,求實數(shù) m的最大值. 解(1)由p= 4cos 0得p2= 4 pcos 0,即x2+ y2 4x= 0,故圓C的直角坐標(biāo)方程為 x2 + y2 4x = 0. (2)l： y= 2x關(guān)于點M(0, m)對稱的直線l的方程為y= 2x+ 2m,而AB為圓C的直徑， 故直線l上存在點P使得/ APB = 90的充要條件是直線l與圓C有公共點，故|4+：m| V5 2,解得一2 ：5 0), 由題設(shè)知|OA|= 2, pb= 4c

9、os a于是 OAB的面積 ，得2 p sin B+cos B = .2由坐標(biāo)變換公式，得直線 I 的直角坐標(biāo)方程為 y+ x = 1,即卩x + y 1= 0. 由點A的極坐標(biāo)為2 2, ”得點A的直角坐標(biāo)為（2, 2），所以點A到直線I的距離 d= |2 2 1| 2 = 2. 考點二在極坐標(biāo)系中，直線 Ci的極坐標(biāo)方程為 psin 0= 2, M是Ci上任意一點，點 P在射線 OM上，且滿足|OP|OM|= 4,記點P的軌跡為 C2. （1）求曲線C2的極坐標(biāo)方程； 求曲線C2上的點到直線 C3： pcos（0+ n；=/2的距離的最大值. 解：（1）設(shè) P（ p 0, M（p, 0,依

10、題意有 psin 0= 2, p p= 4. 消去S,得曲線C2的極坐標(biāo)方程為p= 2sin 0 pM 0）. 將C2, C3的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，得C2： x2 + （y 1）2= 1, C3： x y= 2.C2 是以點（0,1）為圓心，以1為半徑的圓（坐標(biāo)原點除外）. 圓心到直線C3的距離d= 乎，故曲線C2上的點到直線C3距離的最大值為1+號. 全國卷5年真題集中演練明規(guī)律 S= 1|OA| pBSin/ AOB = 4COS a sin 2a- 3 -今 當(dāng)a=- 時，S取得最大值2 + 3. 所以 OAB面積的最大值為2 + 3. x= acost, 2. (2016全國卷

11、I )在直角坐標(biāo)系 xOy中，曲線Ci的參數(shù)方程為(t為參 |y= 1 + asin t 數(shù)，a 0).在以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2:尸4cos 0. (1) 說明Ci是哪一種曲線，并將 Ci的方程化為極坐標(biāo)方程； 直線C3的極坐標(biāo)方程為0= a,其中a滿足tan a)= 2，若曲線Ci與C?的公共點都 在C3上，求a. 解：消去參數(shù)t得到Ci的普通方程為x2 + (y- 1)2= a2, 則Ci是以(0,i)為圓心，a為半徑的圓. 將x =pcos 0,y=pin0代入Ci的普通方程中，得到Ci的極坐標(biāo)方程為p2-2pin0+ 2 - i a = 0. (2)

12、曲線Ci, C2的公共點的極坐標(biāo)滿足方程組 f 22 p 2 psin 0+ i a = 0, P= 4cos 0. 若 pM0,由方程組得 i6cos 0 8sin Qcos 0+ i a = 0, 由已知 tan 0= 2,可得 i6cos2 0 8sin Qcos 0= 0, 從而i a?= 0,解得a = i(舍去)或a = i. 當(dāng)a = i時，極點也為 Ci, C2的公共點，且在 C3上. 所以a = i. 課時達標(biāo)檢測 i.在極坐標(biāo)系中，已知圓C經(jīng)過點P 2 圓心為直線psinj 0- n=斗3與極軸 的交點，求圓 C的極坐標(biāo)方程. 解：在 psin ，令0= 0，得p= i,所

13、以圓C的圓心坐標(biāo)為(i,0). 因為圓 c經(jīng)過點p 2, n, 所以圓 C的半徑PC = + i2 2x ix：2cosf= i,于是圓C過極點，所以圓 C 4 的極坐標(biāo)方程為p= 2cos 0 2.設(shè)M , N分別是曲線 葉2sin 0= 0和pin 0+扌=孑上的動點，求M , N的最小距 離. 解：因為M, N分別是曲線 p+ 2sin 0= 0和psin 0+n =右?上的動點 ，即M, N分別 是圓x2+ y2 + 2y= 0和直線x+ y 1 = 0上的動點，要求 M , N兩點間的最小距離，即在直 線x+ y 1 = 0上找一點到圓 x2 + y2 + 2y= 0的距離最小，即圓

14、心(0, 1)到直線x + y 1 = 0 的距離減去半徑，故最小值為|0廠11 1 =2 1. 3. (2018揚州質(zhì)檢)求經(jīng)過極點 0(0,0), A 6, ； , B 6 2,嚴(yán) 三點的圓的極坐標(biāo)方程. 解：點0, A, B的直角坐標(biāo)分別為(0,0), (0,6), (6,6), 故厶0AB是以0B為斜邊的等腰直角三角形，圓心為 (3,3),半徑為3 2, 圓的直角坐標(biāo)方程為(x 3)2+ (y 3)2= 18, 即 x2+ y2 6x 6y= 0, 將x = pcos 0, y= pin 0代入上述方程， 得 p2 6 pcos 0+ sin 0= 0, 即p 4. (2018 西質(zhì)檢

15、)在極坐標(biāo)系中，曲線 C的方程為p2= 1+2sin0,點R2,方. (1)以極點為原點，極軸為 x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，把曲線 C的極坐標(biāo)方 程化為直角坐標(biāo)方程，R點的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)； 設(shè)P為曲線C上一動點，以PR為對角線的矩形 PQRS的一邊垂直于極軸，求矩形 PQRS周長的最小值，及此時P點的直角坐標(biāo). 2 2 解：(1)曲線 C： p =2，即 p2 + 2 p2sin2 0= 3，從而 P cos + p2sin2 0= 1. 1+ 2sin 03 x= pcos 0, y= psin 0, 曲線C的直角坐標(biāo)方程為+ y2= 1, 3 點R的直角坐標(biāo)為R(2,2). 設(shè)

16、 P( . 3cos 0, sin 0, 根據(jù)題意可得 |PQ|= 2 3cos 0 |QR|= 2 sin 0, |PQ|+ |QR|= 4 2sin 0+ 扌, 當(dāng)0= 6時,|PQ|+ |QR|取最小值2 , 矩形PQRS周長的最小值為4 , 此時點p的直角坐標(biāo)為21. 5. (2018南京模擬)已知直線I: pin 0-n = 4和圓C： p= 2kcos B+扌(k豐0),若直線 l上的點到圓C上的點的最小距離等于2.求實數(shù)k的值并求圓心 C的直角坐標(biāo). 解：圓C的極坐標(biāo)方程可化為p= 2kcos 0- 2ksin 0, 即 p2= 2k pcos 0 2k psin 0, 所以圓C

17、的直角坐標(biāo)方程為 x2+ y2 2kx + 2ky= 0, 所以圓心C的直角坐標(biāo)為 六-裁. 直線I的極坐標(biāo)方程可化為psin 0、孑pcos 0 - 2 = 4, 所以直線I的直角坐標(biāo)方程為 x y+ 4 2 = 0, 除+密+ 4邁 所以孑2 |k|= 2. 即 |k+ 4| = 2+ |k| , 兩邊平方，得|k| = 2k + 3 , k0,k0. 設(shè)ti, t2為方程t2 8 2t 32= 0的兩個根， 則 ti + t2= 8寸2, （2）在直角坐標(biāo)系中，以圓C所在極坐標(biāo)系的極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立直 角坐標(biāo)系，點P是圓C上任意一點，Q（5, 3）, M是線段PQ的中點，

18、當(dāng)點P在圓C上 運動時，求點 M的軌跡的普通方程. 解：（1）如圖，設(shè)圓C上任意一點 A（p, 0）,則/ AOC = 0扌或；一仕 由余弦定理得，4+ p2 4pcos 0 n = 4,所以圓C的極坐標(biāo)方程 為 p= 4cos 在直角坐標(biāo)系中，點C的坐標(biāo)為（1, （3），可設(shè)圓C上任意一點P（1 + 2cos a,訴+ 2sin a, 又令M(x, y),由Q(5, 3), M是線段PQ的中點, 6+ 2cos a 得點M的軌跡的參數(shù)方程為 x= 2 2sin a （a為參數(shù)）, 2 X = 3+ cos a, 即(a為參數(shù)), y= sin a 點M的軌跡的普通方程為(x 3)2+ y2=

19、 1. x = 2cos（）, 8.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線Ci的參數(shù)方程為（$為參數(shù)），以原點0 y= sin $ 為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2是圓心在極軸上且經(jīng)過極點的圓，射 線9=扌與曲線C2交于點D 2, 求曲線Cl的普通方程和曲線 C2的直角坐標(biāo)方程; 已知極坐標(biāo)系中兩點 A（ p, 60）, B p, 0+扌,若A, B都在曲線Ci上，求P+P的 值. x= 2cos $, 解：（1）C1的參數(shù)方程為 y= sin $, 2 Ci的普通方程為:+ y2= 1. 由題意知曲線 C2的極坐標(biāo)方程為p= 2acos 0（a為半徑）, 將D 2, n代入，得2= 2a

20、X1, a= 2，圓C2的圓心的直角坐標(biāo)為（2,0）,半徑為2, C2的直角坐標(biāo)方程為（x 2）2+ y2= 4. 22 0 p sin2 0= 1, （2）曲線C1的極坐標(biāo)方程為p cs 0+ 即 p2= 4sin2 0+ cos2 0. 2=4 4sin2 0o+ cos2 0, 2 p = 4s76+ 4 + cos ! 00+ nsin2 0+ 4cos2 0. 2 4sin2 0o+ coS2 0o 4cos2 00+ sin2 % 5 4. 第二節(jié)參數(shù)方程 本節(jié)主要包括2個知識點: 1.參數(shù)方程; 2.參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的綜合問題 突破點（一）參數(shù)方程 抓牢雙基，自學(xué)區(qū) 基本知識

21、 1.參數(shù)方程 一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點的坐標(biāo)X, y都是某個變數(shù)t的函 rf 數(shù)：*X ”t) 并且對于t的每一個允許值，由方程組 r ft 所確定的點M(x，y)都在 y=gt，y=gt 這條曲線上，那么方程 F=ft 就叫做這條曲線的參數(shù)方程，變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參_ iy= gt) 數(shù).相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方 2.直線、圓、橢圓的參數(shù)方程 X = X土 tCOS a, (1)過點M(xo, yo),傾斜角為a的直線l的參數(shù)方程為 i (t為參數(shù)). |y = yo+ tSin a X = Xo+ rcos 0, 圓心在點Mo(

22、X0, yo),半徑為r的圓的參數(shù)方程為i-二(0為參數(shù)). y= yo+ rsin 0 2 2 (3)橢圓存=1(a b 0)的參數(shù)方程為 x= acos 6, y= bSiO（6為參數(shù)）. 基本能力 1.判斷題 x = 一 1 一 t , (1)參數(shù)方程f(t為參數(shù))所表示的圖形是直線.() y= 2+1 X = 3cos a , 直線y= x與曲線. y= 3sin a (a為參數(shù))的交點個數(shù)為1.() 答案：“(2)X 2.填空題 (1)若直線的參數(shù)方程為 x= 1 + 2t , y= 2 3t (t為參數(shù)),則直線的斜率為 3，二 tan 3 a= 2. y 一 2 一 3t 解析：

23、y= x 1 2t 答案：一 2 x = 5cos 6 , 橢圓C的參數(shù)方程為(6為參數(shù)),過左焦點F1的直線l與C相交于A , |y= 3sin 6 B 兩點，貝U |AB|min=， ,x = 5cos 0, 解析：由 |y= 3sin 0 2 2 （0為參數(shù)）得，二+ y 1,當(dāng)AB丄x軸時，AB有最小值.lABImin 259 c 9 18 =2X 9= 答案：18 5 x = sin 0, 曲線C的參數(shù)方程為（0為參數(shù)），則曲線C的普通方程為 y= cos 20 1 “,x= sin 0,2 解析：由（0為參數(shù)）消去參數(shù)0得y= 2x （ 1 xw 1）. y= cos 20 1 答

24、案：y= 2x參數(shù)方程化為普通方程 基本思路是消去參數(shù)， 常用的消參方法有：代入消元法；加減消元法；恒等式（三 角的或代數(shù)的）消元法；平方后再加減消元法等其中代入消元法、加減消元法一般是利 用解方程的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin2 0+ cos2 0= 1等. 普通方程化為參數(shù)方程 （1）選擇參數(shù)的一般原則 曲線上任意一點的坐標(biāo)與參數(shù)的關(guān)系比較明顯且關(guān)系相對簡單；當(dāng)參數(shù)取某一值時， 可以唯一確定x, y的值; （2）解題的一般步驟 （ iw x 0, t 1 或 t 1 時，0VXW 1,當(dāng) t 1 時，一K x0, 220 xw 1 , 所求普通方程為 x2+ y2= 1，其中*或

25、。 0w y1 2 2 1 x0, 1vyW 0. 2 (2) y= 1 + cos 2 0= 1 + 1 2sin 0= 2sin 0, sin 0= x 2,. y= 2x+ 4,. 2x + y 4= 0. 0w sin 0 1 , ow x 2W 1, 2 x 3 , 所求的普通方程為2x+ y 4 = 0(2w x 3). 易錯提醒 (1)將曲線的參數(shù)方程化為普通方程時務(wù)必要注意x, y的取值范圍，保證消參前后方程 的一致性. x, y的取值范圍 (2)將參數(shù)方程化為普通方程時，要注意參數(shù)的取值范圍對普通方程中 的影響. 二 直線與圓錐曲線的參數(shù)方程及應(yīng)用 1解決直線與圓錐曲線的參數(shù)

26、方程的應(yīng)用問題，其一般思路如下： (1) 把直線和圓錐曲線的參數(shù)方程都化為普通方程； (2) 根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系解決問題. 2.當(dāng)直線經(jīng)過點 P(X0, y),且直線的傾斜角為a,求直線與圓錐曲線的交點、弦長問 題時，可以把直線的參數(shù)方程設(shè)成 x = X0+ tcos a, y= y+ tsin a （t為參數(shù)），交點 A, B對應(yīng)的參數(shù)分 別為tl, t2，計算時把直線的參數(shù)方程代入圓錐曲線的直角坐標(biāo)方程，求出 ti + t2, ti 2,得 到 |AB|= |ti t2| =p （ti + t2 f - 4ti t2. 例2(2018石家莊質(zhì)量檢測)已知直線 x= i + 2t,

27、 1:宀（t 為參數(shù))，曲線Ci : x= cos 0, （0為參數(shù)）. y= sin 0 (1)設(shè)I與Ci相交于A, B兩點，求|AB|; (2)若把曲線Ci上各點的橫坐標(biāo)壓縮為原來的 i，縱坐標(biāo)壓縮為原來的 # 得到曲線C2, 設(shè)點P是曲線C2上的一個動點，求它到直線 I距離的最小值. 解(i)l的普通方程為 y =3(x i), Ci的普通方程為 x2 + y2 = i，聯(lián)立，得 的交點坐標(biāo)分別為(i,0), i, 23 ,所以 AB| = i 2cos 0 （2）C2的參數(shù)方程為 3 . y= 2 sin 0/r 、 (0為參數(shù))，故點P的坐標(biāo)是2cos 0,兮sin 0 , I 0

28、| COS0-申sin 00,故可設(shè)t1, t2是上述方程的兩實根, 又直線I過點P(3,5), 故由上式及t的幾何意義得|PA|+ |PB|=|t!| + |t2|= t1 + t2= 3 2. 2.考點一、二(2018鄭州模擬)將曲線C1： x2+ y2= 1上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的 一2倍(縱坐標(biāo)不變)得到曲線C2, A為C1與x軸正半軸的交點，直線l經(jīng)過點A且傾斜角為 30,記l與曲線C1的另一個交點為 B,與曲線C2在第一、三象限的交點分別為C, D. (1) 寫出曲線C2的普通方程及直線l的參數(shù)方程； (2) 求|AC|- |BD|. (t為參數(shù)). 2 代入 丁 + y2=

29、1, 整理得 5*+ 4 3t- 4 = 0. 設(shè)點C, D對應(yīng)的參數(shù)分別為如t2,則 a + 1 當(dāng)a v 4時，d的最大值為一. in 0 點O, A, B的圓C1的極坐標(biāo)方程為p= 2 2cos 0- n . x = 1 + acos 0,222 (2)圓C2： f(0是參數(shù))對應(yīng)的普通方程為(x+ 1) + (y+ 1) = a ,圓心 ly= 1 + asin 0 為(一1, 1)，半徑為|a|,而圓C1的圓心為(1,1)，半徑為.2,所以當(dāng)圓C1與圓C2外切時， 有 2+ |a|= . 1 1 2+ 1 1 2,解得 a = 2. x= 1+ cos 0, 3. (2018湖北宜昌

30、模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線I: y= x,圓C： ly= 2 + sin 0 (0為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1) 求直線I與圓C的極坐標(biāo)方程； (2) 設(shè)直線I與圓C的交點為 M , N，求 CMN的面積. 解: (1)將C的參數(shù)方程化為普通方程為(x+ 1)2+ (y+ 2)2= 1,極坐標(biāo)方程為p2+ 2 poos 0 + 4 psin 0+ 4= 0. 直線I: y= x的極坐標(biāo)方程為 0= n( p R). 圓心到直線的距離 d= 1-苕2|=誓， - |MN|= 21 -1 = 2, CMN 的面積 S= 1X 2X* =1. 2 2 2

31、4.（2018豫南九校聯(lián)考）在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)傾斜角為 a的直線I: X = 2 + tcos a, y= . 3+ tsin a x= 2cos 0, （t為參數(shù)）與曲線C : （ 0為參數(shù)）相交于不同的兩點A, B. y= sin 0 （1）若a= n，求線段AB的中點M的坐標(biāo)； 3 若|PA|PB|= |OP|2,其中P（2, - 3）,求直線l的斜率. 2 解：（1）將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程是 x+y2= 1. 4 當(dāng)a= 3時，設(shè)點M對應(yīng)的參數(shù)為t0. 1 x = 2 + 2t, 直線l的方程為（t為參數(shù)）, ly=V3+李 2 代入曲線C的普通方程+ y2= 1，得13

32、t2+ 56t+ 48= 0, 設(shè)直線l上的點A, B對應(yīng)參數(shù)分別為t1, t2. t1 土 t? 2 28 13 所以點M的坐標(biāo)為瑕，器. x= 2 + tcos a, 號=73 + tsin a 2 代入曲線C的普通方程x + /= 1, 4 得(cos2 a+ 4sin2 a)t2 + (8 , 3sin a+ 4cos a)t+ 12= 0, 因為 |PA| |PB|= |t1t2|= 12 cos a+ 4sin a |OP|2= 7, 所以 12 cos a+ 4sin a =7,得 tan a= 5 16. 2 由于 = 32cos a(2 , 3sin a cos a)0 ,

33、故tan %=專所以直線|的斜率為嚴(yán). 4 4 x = t, 5. (2018 西百校聯(lián)盟模擬)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，Ci：(t為參數(shù)).以 y= k(t 1 ) 原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C2： p2 + 10 pcos 0 6 psin 0 + 33= 0. (1) 求C1的普通方程及 C2的直角坐標(biāo)方程，并說明它們分別表示什么曲線； (2) 若P, Q分別為C1, C2上的動點，且|PQ|的最小值為2,求k的值. x= t, 解：(1)由可得其普通方程為 y= k(x 1)，它表示過定點(1,0),斜率為k的 y= k(t 1) 直線. 由 P2+ 10

34、 pcos 0 6psin 0+ 33= 0可得其直角坐標(biāo)方程為x2+ y2 + 10 x 6y+ 33= 0,整 理得(x+ 5)2+ (y 3)2= 1,它表示圓心為(一5,3),半徑為1的圓. | 6k一 3|6k + 3| (2)因為圓心(一5,3)到直線y= k(x 1)的距離d=:2 -2,故|PQ|的最小值為 1 + k 寸1 + k |：k + 32 1，故 k+ 3 1 = 2,得 3k2+ 4k= 0,解得 k= 0 或 k= . 1 + k21+ k23 6. (2018湖南岳陽模擬)已知曲線C的極坐標(biāo)方程為p= 6sin 0,以極點O為原點，極 一一x = 1 + at, 軸為x軸的非負(fù)半軸建立直角坐標(biāo)系，直線I的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). Iy= 1 +1 (1) 求曲線C的直角坐標(biāo)方程及直線 I的普通方程； 直線I與曲線C交于B, D兩點，當(dāng)|BD|取到最小值時，求 a的值. 解：(1)曲線C的極坐標(biāo)方程為p= 6sin 0, 即p2= 6 ein 0,化為直角坐標(biāo)方程：x2+ y2= 6y, 配方為：x2 + (y 3)2= 9,圓心 C(0,3)，半徑 r= 3. x = 1 + at, 直線I的參數(shù)方程為(t為參