赫爾德不等式和閔科夫斯基不等式的證明精品名師資料

1、holder 不等式與 minkowski 不等式的證明赫德(holder)不等式是通過 young 不等式來證明的,而閔可夫斯基(minkowski)不 等式是通過赫德(holder)不等式來證明的.young 不等式如果 x,y0,實數(shù) p1以及實數(shù) q滿足 1 p +1 q =1,那么有1 p x p +1 q y q xyyoung 不等式的證明證明: 注意到 1 p +1 q =1 ,所以(x y q1 ) p =x p y q ,于是原不等式兩邊同時除以 y q ,再令 t=x yq1,顯然 t0 原不等式等價為令 f(t)=1 p t p +1 q t1 p t p +1 q t

2、,求導(dǎo)得 f (t)=t p1 1因為 p1 ,所以f (t)=t p1 1 在(0,1 上遞減,在(1,+) 在 t=1時取到,即上遞增,所以 f(t)的最小值f(t)f(1)=1 p +1 q 1=0,t0于是,young 不等式得證,等號成立條件 x=y 赫德不等式(holder)q1.如果 a 1 ,a 2 ,a n ,b 1 ,b 2 ,b n 滿足 1 p +1 q =1,那么有都是非負實數(shù),實數(shù) p1以及實數(shù) q( i=1 n a p i ) 1 p ( i=1 n b q i ) 1 q i=1 n a i b i赫德不等式的證明證明:記 s=( i=1 n a p i ) 1

3、 p ,t=( i=1 n b q i ) 1 q , s p = i=1 n a p i ,t q = i=1 n b q i 由此得那么我們有 i=1 n a p i s p =1, i=1 n b q i t q =1對于給定的 i1,2,n,利用 young 不等式, 可得a i b i st 1 p a p i s p +1 q b q i t q將 i取遍 1,2,n并求和,得到 i=1 n a i b i st 1 p i=1 n a p i s p +1 q i=1 n b q i t q =1 p +1 q =1 即得 i=1 n a i b i st=( i=1 n a p

4、 i ) 1 p ( i=1 n b q i ) 閔可夫斯基不等式(minkowski)1 q如果 a 1 ,a 2 ,a n ,b 1 ,b 2 ,b n都是非負實數(shù)且實數(shù) p1,那么有( i=1 n a p i ) 1 p +( i=1 n b p i ) 1 p ( i=1 n (a i +b i ) p ) 閔可夫斯基不等式的證明1 p證明:令正實數(shù) q滿足 1 p +1 q =1,由 holder 不等式,我們有 i=1 n a i (a i +b i ) p1 ( i=1 n a p i ) 1 p ( i=1 n (a i +b i ) (p1)q )1 q注意到 1 p +1

5、q =1,可得 q(p1)=p,于是由上面的不等式得 i=1 n a i (a i +b i ) p1 ( i=1 n a p i ) 1 p ( i=1 n (a i +b i ) p ) 1 同理可得1 p i=1 n b i (a i +b i ) p1 ( i=1 n b p i ) 1 p ( i=1 n (a i +b i ) p ) 1 兩不等式相加,即得1 p i=1 n (a i +b i ) p ( i=1 n a p i ) 1 p +( i=1 n b p i ) 1 p )( i=1 n (a i +b i ) p ) 11 p兩邊同時除以( i=1 n (a i +b i )