相似三角形培優(yōu)訓(xùn)練含答案

1、相似三角形培優(yōu)訓(xùn)練(含答案) 相似三角形分類提高訓(xùn)練 一、相似三角形中的動點問題 1如圖，在 RtAABC中，/ ACB=90, AC=3, BC=4,過點 B作射線 BB1/ AC.動 點D從點A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個單位的速度運動，同時動點E從點C 沿射線AC方向以每秒3個單位的速度運動過點 D作DH丄AB于H,過點E作 EF丄AC交射線BB1于F, G是EF中點，連接 DG.設(shè)點D運動的時間為t秒. (1) 當t為何值時，AD=AB,并求出此時 DE的長度； (2) 當 DEG與厶ACB相似時，求t的值. 2如圖，在 ABC中，/ ABC= 90 AB=6m, BC=8m,動點P以

2、2m/s的速度從 A點出發(fā)，沿 AC向點C 移動.同時，動點 Q以1m/s的速度從C點出發(fā)，沿CB向點B移動.當其中有一點到達終點時，它們 都停止移動設(shè)移動的時間為t秒. (1) 當t=2.5s時，求 CPQ的面積； 求厶CPQ的面積S (平方米)關(guān)于時間t (秒)的函數(shù)解析式； (2) 在P, Q移動的過程中，當 CPQ為等腰三角形時，求出t的值. 3 / 25 3如圖1,在 RtA ABC中，三ACB= 90 AC= 6, BC= 8，點D在邊 AB上運動，DE平分三CDB交邊BC 于點E, EM丄BD,垂足為 M , EN丄CD,垂足為 N. (1) 當 AD= CD時，求證：DE /

3、AC; (2) 探究：AD為何值時， BME與厶CNE相似？ 4如圖所示，在 ABC中，BA= BC= 20cm , AC= 30cm，點P從A點出發(fā)，沿著 AB以每秒4cm的速度向B點運動；同時點 Q從C點出發(fā)，沿 CA以每秒3cm的 速度向A點運動，當P點到達B點時，Q點隨之停止運動.設(shè)運動的時間為x. (1)當x為何值時，PQ/ BC? (2) APQ與厶CQB能否相似？若能，求出 AP的長；若不能說明理由. 5如圖，在矩形 ABCD中，AB=12cm, BC=6cm,點P沿AB邊從A開始向點B以2cm/s的速度移動；點 Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度移動.如果 P、Q同時

4、出發(fā)，用t (s)表示移動的時間(0 v t v 6) o (1) 當t為何值時， QAP為等腰直角三角形？ (2) 當t為何值時，以點 Q、A、P為頂點的三角形與 ABC相似？ 二、構(gòu)造相似輔助線一一雙垂直模型 6. 在平面直角坐標系 xOy中，點A的坐標為(2, 1),正比例函數(shù)y=kx的圖象與線 段OA的夾角是45求這個正比例函數(shù)的表達式. 7. 在厶ABC中，AB=，AC=4, BC=2,以AB為邊在C點的異側(cè)作 ABD,使厶ABD為等腰直角三角形, 求線段CD的長. 8. 在 ABC中，AC=BC / ACB=90,點 M是AC上的一點，點 N是BC上的一點，沿 著直線MN折疊，使得

5、點 C恰好落在邊 AB上的P點.求證：MC: NC=AP: PB. 相似三角形培優(yōu)訓(xùn)練（含答案） 9. 如圖，在直角坐標系中，矩形 ABC0的邊OA在x軸上，邊0C在y軸上，點 B的坐標為（1，3），將矩形沿對角線 AC翻折B點落在D點的位置，且 AD交 y軸于點E.那么D點的坐標為（） (4 (1 (1 13 (3 A. B. C. D. 1 丁門 Q L 2 1亍$丿 10. 已知，如圖，直線 y=-2x+ 2與坐標軸交于 A、B兩點.以AB為短邊在第一象限做一個矩形ABCD, 使得矩形的兩邊之比為 1 : 2。求C、D兩點的坐標。 求證： AC DF 三、構(gòu)造相似輔助線一一A、X字型 1

6、1.如圖： ABC中，D是AB上一點，AD=AC, BC邊上的中線 AE交CD于F。 12.四邊形ABCD中，AC為AB、AD的比例中項，且 AC平分/ DAB。 十、工購 BC2 求證：_ DE CD2 13.在梯形ABCD中，AB/ CD, AB= b, CD= a, E為AD邊上的任意一點, EF交BC于點F, DE 1 (1)當-時, 當 上時, 某同學(xué)在研究這一問題時，發(fā)現(xiàn)如下事實： a + hDEa + 2b EF；當一時，EF= _;； a + 3bDE t EF=.當時，參照上述研究結(jié)論，請你猜想用 表示EF的一般結(jié)論，并給出證明. # / 25 相似三角形培優(yōu)訓(xùn)練(含答案)

7、14. 已知：如圖，在 ABC中，M是AC的中點，E、F是BC上的兩點，且 BE= EF= FG 求 BN： NQ: QM. 15. 證明：（1）重心定理：三角形頂點到重心的距離等于該頂點對邊上中線長的.（注：重心是三角形 三條中線的交點）（2）角平分線定理：三角形一個角的平分線分對邊所成的兩條線段與這個角的兩鄰邊 對應(yīng)成比例. 7 / 25 17已知：如圖，梯形 分別交AD BC于E、 四、相似類定值問題 16. 如圖，在等邊 ABC中，M、N分別是邊AB, AC的中點，D為MN上任意一點，BD、CD的延長線分 113 別交AC AB于點E、F.求證：- CE EF AB ABCD中，AB/

8、DC，對角線 AC、BD 交于 0,過 O 作 EF/AB 亠 11. F。求證：_ ABC 19已知，在 ABC中作內(nèi)接菱形 CDEF設(shè)菱形的邊長為 a.求證: 18.如圖，在厶ABC中，已知CD為邊AB上的高，正方形EFGH的四個頂點分別在 上。 求證： 1 1 _ 1 * CD 商 圈1 立， 理由 僅以 例進 或說 屋2 五、相似之共線線段的比例問題 20. (1)如圖1,點產(chǎn)在平行四邊形 ABCD的對角線BD上，一直線過點 P分別交BA, BC的延長線于點 Q, S,交于點.求證：-: (2)如圖2，圖3,當點F在平行四邊形 ABCD的對角線匯或二三的延長線上時，1飛 鳥是否 成立？

9、若成立，試給出證明；若不成 試說明 (要求 圖2為 行證明 明)； 21.已知：如圖， ABC中，AB = AC, AD是中線，P是AD上一點，過 2 BP 交 AC于 E,交 CF于 F.求證：BP = PE- PF . .如圖，已知 ABC中，AD，BF分別為BC, AC邊上的高，過 D作AB的垂線交 AB于E，交BF于G， 交AC延長線于H。求證：DE=EG?EH 23. 已知如圖，P為平行四邊形 ABCD的對角線AC上一點，過P的直線與AD、BC CD的延長線、AB的 延長線分別相交于點 E、F、G、H. PE PH 求證： PF PG 24. 已知，如圖，銳角 ABC中，AD丄BC于

10、D, H為垂心（三角形三條高線的交點）；在AD上有一點P， 且/ BPC為直角. 求證：PD= AD- DH。 相似三角形培優(yōu)訓(xùn)練(含答案) ED的延長線交CA ED的延長線與 CB的延長 六、相似之等積式類型綜合 25. 已知如圖，CD是RtA ABC斜邊AB上的高，E為BC的中點, 于F。 求證：: 26如圖，在RtA ABC中，CD是斜邊AB上的高，點 M在CD上, DH丄BM且 與AC的延長線交于點 E.求證：(AEA CBM;( 2) 27. 如圖， ABC是直角三角形，/ ACB=90, CD丄AB于D, E是AC的中點, 線交于點F. (1) 求證：匸二二. (2) 若G是BC的

11、中點，連接 GD, GD與EF垂直嗎？并說明理由. 28. 如圖，四邊形ABCD DEFG都是正方形，連接AE、CG,AE與CG相交于點 M , CG與AD相交于點N .求 證： 29. 如圖，BD CE分別是 ABC的兩邊上的高，過 D作 DG丄BC于G,分別交CE及BA的延長線于 2 七、相似基本模型應(yīng)用 30. ABC和厶DEF是兩個等腰直角三角形，/ A=Z D=90 DEF的頂點E位于 邊BC的中點上. (1) 如圖1 ,設(shè)DE與AB交于點 M , EF與AC交于點N,求證： BEMsCNE; (2) 如圖2，將 DEF繞點E旋轉(zhuǎn)，使得 DE與BA的延長線交于點 M , EF與AC

12、交于點N,于是，除(1)中的一對相似三角形外，能否再找出一對相似三角形 并證明你的結(jié)論. F、H。求證：(1) DG= BG- CG (2) BG- CG= GF- GH 31. 如圖，四邊形 ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點 R為DE的中點，BR分別交AC、CD于點P、 Q. (1) 請寫出圖中各對相似三角形(相似比為1除外)； (2) 求 BP: PQ: QR. 11 / 25 32.如圖，在 ABC中，AD丄BC于D, DE丄AB于E, DF丄AC于F。求證: AE AF AC 答案：1答案：解：(1) / Z ACB=90 , AC=3, BC=4 / AB=5 又 AD=A

13、B, AD=5t t=1，此時 CE=3 DE=3+3-5=1 (2) /7 f /) :D 2 3 如圖當點 D在點E左側(cè)，即：0 W t W 時，DE=3t+3-5t=3-2t . 2 若厶DEG與厶ACB相似，有兩種情況： DE _ EG 即：-,求得: 34 3 t= DE EG 77， DE3A BCA,此時 如圖，當點D在點E右側(cè)，即: 1 ：； 3 t _ 時，DE=5t-(3t+3)=2t-3. 若厶DEG與厶ACB相似，有兩種情況： DE EG DE3A ACB,此時. 相似三角形培優(yōu)訓(xùn)練（含答案） 2-329 即：一，求得：匸一； 3 44 -DEEG 日n戲一?2十/曰

14、17 即：，求得：t= . 4 36 3 1917 綜上，t的值為或或或 . 4 646 3答案：解：(1)證明：/ AD=CD / A=Z ACD DE平分一 CDB交邊BC于點E / CDE=Z BDE / CDB CDB的一個外角 / CDB=Z A+Z ACD=2/ ACD / Z CDB=Z CDE+Z BDE=2Z CDE Z ACD=Z CDE DE/ AC (2) Z NCE=Z MBE / EM 丄 BD, EN丄 CD, BMEscne,如圖 A D M B / Z NCE=Z MBE BD=CD 又/ Z NCE+Z ACD=Z MBE+Z A=90 Z ACD=Z A

15、AD=CD 1 AD=BD= AB 2 在 RtA ABC中，二 ACB= 90； AC= 6, BC= 8 AB=10 AD=5 Z NCE=/ MEB / EM 丄 BD, EN丄 CD, BMEs enc,如圖 / Z NCE=Z MEB EM / CD CD 丄 AB 在 RtA ABC中，二 ACB= 90 , AC= 6, BC= 8 AB=10 / A=Z A, / ADC=/ ACB ACM ABC AD _ AC -厶 孑廠 AC26318 AB W 5 18 綜上：AD=5或一時， BME與厶CNE相似. 5 4答案：解(1)由題意：AP=4x, CQ=3x AQ=30-3

16、x, AP _ AQ4皐_和一弘 當 PQ/ BC時，-1-，即：二 - 10 X 解得： 40 （2）能,AP=cm 或 AP=20cm 丿尸AQ 鯨 30-3a APQsACBQ 貝U ： 二，即一、 二 解得：或（舍） 此時：AP=- cm AP AQ 4 不 30-3a APQsACQB,貝U J，即- 10 解得：（符合題意） 40 此時：AP= - cm 40 故AP= ： cm或20cm時， APQ與厶CQB能相似. 5答案：解：設(shè)運動時間為 t，貝U DQ=t, AQ=6-t, AP=2t, BP=12-2t. （1）若厶QAP為等腰直角三角形，則 AQ=AP,即：6-t=2t

17、 , t=2 （符合題意） t=2時， QAP為等腰直角三角形. (2) / B=Z QAP=90 億 AP 6-i 當厶QAQA ABC時， L ：，即： 12 飛 6 i = 一 解得：（符合題意） ; AP AQ 21 6-t 當厶PAQ ABC時， AB -?，即： H = 6 解得：（符合題意） 當 -或 時，以點Q、A、P為頂點的三角形與 ABC相似. 6答案：解：分兩種情況 第一種情況，圖象經(jīng)過第一、三象限 31 / 25 過點A作AB丄0A,交待求直線于點 B,過點A作平行于y軸的直線交x軸于點C,過點B作BD丄AC 則由上可知：=90 由雙垂直模型知： OCQ ADB 0C

18、_ AC _ 0A .亠丄二 / A （2, 1）,山OB = 45 0C= 2, AC= 1, A0= AB AD= 0C= 2, BD= AC= 1 D點坐標為（2, 3） B點坐標為（1, 3） 此時正比例函數(shù)表達式為：y = 3x 過點A作AB丄0A,交待求直線于點 B,過點A作平行于x軸的直線交y軸于點C,過點B作BD丄AC 則由上可知：=90 由雙垂直模型知： 0CW ADB PC _ AC _ 0A 亠 / A （2, 1） , = 45 0C= 1, AC= 2, A0= AB AD= 0C= 1 , BD= AC= 2 D點坐標為（3, 1） B點坐標為（3,- 1） 1 此

19、時正比例函數(shù)表達式為：y = - x 11 嚴 7答案：解：情形一:翅國如當上= 時: 連援CDr過點D作AC邊上的高線DEr交CA的延| 線于點E* T AB=li AC=t BC=2 二 AC+BCAB- 又丁 DE ICE f 沖購為等靈直角三角形宅 二 AD=.4B ti ED.i_E：iD= 907 .加（?-丄9=90- - S3 空乂B* :.AE=BC=2 DHd 二 在珂厶DEC中匚。=JB Y：己Ji3 情形二: !Hi a 4-it 連接CD.遺點Q作號(?邊上的高線QP交U3対 延悵線于I 過點衛(wèi)臨宜裟PD邊上的髙蕓AO, 交円？于點6 丁 AB=24i* MO4* 3

20、02 /. AC2+BC2-ABF ZCff-90D 屮 又丁 DE-CEt心妙為蒔星直角三甬形- :、AD=BD ZR p= 9(T ， + 商+丄3 90: 二QDAyEDPTQ /.an=_HDP QAD :、AQ=DP DQ=BP- 8答案：證明：方法 連接PC,過點P作PD丄AC于D,貝U PD/BC 根據(jù)折疊可知MN丄CP / / 2+ / PCN=90 , / PCN+Z CNM=90 / 2= / CNM / / CDP=Z NCM=90 PD3 MCN MC: CN=PD DC / PD=DA MC: CN=DA DC / PD/BC DA: DC=PA PB MC: CN=

21、PA PB 方法二：如圖, 過M作MD丄AB于D,過N作NE丄AB于E 根據(jù)等比性質(zhì)可知 PD _ PM 旋_而 MD 由雙垂直模型，可以推知 PMDs NPE, U - PR 二空，而 MD=DA, NE=EB PM=CM, PN=CN, MC: CN=PA PB 丹十測 PIT 9答案：A 由于折疊，可以得到 ABGA ADC, 又由B（ 1，3） M，交x軸于點N, 貝U / M= / DNA=90 , / CDA=/ B=90 BC=DC=1 AB=AD=MN=3 / 1+Z 2=90 / / DNA=90 / 3+/ 2=90 / 仁/ 3 DMCs AND, CM DM CD 1

22、Z.V 丄二: 設(shè) CM=x,則 DN=3x, AN=1 + x, DM =? * 3x+= 3 - 4 x= x軸于F,交GC的延長線于E。 過點C作x軸的平行線交y軸于G,過點D作y軸的平行線交 /直線y= - 2x+ 2與坐標軸交于 A、B兩點 A (1,0), B (0,2) OA=1, OB=2, AB=.A / AB: BC=1:2 BC=AD= / / ABO+/ CBG=90 , / ABO+/ BAO=90 / CBG=/ BAO 又/ / CGB=/ BOA=90 OABs GBC QA GS 1 二匚二 L GB=2, GC=4 GO=4 二 C (4,4) 同理可得 A

23、DFs BAO,得 OA DF 1 - DF=2, AF=4. 0F=5. D (5,2) OB AF 2 11.答案：證明：(方法一)如圖 延長AE到M使得EM=AE，連接CM / BE=CE / AEB=Z MEC BEA CEM CM=AB, / 仁/ B AB / CM / M= / MAD, / MCF=Z ADF MCFs ADF CF CM 一 / CM=AB, AD=AC OF CM _AB DF ADAC (方法二) ”E 過D作DG/ BC交AE于G 則厶 ABEA ADG, CEFS DGF AB _ BE CF _ CE / AD=AC, BE=CE CF BE AB

24、12.答案: 證明: AB 過點D作DF/ AB交AC的延長線于點 F,則/ 2=Z 3 / AC 平分 / DAB / 1 = / 2 / 1 = / 3 AD=DF / DEF=Z BEA / 2=Z 3 BEA DEF BE _A8 丄三 F / AD=DF BE _ AB 二 亠 / AC為AB、AD的比例中項 丄一 AD _ AC 即 又/ /仁/2 ACM ABC AD _ AC _ CD .丄-K BC2 _AS-AC_ AB .37-_ 7? BCf2 _ BE 37-三 13.答案：解：=- 嚴廠? 證明: A 4-1 D 0 過點E作PQ/ BC分別交BA延長線和DC于點P

25、和點Q / AB / CD, PQ/ BC 四邊形PQCB和四邊形EQCF是平行四邊形 PB= EF= CQ, DQ_DE_ IF 又 AB= b, CD= a AP= PB-AB= EF-b, DQ= DC-QC= a-EF EF = i-rl 14.答案：解: 連接MF M是AC的中點，EF= FC 1 MF / AE 且 MF =BEINA BFM. BN: BM = BE: BF= NE: MFv BE= EF. BN: BM= NE: MF 2 =1:2 BN: NM = 1:1 設(shè) NE= x,貝MF = 2x, AE= 4x. AN= 3x： MF / AEa NAQs MFQ

26、NQ： QM =AN : MF= 3:2 / BN: NM = 1:1 , NQ: QM = 3:2. BN: NQ: QM = 5:3:2 15答案：證明：（1）遢1 如圖1, AD、BEABC的中線，且 AD BE交于點 O 過點C作CF/ BE,交AD的延長線于點 F CF/ BE且E為AC中點 / AEO= / ACF, / OBD= / FCD, AC= 2AE / / EAO= / CAF AEOs ACF SO _AE .了 1 / D 為 BC的中點，/ ODB= / FDC BODA CFD BO= CF EQ A .二 L BQ _2 口 1 同理，可證另外兩條中線 2 三

27、角形頂點到重心的距離等于該頂點對邊上中線長的 如圖2, AD為厶ABC的角平分線 過點C作AB的平行線CE交AD的延長線于E 則 / BAD=Z E ADABC的角平分線 / BAD=Z CAD / E=Z CAD AC= CE / CE/ AB BA CED AB _ BD .二二 AB _ BD 匚二二 B p O C 16. 答案：證明：1 如圖，作 DP/ AB, DQ/ AC 則四邊形MDPB和四邊形NDQC均為平行四邊形且 DPQ是等邊三角形 BP+CQ= MN , DP= DQ= PQ / M、N分別是邊AB, AC的中點 MN =二 BC= PQ / DP/ AB, DQ /

28、AC CDP CFB BDQ BEC DP _ CP DQ_ BQ .二 A , :.S 二 DP DQ_CP BQ _BC-PQ _3 .汀- 丄 DP= DQ= PQ=BC= _ AB 1113 _+ 二 AB ( _ _-)=- 11 _ 3 17. 答案：證明：/ EF/AB, AB/DC EF/DC AOE ACD, DOEA DBA EQ CD AE ad EQ AB DE AD FQ EQ AE DE += + I CD AB AD AD 1 1 +二 1 AB CD RO 18. 答案：證明：/ EF/ CD, EH/ AB .4FE二乙ADC , CEH=ZA 二厶4= AB

29、C A ? AFEA ADC, CEHA CAB AE _ EF GE _ EH 匚二二 , / EF= EH EH _EF_GE AE 1 1 1 += 匚匚二二7 19. 答案：證明：/ EF/ AC, DE/ BC . _1 ? BFEA BCA, AEDA ABC BE _ EF DE _AE .匸丄二，二 站 EF 嚴 BE 嚴 _ Aff + BE _ / EF= DE= a 1 1 _ 1 .AClCa 20. 答案：（1）證明：在平行四邊形 ABCD中，AD/ BC, / DRP=Z S, / RDB=/ DBS DRP BSP PR DP 二 .FE BP 同理由AB/ CD

30、可證 PTAPQB PT _ DP .PQP PR PT 態(tài)二瓦 PQ PR = PS PT (2)證明：成立，理由如下:在平行四邊形 ABCD中，AD/ BC, / PRD=Z S, / RDP=/ DBS DRP BSP PR _ DP 同理由AB/ CD可證 PTAPQB PT_DP PR_PT_ 21. 答案：證明： / AB= AC, AD 是中線, AD丄 BC,BP=CP / 1 = / 2 又/ / ABC=/ ACB / 3= / 4 / CF/ AB / 3= / F/ 4=/ F 又/ / EPC玄 CPF EP3A CPF bP=PE PF即證所求 22. 答案：證明：

31、/ DE丄AB =90 .二三遼+二上=go 二三 二V三二=匚二三 ADEs DBE AB _ DE 匸匸二 DE2= AE-BE / BF丄 AC =90 .= go 且BGE=ZHGF .ABED=/1DEA BE3A HEA BE _ EG 三二亠匸 V三=三口 二工. dE2=EGEH B 23. 答案：證明: 四邊形ABCD為平行四邊形 AB/ CD, AD/ BC / 1 = / 2, / G=Z H, / 5=/ 6 PAIHA PCG PH PA ra =2 又 / 3=/ 4 APEA CPF PE PA .訃=譏 .廠卩 rc 24.答案：證明：如圖，連接 BH交AC于點

32、E, PE PH T H為垂心 BEX AC / EBC+Z BCA=90 / AD丄 BC于 D / DAC+/ BCA=90 / EBC=Z DAC 又 / BDH=/ ADC=90 BDHs ADC BD 丄丄丄丄-，即 二一 一心一亠八丄二/ / BPC為直角，ADX BC. PD2= BDDC PD2= ADDH 25. 答案：證明：/ CD是RtA ABC斜邊AB上的高，E為BC的中點 ce=eb=de / B=Z BDE=/ FDA / / B+Z CAB=90 , / ACD+Z CAB=90 Z B=Z ACD Z FDA=Z ACD / Z F=Z F FDAs FCD F

33、D _AD 工-二 / Z ADC=Z CDB=90 , Z B=Z ACD ACM CBD AD _ AC 二-二 FD _ AC 二-A 即占匚：F=：C D7 26. 答案：證明：（1） / Z ACB= Z ADC= 90 Z A+ Z ACD= 90 Z BCM+ Z ACD= 90 Z A= Z BCM 同理可得： Z MDH = Z MBD / Z CMB= Z CDB+ Z MBD = 90 Z MBD Z ADE= Z ADC+ Z MDH = 90 + Z MDH Z ADE= Z CMB AEA CBM AE AD （2）由上問可知：CM ,即 AS CM二 AD CE 故只需證明-二一 二 二即可 / Z