2015-2016學年河北省滄州市高一(下)期末數(shù)學試卷(解析版)

1、2015-2016學年河北省滄州市高一（下）期末數(shù)學試卷一、選擇題：本大題共 12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只 有一個是符合題目要求的。1.在 ABC 中，a=3, b=5 , sinA=-，貝U sinB=(2.15直線.:x - y+仁0的傾斜角是（兀c.3在正項等比數(shù)列2兀an中，若12c.C.6a?=2,D.-7a4 - a3=4，則公比為（4.若 a b,則下列不等式成立的是（第1頁（共16頁）A. a2 b2設變量x, y滿足約束條件，則的取值范圍是（二B. - 5,5 (,0) U+8) C. ( 8, 5 U D . - 5, 0)C. lga Ig

2、b Da則I與m的位置關系是5. 若直線I /平面a直線m?A . l / m B . l 與 m 異面C. l與m相交 D. l與m沒有公共點6. 已知等差數(shù)列an滿足a2+a7=a5+3，則a4=()A . 2 B. 3 C. 4 D. 57. 下列說法正確的是（）A .圓臺是直角梯形繞其一邊旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體B .棱臺的上下底面一定相似，但側(cè)棱長不一定相等C.頂點在底面的投影為底面中心的棱錐為正三棱錐D .圓錐是直角三角形繞其一邊旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體8輪船A和輪船B在中午12時離開海港C,兩艘輪船航行方向的夾角為120輪船A的航行速度是25海里/小時，輪船B航行速度是15海里/小時，下午2時兩

3、船之間的距離是( )C . 35 一；海里 D . 70海里A . 35海里 B . 35 . “海里10 .已知某幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可得此幾何體的體積為（）()A. 4B. 5C. 6D. 7d-1 i)ffit* 需M斡崛fT：17C.11已知點P為線段y=2x , x 2, 4上任意一點，點 一動點，則線段| PQ|的最小值為()A .佰1 B .C.叭;- D .呵Q 為圓 C： (x - 3) 2+ (y+2) 2=1 上12.已知數(shù)列an , bn滿足31 = 1 ,anbn=1，則使bn 63的最小的n為二、填空題：本大題共4小題。每小題5分，共20分.13.

4、關于x的不等式x2- 2ax - 8a2 0, n 0且滿足2m +3n=2，則-+二的最小值是 .zd n16. 已知三棱錐 A - BCD中，AC=BD=BC=AD=林二，AB=DC= . :,則該三棱錐外接球的體積為.三、解答題：本大題共 6小題，共70分。解答寫出文字說明、證明或驗算步驟17. 已知直線 11： 2x - y+1=0 , I2: ax+4y - 2=0.(I )若11丄12，求a的值；(n )若h / 12，求a的值，并求出l1與l2間的距離.18. 如圖，已知平面 APD 丄平面 ABCD ,AB / CD , CD=AD=AP=4 ,AB=2 ,AD 丄 AP,CB

5、=2 一 -.(I )求證：CD丄AP;第4頁(共16頁)19. 已知銳角 ABC的內(nèi)角分別為 A , B, C,其對邊分別為 a, b, c,向量= (2sinB ,- V3), |jrt= (cos2B, cosB),且 ir/U.(I )求角B的大??；(n)若b=.求厶ABC的周長的最大值.20. 如圖，直三棱柱 ABC - A1B1C1的各條棱長均為 4, D是側(cè)棱CCi的中點.(I )在線段ABi上是否存在一點 M,使得DM /平面ABC，若存在，求出 AM的長若 不存在，請說明理由；(n )求ABi與平面ACC iAi所成角的正弦值.bn=an21. 已知數(shù)列an滿足 an+i=3

6、an+1, n N*, ai=i,(I )證明bn是等比數(shù)列，并求bn的通項公式；(n ) 若 Cn=2n，求數(shù)列 Cn?bn的前n項和Sn.22. 已知 A (- 1, 0), B (1 , 0),圓 C： x2- 2kx+y2+2y- 3k2+15=0.(I )若過B點至少能作一條直線與圓C相切，求k的取值范圍.(n )當k=三羋時，圓C上存在兩點P1, P2滿足/ APjB=90 (i=1 , 2),求| P1P2I的長.2015-2016學年河北省滄州市高一（下）期末數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共 12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只 有一個是符

7、合題目要求的。1 .在 ABC 中，a=3, b=5 , sinA=-，貝sinB=（）B .二 C. J D. 1【考點】【分析】【解答】正弦定理.由正弦定理列出關系式，將a, b及sinA的值代入即可求出 sinB的值.解：T a=3, b=5, sinA=,由正弦定理得：sin b=怦泌=5晉再.故選B2 .直線.:x - y+仁0的傾斜角是（）兀兀2兀5兀A. B. C.D . _一【考點】直線的傾斜角.【分析】把直線的方程化為斜截式，求出斜率，根據(jù)斜率和傾斜角的關系，傾斜角的范圍， 求出傾斜角的大小.【解答】 解：直線y+1=0即y=.衆(zhòng)+1，故直線的斜率等于.二 設直線的傾斜角等于

8、a,則 0 W aV n,且 tana=J5,故 a=60 故選B .3.在正項等比數(shù)列an中，若a2=2, a4- a3=4,則公比為（1 JjA. 2 B. 1 C. 一 D.斤【考點】 等比數(shù)列的通項公式.【分析】利用等比數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)即可得出，【解答】 解：設正項等比數(shù)列為的公比為q 0,t a2=2 , a4 - a3=4,.-】=2q - 2q=4,化為 q2- q - 2=0 ,解得 q=2 .故選；A.4.若ab,則下列不等式成立的是（）A . a2 b2 B .丄 lgb【分析】利用不等式的性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性就看得出.【解答】解： a b,.2a2b0,二：,2a

9、 2b【考點】不等關系與不等式.故D正確.故選D .5若直線I /平面a,直線m? a,則I與m的位置關系是（）A . I / m B . I 與 m 異面C. I與m相交 D. I與m沒有公共點【考點】空間中直線與直線之間的位置關系.【分析】由線面平行的定義可判斷 I與a無公共點，直線 m在平面a內(nèi)，故I / m,或I與 m異面.【解答】 解：直線I /平面a,由線面平行的定義知I與a無公共點，又直線m在平面a內(nèi)，I / m,或I與m異面，故選D .6.已知等差數(shù)列an滿足a2+a7=a5+3，貝V a4=（）A . 2 B. 3C. 4 D. 5【考點】 等差數(shù)列的通項公式.【分析】利用等

10、差數(shù)列的性質(zhì)即可得出.【解答】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：a? +a7=a5+a4=a5+3,則引=3,故選：B.7.下列說法正確的是（）A .圓臺是直角梯形繞其一邊旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體B .棱臺的上下底面一定相似，但側(cè)棱長不一定相等C.頂點在底面的投影為底面中心的棱錐為正三棱錐D .圓錐是直角三角形繞其一邊旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體【考點】 棱臺的結(jié)構特征；旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體和正棱錐的概念判斷，圓柱、圓錐、圓臺的旋轉(zhuǎn)軸是否正確.【解答】 解：圓臺是直角梯形繞直角腰所在的直線旋轉(zhuǎn)而成，. A錯誤；棱臺是由平行于底面的平面截得的，故棱臺的上下底面一定相似，但側(cè)棱長不一定相等， B正確；

11、頂點在底面的投影為底面中心且底面是正三角形的棱錐為正三棱錐，C錯誤；圓錐是直角三角形繞其直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)而成，D錯誤；故選B .8輪船A和輪船B在中午12時離開海港C,兩艘輪船航行方向的夾角為120輪船A的航行速度是25海里/小時，輪船B航行速度是15海里/小時，下午2時兩船之間的距離是（ ）A . 35海里 B . 35 .=海里【考點】 解三角形的實際應用.C . 35 一；海里 D . 70海里【分析】題意可得，AC=50 , BC=30,/ ACB=120 作出示意圖，由余弦定理可得AB 2=AC 2+BC2 - 2AC ?BCcos / BCA 可求 AB，即兩輪船的距離【解答】

12、 解：由題意可得， AC=50 , BC=30，/ ACB=120 由余弦定理可得， AB2=AC 2+BC2 - 2AC ?BCcos / BCA=：二 -e 二- 一， 二=4900 AB=70 海里故選：D的取值范圍是（,-5 U 一，心）D. - 5, 0)第7頁（共16頁）【考點】簡單線性規(guī)劃.【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用直線斜率的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合進行求解即可.解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖:【解答】一：的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點到定點D ( 2,-2 ）的斜率,y- 3=0- &二 Q 得尸 3K=1，即A(1 ,3),，即B(5,3),3+2則AD的斜率k= =

13、- 5,3+25BD的斜率k= 5十2 =三,10已知某幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可得此幾何體的體積為(J I I和舟曲屬第9頁（共16頁）178_B & C 3 D 3【考點】由三視圖求面積、體積.由三視圖求出幾【分析】由三視圖知該幾何體是一個長方體截去一個三棱錐所得的組合體, 何元素的長度，由柱體、錐體的體積公式求出幾何體的體積.【解答】解：由三視圖知幾何體是一個長方體截去一個三棱錐所得的組合體,且長方體長、寬、高分別是1、1、3,三棱錐的底面是等腰直角三角形、直角邊是1，三棱錐的高是1,，該幾何體的體積V=lxl f (2) =37,所以 |PC| . ；所以線段| PQ|的

14、最小值為行 -1.故選：A.12.已知數(shù)列an, 5滿足ai=i,an+l1=:,anbn=1，則使bn 63的最小的n為）4【考點】B. 5C. 6數(shù)列遞推式.【分析】先化簡已知的等式,利用待定系數(shù)法和構造法得到數(shù)列是等比數(shù)列，由條件和等比數(shù)列的通項公式求出丄 代入anbn=1求出bn,化簡使563即可求出最小的n.【解答】解：因為ani-l 1,所以 3an+1an+2an+1=an,n+1兩邊同除an+1an得,則+3=4,an ，2即 k=3 ,an+l an1數(shù)列+3是以2為公比、4為首項的等比數(shù)列, 務1 d d 111 d則+3=4?2n- 1=2n+1,A=2n+1 - 3,片

15、，弘,丄 1由 anbn=1 得 bn= .=2n+ - 3, bn 63 為 2n+1 - 363,即 2n+1 66,T 26=64 , 27=128，使 bn63 的最小的 n 為 6, 故選：C.二、填空題：本大題共4小題。每小題5分，共20分.13.關于x的不等式x2- 2ax - 8濟 0的解集為（-2, 4），貝V a= 1【考點】一元二次不等式的解法.a的值.【分析】由一元二次不等式與對應方程的關系，利用根與系數(shù)的關系即可求出【解答】解：不等式X2 - 2ax - 8濟 0, n 0且滿足2m+3 n=2，則的最小值是一2+ .；一.第io頁（共i6頁）【考點】【分析】【解答】

16、基本不等式.變形利用基本不等式的性質(zhì)即可得出.)(2m+3n)3n 2 m、2rn n吉(4+3) =23 ,當且僅當二二=時取等號.丄I 故答案為：2+.；的最小值是2+_；.解：T m 0, n 0 且滿足 2m+3n=2 ,16. 已知三棱錐 A - BCD中，AC=BD=BC=AD= . 1, AB=DC=.二則該三棱錐外接球的體 積為L_.【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積.【分析】由三棱錐的對邊相等可得三棱錐A - BCD為某一長方體的對角線組成的三棱錐，求出長方體的棱長即可得出外接球的半徑，從而計算出外接球的體積.【解答】 解：I AC=BD=BC=AD= 二，AB=DC= ,三棱錐

17、A - BCD可看做對角線分別為 ，. J 一】的長方體的對角線所組成的三棱錐，a2 =4設長方體的棱長為a, b, c,則/ +匚二5 ,解得b2=lLb2 + c2=2宀長方體的體對角線長為十，即三棱錐的外接球的直徑為 血,外接球的半徑為r= .2外接球的體積V=7T J=x兀x普工祈n故答案為：.三、解答題：本大題共 6小題，共70分。解答寫出文字說明、證明或驗算步驟17. 已知直線 11： 2x - y+1=0 , 12： ax+4y-2=0.（I ）若li丄12，求a的值；（n ）若li / 12,求a的值，并求出li與l2間的距離.【考點】 直線的一般式方程與直線的垂直關系；直線的

18、一般式方程與直線的平行關系.【分析】（I ）利用直線垂直的性質(zhì)求解；（n ）利用直線平行的性質(zhì)求解即可.【解答】 解：（I ）直線 li： 2x - y+仁0 , b： ax+4y - 2=0 ,若 li 丄 12，則 2a- 4=0 ,解得：a=2;a 4- 2（n）若 |i /12，則女=Y,解得：a=- 8, 12： 2x - y+二=0,i8.如圖，已知平面 APD 丄平面 ABCD ,AB / CD , CD=AD=AP=4 ,AB=2 ,AD 丄 AP,CB=2 -. (I )求證：CD丄AP;(n )求三棱錐B - APC的體積.If【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；空間中直線與直

19、線之間的位置關系.【分析】(1)由面面垂直的性質(zhì)得出 AP丄平面ABCD，于是AP丄CD ;(2)取CD中點E,連接BE，由勾股定理得出 BE丄CD，從而得出 ABC的面積，故而Vb-apc=V p- abc=Sc 粧【解答】證明:(1 ) AD丄AP,平面 APD丄平面 ABCD，平面APD 門平面 ABCD=AD ,第i2頁（共i6頁）AP?平面 APD , AP 丄平面 ABCD , 又CD?平面ABCD , CD 丄 AP .(2)取CD中點E,連接BE,/ AB / CD , AB=2 , DE=四邊形ABED是平行四邊形, BE / AD , BE=AD . AD=4 , CE=卞

20、:-,BC=2, BC2=CE2+BE2,. BE 丄 CE . BE 丄AB .Saabc=x =仔：2； =4,219已知銳角 ABC的內(nèi)角分別為A , B, C,其對邊分別為a, b, c,向量= (2sinB ,- #】；)，！= (cos2B , cosB),且/(I )求角B的大??；(n )若b=. 一;,求厶ABC的周長的最大值.2sin (2B【考點】 正弦定理；三角函數(shù)中的恒等變換應用.【分析】(I)根據(jù)向量平行列出方程，使用三角函數(shù)公式化簡可求得 結(jié)合B的范圍得出B的值;（n ）利用正弦定理求出 a=2sinA , c=2sinC ,禾U用三角函數(shù)恒等變換的應用可得ABC的

21、周長L=2 _ ;sin（A+）+ :-；，禾U用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解其最大值.【解答】 解：（I ）=（2sinB岳），7i = （cos2B, cosB）,且 /二.2si nBcosB +；$“os2B=0即 sin2B+“Gcos2B=0,.2sin (2B兀 2B+（兀，4兀333=0 -4 分角B為銳角,可得:.B=g 分（n）由正弦定理可得:.a=2sinA , c=2sinC,. ABC 的周長 L=a +c+;=2sinA +2sinC+ ;=2s in A +2s in (A-) 3=3s in (A-) +再,-IO 分當A=- 時，三角形周長最大，最大值為3. -12

22、分20. 如圖，直三棱柱 ABC - AiBiCi的各條棱長均為4, D是側(cè)棱CCi的中點.（I ）在線段ABi上是否存在一點 M,使得DM /平面ABC，若存在，求出 AM的長若 不存在，請說明理由；ACC iAi所成角的正弦值.【考點】 直線與平面所成的角；直線與平面平行的性質(zhì).【分析】（I ）取AB , ABi的中點分別為 N, M,連接NM , NC,證明四邊形NMDC是平 行四邊形，即可；（n）根據(jù)線面角的定義作出直線和平面所成角的平面角，根據(jù)三角形的邊角關系進行求解即可.【解答】解：（I ）在線段ABi上存在一點M,使得DM /平面ABC ,如圖，取AB , ABi的中點分別為N,

23、 M,連接NM , NC ,則 NM / BBi / DC .且 NM-BBi=DC ,四邊形NMDC是平行四邊形， MD / NC ,/ NC?平面 ABC , MD?平面 ABC , DM / 平面 ABC，此時 AM=丄ABi=2.-：,(H )取AiCi的中點E,連接BiE, BiE 丄 AiCi,T AA丄平面 AiBiCi, AA i 丄 BiE, 又 AA i nAiCi=Ai,- BiE丄平面 ACCiAi,連接AE，則AE是ABi在平面ACC iA i內(nèi)的射影, BiAE是AB i與平面ACCiAi所成的角，在直角三角形 BiAE 中，BiE=2. ；，ABi=4.：,則 s

24、in / BiAE=即ABi與平面ACCiAi所成角的正弦值2i.已知數(shù)列an滿足 an+i=3an+i, n N , ai=i, bn=an(I )證明bn是等比數(shù)列，并求bn的通項公式;(H )若Cn=2n，求數(shù)列 Cn?bn的前n項和Sn. 【考點】 數(shù)列的求和；等比數(shù)列的通項公式.【分析】(I ) an+i=3an+1，兩邊同時加上土，an+i=3 (an+丄),即可 bn+i= 3bn,數(shù)列 bn第i3頁(共i6頁)是等比數(shù)列，求得 bi，根據(jù)等比數(shù)列通項公式求得bn；(H )求出數(shù)列Cn的通項公式，利用錯位相減法進行求和即可. an+i+丄=3an+i/ 1(an+【解答】解：(I )證明：T an+i=3an+i,), bn+i=3b n,1 3bi=ai=2 bn是以二為首項，以3為公比的等比數(shù)列, bn的通項公式bn士-X 3n丄.oil(n ) Cn?bn=2nx=n?3n,2數(shù)列Cn?bn的前